Règle de trois
223. Dans son sens le plus général, le problème de la règle de trois peut 8*énoncer de la manière suivante :
Soient A, B, G, D des grandeurs telles que Tune d^elleS; A par exemple, soit directement ou inversement proportionnelle à chacune des autres ; connaissant une série a, 6, c, d de valeurs numériques correspondantes de ces grandeurs, trouver une seconde valeur x de \ correspondant à de nouvelles valeurs 6i, Cl, di des autres grandeurs B, C, D. En d'autres termes, il s'agit, dans une règle de trois, connaissant les valeurs simultanées de plusieurs grandeurs directement ou inversement proportionnelles à l'une d'elles, de trouver la
valeur que prend Tune de ces grandeurs pour de nouvelles valeurs données à toutes les autres.
La règle de trois est dite simple ou composée suivant que l'on considère deux ou plus de deux grandeurs. La règle de trois simple est directe ou inverse suivant que les deux grandeurs considérées sont directement ou inversement proportionnelles.
Ce nom de règle de trois vient de ce que les questions de ce genre peuvent se résoudre au moyen d'une ou de plusieurs proportions dans chacune desquelles trois termes sont connus.
Ces préliminaires posés, appliquons la méthode des propor* tions à la résolution de quelques problèmes de règle de trois.
224 I (Règle de trois simple directe). — Une pièce d'étoffe de 32*",50a coûté 338''; combien coûtera une autre pièce de la même étoffe de 28",75 ?
La valeur d'une étofTe étant, par convention, proportionnelle à sa longueur, on aura que le nombre inconnu^ que nous représenterons par la lettre or, est à la somme de 338^', ce que la longueur de 28"*,75 est à celle de 32",50 ; nous écrirons donc
la proportion
d'où Ton tire x = ^^^'l^.f^'^^ = 29y^
La valeur de la seconde étoffe est ainsi de 299'J.
Remarque. — Dans la pratique, pour embrasser d'un coup d'œil les conditions du problème et mieux diriger la marche du raisonnement, on dispose les données et l'inconnue sur deux lignes horizontales, comme il suit, de manière que les valeurs de chaque grandeur se correspondent verticalement :
225. II (Règle de trois simple inverse). — Un négociant a acheté 41° de drap à raison de i2'%30 le mètre. Quelle longueur
d^un drap de lO'^i^S le mètre aurait-il eue pour la somme déboursée ?
I^a longueur qu*on peut avoir d'une étoffe pour une somme déleiminée est inversement proportionnelle au prix du mètre de cette étoffe. Après avoir adopté la disposition précédemment
indiquée :
on écrit donc que le nombre inconnu x est à la longueur 41»,
ce que le rapport inverse de 10,28 ou rjr^ est au rapport
inverse de 12,30 ou tj^ '•> c'est ce qu'exprime la proportion
ou
on en déduit x = ^^"^^^'^^ = 49»,20.
C'est-à-dire que la longueur du drap de 10''',25 qu'on aurait eue avec la somme dépensée dans le premier achat est de 49-,20.
226. III (Règle de trois composée). — Pour creuser une tranchée de 480" de longueur, sur 6" de largeur et 3"* de profondeur ^ il a fallu 24 ouvriers travaillant 16 jours et 9 heures par jour ; quelle serait la profondeur d'une tranchée qu£ creuseraient 30 ouvriers en travaillant 27 jours, à raison de 8 heures par jour, si elle devait avoir 720™ de longueur sur 5™ de largeur ?
Cet énoncé se traduit sommairement de la manière suivante, en adoptant les indications qui précèdent :
On admet, dans ces sortes de problèmes, que la difficulté du
travail, uniforme sur chaque dimension des tranchées, est la. même dans les deux cas, et que le travail, dans chacune <ies directions est proportionnel au temps et au nombre d'ouvriers employés. Il en résulte que la profondeur à déterminer est proportionnelle au nombre d'ouvriers, au nombre de jours et au nombre d'heures quotidiennes, et qu'elle est inversement proportionnelle à la longueur et à la largeur de la tranchée.
