CHAPITRE m
RÉSOLUTION DE PROBLËMES
253. 11 n'y a pas de règle générale qui permette de découvrir immédiatement la nature et l'ordre des opérations auxquelles peut donner lieu la résolution d'un problème d'Arithmétique ; c'est affaire surtout de pratique et d'expérieace.
Lorsqu'on est en présence d'une question de ce genre^ il convient tout d'abord de chercher à quelle catégorie de problèmes elle appartient, à quelle théorie générale ou particulière elle se rattache. Il faut ensuite voir si elle peut être résolue par l'application immédiate d'une ou d'un petit nombre d'opérations fondamentales ; dans le cas contraire, par un examen attentif des conditions de l'énoncé, on établit la série de questions de plus en plus simples qui doivent lui être successivement substituées et l'on applique à la dernière la méthode de résolution qui lui convient le mieux parmi celles qui viennent d'être exposées, à moins que Ténoncé de cette dernière n'indique les opérations à effectuer.
C'est la marche que nous suivrons dans l'étude des problèmes que nous allons passer en revue.
§ I. — Namératlon et opérations fondamentales.
254. I. Pour mettre un objet d'art en loterie^ on fait un certain nombre de billets, A S'*" le billet, la somme réalisée serait infé^ rieure de 40^' à la valeur de Vobjet; mais à 6'' le billet, la somme réalisée serait supérieure de W' à cette valeur de Vobjet. Combien a-t-on fait de billets et quelle est la valeur de Vobjet?
La différence entre les sommes réalisées en vendant le billet d'une part 6'% de l'autre 6'% est égale à 40'' -h 70" = 110" ; et cette différence représente Taccroissement de la première somme lorsque le prix du billet est augmenté de i^' ; elle est donc le produit de 1'^ par le nombre de billets, lequel se
trouve être ainsi de -j- = 110.
Le prix de l'objet d'art est dès lors de 5''X 110 -t- 40*' = 590''. On vérifie en montrant qu'à raison de 6'' l'un les 110 billets donnent un résultat supérieur de 70'' à 590^'.
255. II. Trouver trois nombres tels que la somme du premier et du deuxième soit égale à 36, que la somme du deuxième et du troisième soit égale à 54, et que la somme du premier et du troisième soit égale à 48.
Si nous désignons ces trois nombres, le premier par .r, le deuxième par y et le troisième par z, nous pourrons écrire
En additionnant membre à membre ces trois égalités, il
viendra
dou x-Hy-h2 = -^ = 69.
I^ question est ramenée à la suivante :
Trouver trois nombres dont on donne la somme totale et celles^ par exemple^ du deuxième et du troisième d'une part^ du premier ti du troisième, de l'autre.
Si les trois nombres valent au total 69, le premier sera égal a 69 moins la somme 54 du deuxième et du troisième, ou à
le deuxième, à 69 moins la somme 48 du troisième et du premier, on h
et le troisième, à 69 moins la somme des deux nombres trou-
véSy OU k
On vérifie ces résultats en montrant que pris deux à deux comme le porte renoncé, ils reproduisent les nombres 36, 54 et 48.
256. III. Trouver trois nombres dont la somme soit égale à 145 et tels que le premier divisé par le deuxième donne 3 pour quotient et 4 pour reste^ et que le troisième divisé par le deuxième donne 4 pour quotient et 5 pour reste.
Les trois nombres étant désignés, le premier par x, le
deuxième par y et le troisième par z, si l'on exprime la valeur
de chacun d'eux par rapport à celle du deuxième, nous aurons
le tableau suivant :
ar = 3i/ -H 4,
; = 4y + 3 ; en additionnant membre à membre ces trois égalités, il vient
x-i-yH-z = 8t/-f-9,
et comme la somme des trois nombres est égale à 145, on peut
écrire
145 = Sy-^9.
Le problème est ramené à cet autre :
Trouver un nombre dont le produit par 8 augmenté de 9 donne
145 pour résultat.
Ce nombre est égal à
C'est le deuxième nombre demandé.
