Hypothèse double
245. Dans l'hypothèse double, on suppose un premier nombre sur lequel on opère comme pour vérifier s'il satisfait
aux conditions de Ténoncé du problème. Si le résultat concorde avec les données, le nombre supposé est le nombre demandé, mais il n'en est généralement pas ainsi. On fait alors une seconde hypothèse et Ton recommence sur ce nouveau nombre les mêmes opérations que sur le premier. Le résultat obtenu s'éloigne ou se rapproche, par rapport au précédent, de celui qu'il s'agit de trouver, et lorsqu'il arrive que la variation de ces différences est proportionnelle à celle des valeurs supposées de l'inconnue, la méthode conduit à une solution rigoureusement exacte, parce qu'elle amène à une règle de trois bien définie. Dans le cas contraire, elle n'est qu'une méthode d'approximation qui peut ôtre employée cependant avec avantage dans un certain nombre de questions.
Dans ce qui va suivre nous n'examinerons que desproblènotes qui se résolvent exactement par la méthode.
246. I. Comment payer 76^'' avec des pièces de 5^' et de 2'', en n'employant que 20 pièces en tout ?
y" hypothèse, — Supposons que toutes les pièces soient de 2^'* (on pourrait tout aussi bien les supposer de 5'') ; la somme formée sera de 2''x20 = 40^^ Entre la somme donnée 76'"' et 40'', il y a une différence qui représente une erreur en moins de 76''' — 40''' = 36'^
2^ hypothèse. — Supposons qu'on substitue une pièce de 5''' à une pièce de 2''; le nombre total .des pièces sera le même, mais la somme formée sera augmentée de 5'*" — 2'' = S'** et Terreur en moins diminuée de pareille somme.
Dès lors, si pour diminuer l'erreur de 3'', il faut substituer une pièce de o'*" à une pièce de 2'*^, pour diminuer Terreur de 36'^ c'est-k-dire pour Tannuler, il suffira de faire autant de substitutions pareilles que 3'' sont contenus de fois dans 36'% soil
-— = 12 substitutions. C'est, comme on le voit, la résolu-
tien d'une règle de trois simple qui suit les deux hypothèses. Pour effectuer le paiement demandé, il faudra donc 1:2 pièces de 5''- et 20 — 12 = 8 de 2'^
Onvérifie en montrant que 12 pièces de 5'' et 8 de 2'' donnent ane somme de 76^**.
247. II. Vans une société nombreuse^ il y avait primitivement trois fois autant d'hommes que de femmes; après le départ de 8 couples^ le nombre des hommes devint le quintuple de celui des femmes. Combien y avait-il d'abord d'hommes et de femmes ?
/*• hypothèse, — Supposons qu'il y ait eu d'abord 9 femmes (on nombre supérieur à 8 pour pouvoir faire disparaître 8 couples), le nombre d'hommes aurait été de 9x3 = 27 ; après le départ de 8 couples, il serait resté 9 — 8 = 1 femme et 27— 8 = 19 hommes. Or, le quintuple des femmes est de 1x5 = 6, et 19 le dépasse de 19— 5 = 14. L'erreur en plus est donc de 14 unités.
2^ hypothèse, — Supposons que le nombre de femmes ait été d'abord de 10, le nombre d'hommes aurait été de 10x3 = 30; la disparition de 8 couples aurait ramené les femmes au nombre de 10 — 8 = 2 et les hommes à celui de 30 — 8 = 22. Ce dernier nombre est supérieur au quintuple des femmes, 2x5 = 10, de 22 — 10 = 12. L'erreur en plus est ici de 12 unités, inférieure de 12 — 10 = 2 unités à la précédente.
Si, pour diminuer l'erreur de deux unités, il faut augmenter le premier nombre supposé de femmes d'une unité, pour diminuer l'erreur de 14 unités, c'egt-à-dire pour l'annuler, il faudra augmenter le premier nombre supposé de femmes d'autant d'unités que 2 est contenu de fois dans 14, soit de
— = 7 unités, ce qui donne 9-f- 7 = 16.
11 y avait donc 16 femmes et 3 fois plus d'hommes ou 16x3 = 48.
On vérifie en montrant qu'après le départ de 8 couples, il reste 5 fois plus d'hommes que de femmes.
248. III. Pierre et Jean ont chacun un certain nombre de billes; Pierre dit à Jean : si tu me donnais 5 de trs billes^ j'en aurais (rois fois plus que toi^ maïs si je t'en donnais 5 de.s miennes^ tu ^ aurais autant que moi. Combien ont-ils de billes chacun ?