Cela dit, le procédé de résolution consiste à décomposer le problème en une série de règles de trois simples. En voici Tapplication à la question proposée :
Si Ton admet pour un instant que sur les cinq grandeurs dont dépend Tinconnue la première seule varie, les autres conservant leurs premières valeurs i6j, 9^, 480», 6™» pour une valeur 30 de la première, Tinconnue prend une valeur x' qui satisfait à là proportion
Si Ton fait ensuite varier la seconde grandeur, les autres conservant leurs valeurs 30*, 9»», 480", 6», pour une valeur 27 de la seconde, l'inconnue prend une valeur x" qui satisfait à la relation
En raisonnant de même pour les grandeurs suivantes, lorsque la troisième passe de la valeur 9 à la valeur 8, l'inconnue prend une valeur a?*' telle que Ton a
lorsque la quatrième grandeur passe de la valeur 480 à la valeur 720, Tinconnue prend une valeur x"^ que détermine la relation suivante dans laquelle la proportionnalité des deux grandeurs considérées est d'ordre inverse :
enfin, lorsque la cinquième grandeur passe de la valeur 6 à la
valeur 5, x représentant la valeur demandée de l'inconnue, on a pour la même raison de proportionnalité inverse.
Si Ton multiplie ensuite membre* à membre les relations (i), (2), (3), (4) et (5), on arrive à la relation
24X16X9X720X5 Z^Xx'Xx^Xaf'Xx'" 30X27X8X480X6"" x'Xx/'Xx'"X3i^''Xx '
d'où, en simplifiant le second membre par la suppression des facteurs communs à ses deux termes et en tirant ensuite de la nouvelle proportion la valeur de la quatrième proportionnelle X,
Ce nombre exprime en mètres la profondeur demandée de la seconde tranchée.
Remarque. — Après avoir écrit la relation (1), on aurait pu en tirer la valeur de xf ; puis, de la relation (2) tirer celle de x^, dans laquelle on aurait remplacé a/ par sa valeur déjà trouvée ; puis, de la relation (3) tirer la valeur de ar"', dans laquelle on aurait remplacé a/' par sa valeur déjà trouvée, et ainsi de suite. On aurait obtenu de cette manière la série des valeurs suivantes, dont la dernière reproduit exactement celle que donne la solution du problème :
xr = x^ X -:r =
x'" =Qlf'X
227. IV. Quelle quantité de pain peut-on faire aoec le blé récolté dans une propriété de 4 hectares^ sachant que 2 ares ont produit 195 gerbes, que i6 gerbes ont fourni 15 litres de blé^ que 3 hectolitres de blé pèsent 256 kilogrammes ^ que 9 kilogrammes de blé rendent 5 kilogrammes de farine^ enfin que 3 kilogrammes de farine donnent 4 kilogrammes de pain ?
Ce problème est un enchaioement de règles de trois simples auquel on donne le nom de règle conjointe ou règle de chaîne.
Pour le résoudre, désignons par x le nombre cherché de kilogrammes de pain, par x^ le nombre de gerbes récoltées dans la propriété, par or' le volume en litres du blé que ces gerbes ont produit, par x^ le poids de ce blé, et par a:'* le poids de la farine obtenue ; on aura lés proportions suivantes :
ar*
ar*
ar"
En multipliant toutes ces proportions membre à membre, on obtient la suivante :
x'Xx" Xif' Xx^'Xx 400 X a/ X x^X x'" X a?"
qui devient, par la suppression dans les deux numérateurs des facteurs communs a/, a:*, x"' et ar»^,
et celle-ci donne, en faisant le produit des extrêmes et celui des moyens,
On tiré de cette dernière relation, en divisant les deux membres par le produit 2 X 16 X 300 X 9 X 3,
Cest-à-dire que la récolte en blé de la propriété fournira
â3 i i i kilog. — de pain.
Rbuarque. — On abrège cette solution en disposant deux à
deux sur des lignes horizontales les données du problème, de
manière à avoir sur chaque ligne les deux grandeurs entre
lesquelles il existe une relation, et de façon que le premier
terme de chaque ligne soit de même nature que le second de
la ligne précédente ; Tinconnue occupe la place du premier
terme dans la première ligue. On fait ensuite le produit de
toasles nombres delà colonne de droite, puis le produit de tous
les nombres de la colonne de gauche qui contient Tinconnue :
le quotient du premier produit par le second donne la valeur
de cette inconnue.
Cette règle, qui se déduit des indications précédentes, est particulièrement utilisée dans la banque et le commerce. Appliquée au problème proposé, elle donne, comme disposition des grandeurs qui s'y trouvent exprimées,
X kilog. de pain correspondent à 400 ares,
2 ares — 195 gerbes,
16 gerbes — 15 litres de blé,
300 litres de blé — 256 kilog. de blé,
9 kilog. de blé -- 5 kilog. de farine,
3 kilog. de farine — 4 kilog. de pain, et pour valeur de Tinconnue,
produit des nombres de la colonne de droite
produit des nombres de la colonne de gauche
c'est la valeur précédente.