Le premier est dès lors égal à
17x3 -H 4 = 55, et le troisième, à
On vérifie ces trois nombres en montrant que leur somme est égale à 145.
257. IV. Deux ouvriers tî^availlent ensemble; le premier , qui
"ïT." ■ "« '.
gagne 3'' par jour de plus que le second, travaille pendant 31 jours et reçoit 38'' de plus que le second, qui a travaillé pendant 42 jours. Quel est le gain journalier de chacun de ces ouvriers?
Une hypothèse nous servira de point de départ. Si le deuxième ouvrier gagnait autant que le premier, il recevrait 3"x42 = 126'' de plus qu'il ne reçoit, soit 126'' — 38" = 88" déplus que ne reçoit le premier, et ces 88" représenteraient le salaire du nombre de jours qu'il a fournis de plus que le
premier, c'est-à-dire de 42i — 31J = 11 jours. Le prix de sa
88'' journée serait ainsi de — = 8''. Mais d'après Fhypothèse
faite, ce prix de 8" est celui de la journée du premier ouvrier ; celui de la journée du deuxième, inférieur de 3", est donc de 8" — 3'' = 5".
On vérifie en montrant que 31 jours à 8'' donnent une somme qui surpasse de 38'' celle que donnent 42 jours à 5".
358. Y. Les roues de devant d'une voiture ont fait 2600 tours de plus que les roues de derrière; trouver le , chemin parcouru par la voiture, sachant que le tour d'une roue de devant mesure 2",10 et celui d'une roue de derrière 3"»40.
Les 2600 tours en plus d'une roue de devant, qui donnent une longueur de 2'",10x 2600 = 6 460», représentent ce qu'une roue de derrière, dans le nombre de tours qu'elle a effectués, a développé de plus qu'une roue de devant avec ce même nombre de tours. Cette longueur de 5460"^ est donc le produit de la différence des contours des roues par le nombre de tours faits par la plus grande; ce nombre de tours est
ainsi de
n s'ensuit que le chemin parcouru par la voiture est de
3»,40x 4200 = 14280 mètres.
On vérifie ce résultat «n cherchant combien le contour de chaque roue est contenu de fois dans ce nombre, et la différence des deux quotients doit reproduire le nombre 2600.
259. VI. Un négociant achète du mn de deux qualités différentes^ une première foû 50^1 de la première qualité et 75 de la seconde pour une somme de 4250'' ; une seconde fois 80*** de la première qualité et 45 de la seconde pour une somme de 4550''. Quel est le prix de rhectolitre de chaque espèce?
Si le nombre d'hectolitres de Tune des deux qualités, de la première, par exemple, était le môme dans les deux achats, la différence des sommes payées dans les deux cas représenterait la valeur de la dilTérence des quantités de vin de seconde qualité achetées dans Tun et l'autre cas ; la division de la première différence par la seconde donnerait alors le prix de rhectolitre de la seconde qualité.
Cela dit, considérons un commun multiple de 50 et de 80, de préférence le plus petit, 400, et cherchons les quotients de ce nombre par 50 et par 80; ils sont respectivement 8 et 5. On conçoit qu*en multipliant par 8 les quantités de vins qui forment le premier achat, on aurait à payer une somme 8 fois plus grande que la première, et qu*en multipliant par 5 les quantités de vins .qui forment le second achat on aurait à payer une somme 5 fois plus grande que la seconde ; mais à ce compte on aurait une même quantité de vin de la première qualité dans les deux achats, 50"^ x 8 dans le premier et 80"* x 5 dans le second, soit 400^^ dans l'un et l'autre cas. De sorte que la différence des valeurs de ces deux achats, 4250''x8 = 34000^% dans le premier cas, et 4550'''X5 = 22750'' dans le second, ou 34000^' —22 750'' = i 1 250'', représenterait la différence des quantités de vin de seconde qualité dans ces deux achats, 75^1x8 = 600«i dans le premier cas, et 45^1x5 = 325»^ dans le second, ou 600^1 — 225»» = 375™.
