V (Problème des fontaines). — Pour remplir un bassin

un premier robinet mettrait 11** -r- ^i t«w deuxième 43**—- ;

pour le vider, il faudrait 12*» — à un troisième robinet. On

ouvre d'abord le premier robinet seul pendant 2** — î ensuite les

trois robinets fonctionnent simultanément. On demande combien il faudra de temps pour achever de remplir le bassin.

Avant que les trois robinets coulent ensemble, le premier a

fonctionné pendant 2^ -— • Cherchons la fraction du bassin

qu'il a remplie. S'il met 41*'— pour remplir la totalité du

bassin, en 1 heure il en remplit r- ou t=-» et en

2*' — > "ït" X^ "â" ~ "Tt" ^® ^^' ^^^^® ^ remplir du bassin à

mm^

partir du moment où les trois robinets fonctionnent simulta- !

nément est dès lors représenté par 1 — — • = -— •

La question est ainsi ramenée à celle-ci :

Pour remplir un 6assin, ur. premier robinet mettrait 11^

ei un deuxième 45" — ; pour le vider il faudrait iV — àun

troisième robinet. En ouvrant les trois robinets à la fois, quel i

temps mettront-ils pour remplir les — — du bassin ?

Etablissons le débit à Theure de chaque robinet. Le premier,

avons-nous trouvé, remplit en une heure les -r— du bassin :

par un raisonnement analogue à celui qui nous a servi pour

obtenir ce résultat, on établit que le deuxième en remplit dans

le même temps d^une heure les -— et que le troisième en

vide les -5^- Il s'ensuit quau bout d'une heure le bassin a

conservé de sa contenance entière une fraction égale à 4 9 7 38433

47 437 86 47x137x86 On est ainsi conduit à cet autre problème plus élémentaire,

qui est une règle de trois simple :

Quel temps faut-il pour remplir les — - d'un bassin lorsqu'en

une heure il s'en remplit les

Les quantités connues et l'inconnue donnent le tableau :

,, 37 47x137x86 on en tire a: = 4*» x t=- X

Remarque L — Pour que le problème soit possible, tel qa^il est énoncé, il faut évideminent que le troisième robinet vide moins que ne donnent ensemble les deux premiers. S'il en était autrement, le problème ne pourrait consister que dans la recherche du temps nécessaire aux trois robinets coulant ensemble pour vider le bassin supposé partiellement ou totalement plein. La marche à suivre dans ce dernier cas pour résoudre la question est suffisamment indiquée par ce qui précède.

Remarque II. — Dans toutes les questions du même genre, que l'on ait à considérer un ou plusieurs robinets destinés h donner de Teau au bassin^ et qu'il y en ait ou non pour le vider, le point de départ est de savoir ce que contient le bassin au moment où commencent à fonctionner tous les robinets ; on compare ensuite ce que le bassin reçoit à ce qu'il perd en Tunité de temps, et la différence de ces deux quantités permet alors de calculer le temps nécessaire pour en remplir ou en vider, selon le cas, une fraction donnée ou précédemment déterminée par un commencement de calcul.

274. VI (Problème inverse des fontaines). — Trois fontaines coulent dans un bassin, La première et la deuxième le rempli-

raient en 4*»---; /« première et la troisième, en 5** -;r:r > la

deuxième et la troisième^ en 6^ — • Quel temps faudrait-il pour

remplir ce bassin : 4® aux trois fontaines coulant ensemble ;

2** à chaque fontaine coulant isolément ?

Cherchons d'abord ce que chaque groupement des fontaines deux à deux donne en une heure. Si la première et la deuxième

réunies mettent 4b — pour remplir le bassin, en une heure

elles en remplissent une partie égale à — — = -—-., En

raisonnant de la même manière, on trouve qu'en une heure, la première et la troisième réunies en remplissent une partie

^gale à — -— = T^jr- 9 et la deuxième réunie à la troisième, ^ 5 120

une partie égale à — — = ^77- Ce qu on peut représenter

amsi

en une heure, !'• -h 2* donnent •--- du bassin ;

Il ressort de ce tableau que la somme des trois fractions

exprime le double du débit à Theure

des trois fontaines coulant ensemble. Ce débit a donc pour

valeur -— - : 2 = — --. Il en résulte que les trois fontaines

zU 40

coulant ensemble mettraient uo nombre d'heures égal à

-rr- = 3*» — - pour remplir le bassin.

