V (Partage proportionnel). — Partager le nombre

<n parties proportionnelles aux nombres 2-7-» 3 -t- ^ 4 — •

Les nombres 2 — » 3 — et 4 — mis sous forme de fractions

donnent

et ces fractions réduites au plus petit dénominateur commun

deviennent

Dès lors, partager le nombre 2019 proportionnellement aux

nombres 2 --» ^ T ®* ^ "k" '"^^^^"^ ^ ^® partager propor-

202 ARITHMÉTIQUE PBÂTIQUE

tionnellement aux fractions -^77» -^7— et -^r--» par suite,

(230, Rem. II) proportionnellement aux numérateurs de ces fractions.

La question est ainsi ramenée à la précédente.

On obtient par la méthode de réduction à Tunité :

pour la première partie, 160 X ^„^ = 480 ;

— deuxième — 225 x -t=t- = 675 ;

— troisième — 288 X -r^r- = 864.

Observation. — li nous parait inutile de multiplier davantage ces exemples. Qu'il s'agisse de partages en parties inversement proportionnelles à des nombres donnés, en parties directement proportionnelles à deux séries de nombres, ou en parties directement proportionnelles à nue série de nombres et inversement proportionnelles à une seconde série, le raisonnement préliminaire, qui consiste à ramener chaque question à un partage en parties directement proportionnelles a des nombres entiers donnés, est le même dans les deux méthodes des proportions et de réduction à Tunité. Aussi nous semble-t-il suffisant d'avoir traité deux problèmes pour faire connaître la méthode de réduction à Tunité appliquée aux problèmes sur les partages proportionnels.

§ V. — Méthode des hypothèses.

240. La méthode des hypothèses consiste à faire, suivant le cas, une supposition ou deux successives relativement à Tinconnue ou aux inconnues du problème à résoudre, pour opérer ensuite sur ces nombres supposés comme si Ton avait à vérifier la solution de ce problème, et tirer finalement, de la comparaison des résultats ainsi obtenus aux données de même ordre de la question, la solution demandée.

Celle méthode prend aussi le nom de méthode de fausse position.

i. ~ Hypothèse simple.

341. Dans l'hypothèse simple, on suppose un nombre qui tient lieu provisoirement d^inconnue ou d'une des inconnues et l'on s'en sert pour vérifier s'il satisfait aux conditions du problème ; on a de la sorte quatre nombres: le résultat obtenu^ celui qu'on devait obtenir, le nombre supposé et Tinconnue, qui sont les quatre termes d'une règle de trois simple, dont la solution est celle du problème proposé.

Lorsqu'il y a plusieurs inconnues dans le problème, on aboutit souvent à une question de partage proportionnel.

242, I. Qvel est le nombre qui augmenté de sa moitié et diminué de son tiers donne 56 ?

Si le nombre demandé était Tunité, en l'augmentant de sa moitié pour diminuer ensuite le résultat de son tiers, on aurait

La question revient ainsi à la suivante, qui est une règle de trois simple :

L'unité augmentée de sa moitié et diminuée de son tiers donne

-^» quel est le nombre qui donne dans les mêmes conditions 56?

On tire de cet énoncé

j ou X = — .

a ou X = — = 48.

On vérifie en ajoutant au nombre 48 sa moitié et en retranchant son tiers du résultat : on doit obtenir le nombre 56.

243. II. Partager une somme de 834'"' çntre quatre personnes de manière que la deuxième ait le double de la première, la troisième , la moitié de la somme des deux premières, et la quatrième, le tiers de la somme des précédentes.

Supposons que la part de la première soit de 1^'' ; celle de la deuxième sera de â'*"; celle de la troisième, de — - — =1^"',50;

et celle de la quatrième, de î= — = l'^SO. La

somme à partager est alors de 1'^ -h 2^' h- 1'%50 4- i^%50 = 6'^ Pour calculer la première part à faire avec 834'' — laquelle il suffira de multiplier successivement par 2, 1,5 et 1,5 pour avoir les autres — on est alors amené à la règle de trois suivante : Dans une somme de 6'' à partager entre quatre personnes^ la part de la première personne est de V^ ; quelle sera sa part dans une somme de 834''* à répartir de la même manière ?

On tire de cet énoncé

— ou 0? = — — - = 139'^ 1 6

La part de la première personne étant de i 39'^ celles des autres s'obtiendront, ainsi que nous l'avons déjà dit, en multipliant 139''' successivement par les nombres 2, 1,5 et 1,5. On aura pour la deuxième part 139'^ X 2 =: 278'% et pour chacune des deux autres

139''Xl,5 = 208'%5.

On vérifie en faisant la somme des quatre parts, qui doit être égale à 834''.

Remarque. — Après avoir trouvé les nombres 1, 2, 1,5 et 1,5, on peut résoudre la question par un partage de la somme de 834''' en parties proportionnelles à ces nombres.

244. III. Un terrain a été divisé en deux parties telles que les

— de la première représentent les ~ de la seconde et qu'en

retranchant les •— de la première des — - de la seconde on

obtient 174 ares et demi pour différence. Calculer l'étendue de ce terrain et celle de chaque partie.

Admettons pour un instant que la première partie soit de

1 are ; la seconde partie, dont les -^ représentent les —

de la première, sera les — de — d'are ou

= -rr dare.

En retranchant des -^ de la seconde ou de

X "TT = "TE^ d are,

les -— de la première ou

on obtient

135a i|a 1350a iOOla 349

dare.

La question revient alors à la règle de trois simple :

Lorsque la première partie, sur deux, d'un terrain est représen-

tée par 1 are^ Vexcès des -—> de la seconde sur les -— - de la

première est de d'are; que doit être la première partie

pour que cet excès soH de 174^,5 ?

On tire de cet énoncé

--- ou ar =r — ^.^ = = 910 ares.

La seconde partie, devant être d'après les calculs précédents

les — — de la première, sera de

910» x4t- = 975 ares,

et le terrain aura pour étendue totale

910» -h 975^ = 1885 ares.

On vérifie en montrant que les deux nombres 910 et 975

satisfont aux deux conditions de la question.