La question revient alors à la suivante :
Quel est le prix d'un hectolitre de vin sachant que 375»» valent i i 250'' ?
Ce prix d'hectolitre, qui correspond à la seconde qualité, est ainsi de
Celui de rhectolitre de la première qualité s'obtient en raisonnant ainsi : les 50"^ de vin de la première qualité Talent 4250'' moins la valeur de 75"^ de la seconde, ou 30" X 75 = aSSC', c'est-à-dire 4250'' — 2250'' = 2000" ; le prix d'un hectolitre est donc de
La vérification se fait en montrant que les deux nombres 30 et 40 satisfont aux deux conditions données du problème.
Remarque. — Si, dans les opérations précédentes, après avoir obtenu un même nombre d'hectolitres de vin de première q\ialilé dans les deux achats supposés, la plus grande somme ne correspondait pas au plus grand nombre d'hectolitres de la seconde qualité, l'énoncé de la question contiendrait une absurdité qui rendrait évidemment le problème insoluble.
260. VII. Un nombre compris entre 10 et 100, dont la somme df'^ chiffres est 9,* augmente de 45 unités lorsqu'on intervertit l'ordre de ses chiffres, Quelfst ce nombre ?
Tout nombre étant égal à la somme des valeurs relatives de ses chiffres, 45 unités représentent, pour le nombre inconnu, le décuple de la valeur absolue du chiffre des unités, augmenté de la valeur absolue du chiffre des dizaines, moins le décuple de la valeur absolue du chiffre des dizaines, augmenté de la valeur absolue du chiffre des unités, en d'autres termes, l'excès de 9 fois la valeur absolue du chiffre des unités sur 9 fois la valeur absolue du chiffre des dizaines ; ce qui revient à dire que 9 fois la différence entre les valeurs absolues des deux chiftres du nombre — celui des unités (levant être le plus grand des deux — valent 45 unités. Cette
différence est donc de
Le problème est ainsi ramené à cet autre : Trouver deux chiffres dont la somme est 9 et la différence S. Ces deux chiffres* dont le plus grand représente les unités Ju nombre cherché, et le plus petit les dizaines, sont, le pre-
mier
et Tautre
Le nombre demandé est ainsi 27.
Où vérifie ce résultat en montrant que la somme des valeurs absolues de ses deux chiiTres est 9 et que le nombre 72 obtenu en intervertissant Tordre de ces mêmes chiffres surpasse 27 de 45 unités.
Remarque. — Ce problème peut être aussi résolu très simplement par la méthode de la double hypothèse.
§ II. — Propriétés des nombres.
261. I. Quelle est la plus haute puissance d'un nombre premier tel que 7 qui divise le produit des i 000 premiers nombres entiers?
Parmi les 1000 premiers nombres entiers, il y en a autant de divisibles par 7 que 7 est contenu de fois dans 1000 : soit 142 nombres entiers. Mais parmi ces nombres il en est de divisibles par 7' ou 49, et autant que 49 est contenu de fois dans 1000 : soit 20 de ces nombres. Enfin, parmi ces 20 derniers nombres il en est de divisibles par 7^ ou 343, et autant que 343 est contenu de fois dans 1000 : soit 2 de ces derniers nombres. En résumé, parmi les 1000 premiers nombres entiers, 2 sont divisibles par 7', 20 — 2 ou 18 sont divisibles par 7', et 142 — 20 ou 122 sont divisibles par 7. Le nombre de facteurs 7 contenu dans le produit proposé est ainsi de
C'est dès lors ce nombre 164 qui représente l'exposant de la plus haute puissance de 7 cherchée.
