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iSn-o? i5-f-a:
Or, cette dernière fraction doit valoir ^ ce qui revient
lUuUU
à dire que son dénominateur ' i^-\- x est égal à 10000 fois son numérateur 7 . La question revient donc à cette autre :
Trouver un nombre x qui augmenté de 15 est égal à 7 X 10000 ou 70000.
Ce nombre est 70000 — 15 ou 69985.
La vérification de ce résultat se fait en montrant que si ron
ajoute le nombre 69985 à chacun des termes de la fraction j^ on obtient une fraction inférieure de à Tunité.
Rfmarque.— On conçoit que le problème n'est possible qu'autant que la fraction donnée diffère de Tunité d'une quantité plus grande que la fraction d'approximation. S'il en était autrement, il faudrait non ajouter, mais retrancher un même nombre aux deux termes de la fraction proposée.
270. II. Trouver l'expression simplifiée de la somme suivante ^ en lui assignant un nombre déterminé de termes^ et calculer ce que àttieni cette expression lorsque le nombre de termes croit indéfiniment :
1X2 2X3 3X4 4X5 !• Examinons successivement ce que devient cette expression lorsqu'elle comprend i terme, 2 termes, 3 termes, etc.
Le premier terme seul donne -^î
te somme des deux premiers donne
il 3 12
2 2X3 2X3 2X3 3 la somme des trois premiers,
3 3X4 3X4 3X4 4 celle des quatre premiers,
= -=-> etc.
4 4X5 4X5 4X5 5 On remarque que la somme limitée à 1, 2, 3, 4 termes, est
égale à une fraction dont le numérateur représente en unités
le nombre de ces termes et dont le dénominateur surpasse le
numérateur d'une unité.
Pour compléter cette démonstration, il suffit de prouver que
si la somme cherchée affecte cette forme pour n — 1 termes,
elle la conserve pour n termes.
Posons donc que la somme de n — 1 termes est ,
ce qui est toujours possible puisque le fait est au moins vérifié
pour 1, 2, 3 et 4 termes; il s'ensuivra que la somme de n
termes sera, en ajoutant à la valeur —, — du /<«
terme,
n «(n-+-l) n(n-+-l) n(rn-l) nn-l
La forme précédemment entrevue est donc générale et
n -hi
représente la somme des n premiers termes de la série proposée .
^ Si le nombre des termes augmente indéfiniment, la différence entre la somme r et Tunité ou 1 égale à
— » devient plus petite que toute quantité assignable ; il en
résulte que la somme tend vers l'unité.
271. III. Un tonneau contient 210 litres de vin ; on en tire 45 litres que l'on remplace par une quantité égale d'eau; on tire de nouveau 45 litres du contenu du tonneau^ que l'on remplace par une quantité égale d'eau; on fait une troisième fois la même opération^ et l'on demande combien le tonneau contient aloi*s d*eau et de vin .
En tirant une première fois 45 litres de vin d'un tonneau qui
en contient 210, on enlève les -—-- ou les -rr de son contenu;
il en reste donc les -—- ou 210^ x -r-p • Dans la deuxième
opération, on enlève les— du vin restant; le deuxième reste
est donc les -r-— du premier, ou 210' x -rr X^rr' e^ en rai-
sonnant de la même manière, on trouve qu'après la troisième
opération, il y a un reste de vin qui représente les -jj- du pré-
cèdent reste, ou 210' X 7-r X -77 x 77 > ou plus simple-
. «.«. 1331 "»ent 2*0' X 2744-
La question revient donc à prendre les ■ de 210.
Le résultat de l'opération est 101' -—r •
La quantité d'eau contenue dans le tonneau après la troisième opération s'obtient par différence; elle est égale à
«iO» — lOii 4^ ou 108»
Reharque. — On pourrait calculer directement et de la
manière suivante cette quantité d'eau :
Sur les 45 litres d'eau introduits dans le tonneau par la pre-
fflière opération, il n'en reste, après la deuxième, que les 77-
ou 45» X YT ' ™^»s ^^ ®^ ajoutant 45, il s'en trouve ensuite «1X^+43' ou «'(-77 H-77^ = '*5iX-?^- Decetle
quantité, il ne reste, après la troisième opération, que les
7T' OU 45»x -ttXtt- > or> comme on en ajoute ensuite 14 14 14
45 litres, il y en a finalement 45» X 77- X 77 -h 45» , ou,
tous calculs effectués, 108» —— » nombre déjà trouvé par le
procédé indirect.