208 ARITHMÉTIQUE PBATIQUE
/" hypothèse, — Supposons que Pierre ait 31 billes (nou» choisissons un nombre qui augmenté de 5 soit divisible par 3) ;
Jean en aura un nombre tel qu'en en donnant 5 à Pierre^
celui-ci en ait 3 fois plus que lui, c'est-à-dire — - — -h 5 = 17^
Si Pierre donne 5 de ses billes à Jean, il lui en restera 31—5 = 26, et Jean en aura 17-1-5 = 22. Ces deux nombres devraient être égaux, d'après les données de la question ; Terreur en moins pour le second est de 26 — 22 = 4. J2^ hypothèse. — Supposons que Pierre ait 28 billes (3 de moin& que dans la première hypothèse pour que ce nombre augmenté de 5 soit aussi divisible par 3) ; Jean devra en avoir, pour que
la première condition soit satisfaite, un nombre égal à
5 = 16. Si Pierre donne 5 de ses billes à Jean, il
lui en restera 28 — 5 = 23 et son camarade en aura
16h-5 = 21. Ces deux nombres devraient ôtre égaux; l'erreur en moins pour le second est de 23 — 21 = 2.
Il résulte de ces deux hypothèses qu'en diminuant le nombre de billes de Pierre de 3 unités, la première erreur a diminué de 4 — 2 ou 2 unités ; pour la diminuer de 4 unités,, ou Tannuler, il faudra retrancher autant de fois 3 billes à
celles que nous avons supposées primitivement à Pierre que
2 est contenu de fois dans 4, c'est-à-dire — ou 2 fois, ce qui
donne 3X2 = 6 billes à retrancher.
Pierre a donc un nombre de billes égal à 31 — 6 = 25 et
Jean en a — h5 = 15.
On vérifie en montrant que 25 diminué de 5 devient égal à 15 augmenté de 5.
249. IV. Une personne en mourant lègue sa fortune à ses héritiers de la manière suivante : elle rfonrî« 1000^' et le 10* du reste à l'un d'eux, 2000^'' et le iO« du reste à un deuxième, 3000'' e^ le 10® du reste à un troisième^ et ainsi de suite jusqu'au dernier qui recueille le reste. Sachant que toutes les parts sont ainsi égales, calculer la valeur de la fortune totalCj le nombre des héritiers et la part de chacun.
Z'* hypothèse. — Supposons qae la fortune totale soit de lOOOiX)'''. La part du premier héritier servi sera de
..wwv, 100000''— lOOC» ,^^^^,
1000" H jTT = 10900" ;
il)
celle du deuxième, de
Cette dernière somme devrait être égale à la première ; il y a donc là une erreur en moins de 10900'' — 10710'' = 190".
2* hypothèse. — Supposons que la fortune totale soit de 90000''. La part du premier héritier servi sera de
lu celle du deuxième, de
Cette dernière somme^ qui devrait être égale à 9900'% en diffère de 9900'' — 9810'' = 90'' et accuse ainsi une erreur en moins de pareille somme.
En diminuant de lOOOOC' — 90000" = 10000" le nombre supposé pour la fortune totale, Terreur en moins sur la part du deuxième a diminué de 190'' — 90'' = 100" ; pour diminuer cette erreur de 190", ou l'annuler, il faudra retrancher de la somme de 100000", primitivement supposée pour
représenter la fortune totale demandée, autant de fois 10000"
que 100'' sont contenus de fois dans 190'', c'est-à-dire —— ou
TTT de fois, ce qui donne à retrancher j^^ = 19000".
lu lu
La fortune totale est ainsi de 100000" — 19000" = 81000" ; la part du premier héritier servi est de
*/u^f 81000" — 1000" ^^^^ 1000" H jrr = 9000";
et comme toutes les parts sont égales, le nombre des héritiers ,. 81000 .
est de -ïTr^rr- = 9.
DAUZAT. -* MÉTHODOL. 14
On vérifie en montrant que, par le partage d'après les conditions de renoncé, on obtient successivement 9 parts égales k la première^ et que le total donne 81000'^
250. Par les exemples qui précèdent, on voit que, dans une question, Terreur à laquelle conduit la première hypothèse peut être en plus ou eu moins ; cela dépend du choix du premier nombre supposé. Mais quel que soit le sens de Terreur, pour éviter des complications, il convient que la seconde hypothèse donne lieu à une erreur de même nature» et Ton arrive souvent à ce résultat en prenant comme point de départ de la seconde hypothèse un nombre qui ne soit pas trop différent de celui de la première.
Montrons, toutefois, comment il faudrait s'y prendre pour résoudre un problème dans lequel les deux hypothèses conduiraient à des erreurs de sens contraires. Pour cela, reprenons un des problèmes précédents, le n"" lY, par exemple.
/" hypothèse. — Suppc^sons encore ici que la fortune totale soit de 100000^^ Nous avons vu qu'en raisonnant sur cette somme, on est conduit, pour la part du deuxième héritier servi, à une erreur en moins de 190''.