Pour la recherche de la seconde réponse, nous ramenons le problème au suivant :

Trois fontaines, en coulant ensemble^ remplissent dans une

heure les -— d'un bassin ; dans le même temps, la première et la

ikuxième en remplissent ensemble les — -, et la première avec la

Iroisièmey les -rgjr- Quel temps faudrait-il à chaque fontaine

coulant seule pour remplir ce bassin ?

Nous n'introduisons pas dans cet énoncé la troisième donnée du problème proposé ; il la contient implicitement par sa

première donnée.

L'excès de -rr^ sur 777 1 égal à --- 1 donne le débit à

Theure de la troisième fontaine ; on en déduit que cette fontaine met 15 heures pour remplir le bassin.

De même l'excès de -rr- sur -7^:r-' égala -r^» doane le

débit à rheure de la deuxième fontaine, qui met ainsi i2 heures pour remplir le bassin.

Quant au débit à l'heure de la première, il est égal à l'excès

il il 1

de -rrr sur la somme -rrr -H -rrr ' le calcul donne -r- pour 40 15 12 8

résultat et Ton en tire que cette fontaine met 8 heures pour remplir le bassin.

La vérification de ces divers nombres consiste dans la résolution de ce quadruple problème :

Trois fontaines mettent respectivement 8, 12 et 15 heures pour remplir un bassin, chacune d'elles coulant séparément. Quel temps faudrait-il pour remplir ce bassin : !<> aux trois fontaines coulant ensemble ; 2<^ à la première réunie à la deuxième; 3° à la première réunie à la troisième ; 4** à la deuxième réunie à la troisième ?

275. VIL Une personne apporte au marché un certain nombre d'œufs qu^elie vend ainsi : une première fois, la moitié de ce qu'elle a plus un demi-œuf; une deuxième fois, la moitié de ce qu'elle a plus un demi-œuf ; et ainsi de suite jusqu'à une cinquième et dernière vente, après laquelle il ne lui reste rien. Calculer le nombre d'œufs^ qu'avait cette personne.

Pour fixer les idées, représentons par x le nombre total d'œufs et cherchons à exprimer la valeur de chacune des cinq ventes.

La première est égale à la moitié des œufs plus un demi-

œuf, ou à "q"^ IT' 1® premier reste est dès lors de

X 1 xi X — --- — -- ou de -^ . En ajoutant un demi-œuf à

la moitié f — —j de ce nombre, on a la valeur de la

«r 1 1 «ri deuxième vente, — r "^ "S" o" "r H ' ®^ ^^ deuxième

Atxi-^ 1 X 1 ^a? 3 reste est égal a -^— -^ j- ou à -• En

prenant la moitié de ce nouveau reste, à laquelle on ajoute un

demi-ceuf, on obtient la valeur de la troisième vente, qui est

X S \ xi

ainsi de -5 o" "^ "5" ^^^^ "3" "^ "S" * ^^ trouve, en

continuant de la même manière, que la quatrième vente a pour

xi. xi

expression -^ -f- -7^> et la cinquième et dernière -r^ h- -r^-

. ID iD 3z 3z

Les cinq ventes ayant épuisé le nombre total d'œufs, on a

Tégalité suivante :

(¥-^4)-^(ï-^l)-^(ï-^¥)-^(-^-^lïï)

(XXX X x \

et la question est ramenée à celle-ci :

Trouver un nombre x tel que sa moitié augmentée de son quart, de son huitième, de son seizième^ de son trente-deuxième et

de la somme des fractions -j- -H -7- H- -^ H- -7^ -H -rx- donne pour

résultat le nombre x lui-même.

Le calcul donnant -^ pour la somme des fractions

•^-H-— H--5-4-TT-^T;zr' c^ problème revient à son tour au

2 4 o it> 32

Trouver un nombre x dont les -— - augmentés de la fraction

■5— donnent pour résultat le nombre x lui-même.

De cet énoncé il ressort que la fraction -— exprime le —

duDombre cherché, et Ton arrive ainsi à ce quatrième problème, encore plus simple que les précédents :

Trouver un nombre x dont le -^ égale la fraction —-■ •