262. II. Un marchand ayant 4200 litres de cognac à 3^^»60 le litre, 1944 litres d'une deuxième qualité àV^fiO et 3024 litres d'une troisième qualité à 2frj40 voudrait vendre la totalité de ces trois qualités en fûts d'égale valeur, mais aussi grands que pos-^
nble. Quelle devra être la valeur commune des fûts, ainsi que la capacité de chacun d'eux et leur nombre pour chaque espèce? Les trois espèces de cognac ont respectivement pour valeur
3'^60x4200 = 15120'' ou 151200 décimes,
2'',80 X 1 944 = 6 443^20 ou 64 432 —
2",40x3024 = 7257^60 ou 72676 —
Nous réduisons en décimes pour avoir des nombres entiers.
La plus grande valeur commune des fûts pour les trois qualités doit être contenue un nombre exact de fois dans chacune des trois sommes précédentes ; par conséquent, elle est exprimée en décimes, par le plus grand commun diviseur des trois nombres qui les représentent. Comme on a
ce plus grand commun diviseur est égal à
La valeur commune cherchée des fûls est ainsi de 604fi',80. La contenance des fûts est dès lors, en litres,
pour la première qualité, de ^ ' = 168,
3, ou
— la deuxième — de -â-ârr = 216,
— la troisième — de ^ .^ = 252.
et le nombre de fûts,
pour la première qualité est de --— - = 25,
— la deuxième — de -— ^ = 9,
— la troisième — de ——- =12.
263. m. Trouver deux nombres connaissant leur rapport et leur plus grand commun diviseur.
Soient — le rapport et D le plus grand commun diviseur de
deux nombres inconnus que nous représenterons par S. et 6. Si a et 6 sont les quotients respectifs de A et de B par D, on a A = Dxa
et B = Dx6,
d'où l'on tire -^ = t- '»
mais comme on a aussi, par hypothèse,
il vient -r =
Or, si le rapport ~ est réduit à sa plus simple expression,
ce qu'on peut toujours obtenir dans le cas contraire, comme a et b sont des nombres premiers entre eux, on a
a =z m et 6 = n, .
d'où A = Dxw
et B = Dxw.
264. IV. Combien y a-t-il au-dessous de iOOOOO de nombres divisibles à la fois j)ar 225 et 315?
Tout nombre divisible à la fois par 225 et 3i5 est divisible par le plus petit commun multiple de ces nombres.
Comme on a 225 = 3* x 5»
et 315 = 3«x5x7,
le plus petit commun multiple des deux nombres proposés est
3«XS*X7 = 1575.
Le problème est ainsi ramené au suivant :
Calculer le nombre entier de fois que 1575 est contenu dans 100000.
En divisant 100000 par 1575, on obtient 63 pour quotient entier et 775 pour refete.
La réponse demandée est donc 63.
265. V. Trou bateaux à vapeur partent pour la même destina- ■ Kon, le premier tous les 5 jours^ le deuxième tous les 8 jours et I le troisième tous les iO jours. Ces bateaux sont partis ensemble I un lundi ; au bout de combien de temps parjtiront-ils de nouveau ! le même jour?
Le temps exprimé en jours après lequel les trois bateaux ' repartiront ensemble doit être un multiple de 5, de 8 et de 10, ' et pour que ce départ ait lieu un lundi, ce même temps doit I éde en ontre un multiple du nombre de jours compris entre I deux lundis consécutifs, c'est-à-dire 7.
La question est donc ramenée à la recherche du plus petit commun multiple des qualité nombres 5, 8, iO et 7.
On obtient comme solution 280 jours,
268. VI. Trouver le plus petit iwmbre qui divisé par 2, par 3, ! par 4,. . . , par 11, donne les restes respectifs 1, 2, 3, ... , 10. Soit N ce nombre. On doit avoir, en premier lieu,
[ N =mult. de2-hl,
ou, en ajoutant 1 aux deux membres de cette égalité,
N -4- 1 = mult. de 2 4- 2, = mult. de 2.
En raisonnant de la même manière pour les autres nombres diviseurs, on sera conduit aux égalités
N -h 1 = mult. de 3, N -h 1 = mult. de 4,
N-hi = mult. de 11.
La question revient donc à celle-ci :
Trouver un nombre N.-!-l qui soit le plus petit commun m\i\iple des nombres 2, 3, 4,. . . , H.