2^ hypothèse. — Supposons que cette fortune totale soit de
SOOOO''. La part du premier héritier servi sera de
et celle du deuxième, de
Cette dernière somme, qui devrait être égale à la précédente, lui est supérieure de 8910" — 8900" = 10" ; il en résulte donc une erreur en plus de 10".
La différence des erreurs est alors de 190" -h 10" = 200^'. Les deux nombres 10 et 190 se comptent, en effet, non dans le même sens, comme dans les exemples précédents, à partir de Terreur nulle, mais de part et , d'autre de cette erreur nulle, comme deux longueurs OA et OB parcourues par deux mobiles sur une même droite, à partir d'une origine commune 0, et
en sens inverse Tun de Tantre, de façon que la distance fina le qui les sépare est égale à la somme AB des deux longueurs parcourues.
L'erreur se trouve ainsi diminuée de 200'''par une diminution de iOOOOO''— 80000*' = 20000'' sur le premier nombre supposé comme fortune totale; pour la diminuer de 190'% ou l'annuler, il faudra retraDch^r de 100000'' une somme qui soit par rapport à 20000'' ce que le nombre 190 est au nombre 200. Cette somme x se tire de la proportion
on a X = = 19000''.
La fortune totale est ainsi de 100000'' — 19000*' = 81 000''.
Cette somme est bien celle que nous avons précédemment
trouvée.
2S1. Dans la résolution des problèmes par la méthode delà double hypothèse, il faut toujours, avant d'opérer, s'assurer de la proportionnalité de la variation de Terreur à celle de Tinconnue que Ton prend comme point de départ des hypothèses.
Cette vérification ne se fait d'ordinaire d'une manière exacte et sûre que par des procédés généraux qui se rattachent surtout à l'Algèbre ; cependant elle peut avoir lieu arithmétique* ment, en faisant trois hypothèses qui portent sur trois nombras équidifférents : les erreurs correspondantes doivent être aussi équidifférentes si la proportionnalité existe.
Effectuons cette vérification par les deux méthodes pour le problème III, par exemple.
i^ Soit A le nombre de billes de Pierre, dans la première hypothèse ; celui des billes de Jean devant être, après une
diminution de 5 unités, le tiers de Tautre augmenté du même
A-f-5 nombre 5, sera de — r h 5. En retranchant 5 unités de A
A -+-5 pour les ajouter à — h 5, les deux nombres résultants,
sion A — 5 — ( — :r i-lôi = — A — - • c'est Terrenr
A -h 5 A — 5 et — h 10, devraient être égaax pour que A
exprimât une des inconnues du problème ; en général ils ne le sont pas et présentent une différence qui a ici pour exprès-
commise.
Si B est le nombre de billes de Pierre dans la seconde hypothèse, par un calcul analogue, on obtiendra pour la seconde
2 ^ CO erreur —- B ^.
En retranchant ces deux erreurs, la seconde de la première,
le résultat —(A — B) représente la variation de Terreur
lorsqu'on passe de l'hypothèse A à Thypothèse B. Or A — B représente de son côté la variation de l'inconnue dans les mêmes conditions : il y a donc proportionnalité entre les variations de l'erreur et les variations correspondantes de l'inconnue, ce qui prouve que la méthode de la double hypothèse est applicable à la résolution du problème III. Nous retrouvons de plus, sous une forme générale, ce que nous
avait donné avec des chiffres la solution précédente du pro-
blême, que la variation de l'erreur est les -r- de celle de l'inconnue.
2^ Supposons successivement que Pierre ait 34, 31 et 28 billes ; en opérant sur chacun de ces nombres, on obtiendra les résultats suivants :
l'« supposition : 34 1" erreur : 6
Différence : 3 Différence : 2
L'équidifférence des suppositions entraînant celle des erreurs, la proportionnalité recherchée est démontrée.
252. Il résulte de ce qui précède qu'il est indifférent de prendre, dans la seconde hypothèse, un nombre plus petit ou plus grand que celui de la première ; il sufOt de remarquer si la seconde erreur est plus petite ou plus grande que la pre-
mière et d*établir en conséquence la règle de trois simple qui doit snivre et dont Tinconnue est celle de la question à résondre.
Dans le problème III, en effet, si après la première hypothèse, qui consiste à choisir le nombre 31, on avait pris pour la seconde 34 an lieu de 28, la seconde erreur eût été de 6 unités et la règle de trois simple à laquelle on eût été conduit se serait ainsi formulée :
Une différence en moins de (34 — 31) ou ^ unités^ de la seconde à la première hypothèse^ donne une diminution de (6 — 4) au 2 unités dans les erreurs correspondantes ; quelle devra être la différence en moins de la seconde hypothèse au nombre cherché pour que F erreur toit diminuée de 6 unités, ou amnulée ?
On en aurait tiré la proportion
d OU X — — -— = 9,
et Ton aurait ainsi obtenu le môme nombre de billes de Pierre, 34 — 9= 25.
