DES MÉTHODES GÉNÉRALES DE RAISONNEMENT 'O

rement à la recherche du moyen propre à démontrer un théorème ou à. résoudre un problème .

§ U. — Synthèse.

16. Si dans l'analyse on part du théorème à démontrer ou du problème à résoudre, pour aboutir, par une série de propositions ou de questions, à un théorème ou à un problème connu, dans la synthèse on suit Tordre inverse de cette opération. On dit, pour cela, que la synthèse est une méthode de progression ou de déduction.

17. Ainsi, pour la démonstration d'un théorème, on part de propositions connues et l'on en déduit successivement et comme conséquences immédiates et nécessaires une série d*aulres qui aboutissent au théorème proposé.

. Comme exemple remarquable, pris entre beaucoup d'autres, de Tapplication de cette méthode à la démonstration des théorèmes^ nous avons celui de l'établissement du volume de la sphère, qui demande qu'on exprime successivement le volume engendré par la révolution entière :

d'un triangle autour d'un axe situé dans son plan, passant par un de ses sommets et ne le traversant pas ;

d^un secteur polygonal régulier autour d'un axe situé dans son plan^ extérieur à sa surface et passant par son centre ;

d^un secteur circulaire autour d'un diamètre extérieur ; enfin, d'un demi-cercle autour de son diamètre.

S'il s'agissait de découvrir une démonstration de théorème, la méthode synthétique serait impuissante, car ne sachant de quelle proposition il faudrait partir, on pourrait en essayer sans succès un nombre indéfini ; mais quand on veut faire connaître à d'autres une démonstration que Ton a découverte par l'analyse ou autrement, ou bien que l'on: a apprise, cette méthode est applicable parce qu'on sait alors quelle doit être la proposition connue qui doit servir de point de départ.

18. Pour résoudre un problème, on part d'un problème connu, dont la solution fournit celle d'un deuxième, laquelle

donne à son tour celle d'un troisième, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on parvienne au problème proposé, dont la solution s'obtient de celle du précédent de la série ainsi formée.

C'est résoudre syntbétiquement le problème qui suit :

Construire une tangente commune à deux cercles, que de commencer par

construire un cercle concentrique au plus grand des deux cercles donnés avec un rayon égal à la différence ou à la somme des rayons de ces cercles,

suivant qu'il s'agit de tangente extérieure ou de tangente intérieure ;

de mener par le centre du plus petit cercle une tangente au cercle auxiliaire ; et de passer ensuite à la tangente demandée.

Pour les mêmes raisons que nous avons données au sujet de la démonstration des théorèmes, s'il s'agissait de rechercher la solution d'un problème, la méthode synthétique serait encore impuissante ; mais pour faire connaître à d'autres une solution de problème que Ton a découverte par l'analyse ou autrement, ou bien que Ton a apprise, elle est applicable.

19. De tout ce qui précède, il résulte que la synthèse ne peut être qu'une méthode d'exposition. On l'emploie souvent de préférence à l'analyse, notamment dans l'enseignement de la géométrie élémentaire.

!i m. — Méthode de réduction à l'absurde.

20. Pour démontrer une proposition par la méthode de réduction à l'absurde, on considère la contradictoire de cette proposition et l'on en prouve la fausseté.

Ainsi pour démontrer ce théorème :

Deux droites perpendiculaires à une troisième sont parallèles entre elles, on admet pour un instant le théorème contradictoire :

Deux droites perpendiculaires à une troisième se rencontrent y qui revient à cette autre proposition :