Ce plus petit commun multiple est 27720.
On a donc N -+- 1 = 27 720,
d'où, en retranchant une unité de chacun des membres de cette égalité, N= 27719.
Î87. VII. Trouver deux nombres connaissant leur somme et ^^^ plus petit commun multiple.
Soient les deux nombres A et B et leur plus petit commuzL multiple M. En désignant par D leur plus grand commun diviseur et par a et 6 les quotients de leur division par D, on a
1* AxB . ^
M = — — = axbx D
et A-hB = (a-h6)xD.
Or de ce que a et b sont premiers entre eux, il résulte que a'xb et a-^b sont aussi deux nombres premiers entre eux, car si un nombre premier n est diviseur du produit a x 6, il ne peut être qu'un facteur de a ou de b et non un facteur de Tun et de Tautre, d'où il suit qu'il ne divise pas leur somme a-hb.
La conséquence à tirer de là est^que D est aussi le plus grand commun diviseur de M et de A + B, les deux quantités données.
Cela établi, si Ton calcule ce plus grand commun diviseur D de M et de A -h B, qui estaussi celui de A etdeB, et qu'on multiplie M par ce plus grand commun diviseur, on aura, d'après la première des relations précédentes,
MxD = AxB.
C'est-à-dire que le résultat obtenu donnera lé produit des deux nombres inconnus.
Le problème est donc ramené au suivant :
Trouver deux nombres dont on domine la somme et le produit.
On verra plus loin (280) comment on résout ce problème.
268. VIII. Etant donné un nombre entier quelconque^ trouver combien il y a de nombres premiers avec lui parmi les nombres entiers qui lui sont inférieurs.
Soit N = a^.b^.cP,d'i. ... le nombre entier donné. On conçoit que si de la suite naturelle des nombres entiers
on retranche d'abord tous les multiples de a, puis tous les multiples de 6, puis tous les multiples de c, puis tous les multiples de rf, . . . les nombres restants seront nécessairement premiers avec N, tous les autres ayant avec lui des diviseurs communs.
N ou
Or, les multiples de a contenus dans cette suite sont
a, za, oa, ...^ — a,
N et sont par conséquent au nombre de — En les retranchant
Le
de la suite donnée, il restera un nombre de termes égal à
Les multiples de h contenus dans la suite (1) sont
N et leur nombre est — r-* Mais parmi ces multiples de 6, il en
est de divisibles par a et qui ont été supprimés. Ce sont ceux, évidemment, qui résultent de la multiplication par b des multiples de a contenus dans la suite
et en raisonnant comme précédemment, on trouve que ces
multiples de a dans cette dernière suite sont au nombre de
7 Dans la suite (2) des multiples de 6, il y a donc -,
oXa " •' 6Xa
multiples de a. Le nombre de multiples de 6 à retrancher de
la suite (1) est donc de
b bxa
Après cette deuxième soustraction^ la suite (1) ne contiendra pins qu'un nombre de termes égal à
On démontre, par un raisonnement semblable, qu'après avoir retranché les multiples de c le nombre des termes de la suite (1) a pour expression
DAUZAT- — a^BODOL. 1)
En conliDuant ainsi, on établit donc que l'expression générale de la quantité de nombres entiers inférieurs à un nombre entier N et premiers avec lui est
Mise sous forme entière quant aux parenthèses, cette expression devient
-rA (a-i)(6-l)(c-!Xd-i)...,
ou, en remplaçant N par sa valeur a*". 6". c''. rf^ . . .,
am-l.ftn-l^p-l^ç-l (a-i)(6— l)(c — l)(rf-i). .
§ III. — Fraotions.
g 269. I . Ajouter aux deux termes de la fraction — un nombre
tel que la fraction obtenue diffère de l'unité de
iOOOO En représentant par x le nombre cherché, la fraction pro-
8 -\-x posée devient j^ et l'excès, sur cette fraction, de Tunilé
qui peut être exprimée par — 1 est égal à
lO ~T~ X
