et le nombre total i5-^ x
Remarque III. — Un autre procédé pour résoudre ce môme problème, en partant soit du nombre inconnu, soit du résultat final, consiste dans le calcul de chacun des restes qui suit chaque vente, au lieu de se servir des valeurs respectives de ces ventes. Dans le premier cas, on formule les restes successifs, du premier au dernier, et Ton exprime que le dernier est nul ; dans le second, on établit ces mômes restes, du dernier au premier, et Ton exprime que le premier est la moitié du
nombre cherché diminuée de -^ •
276. VIII. 75 bœufs ont brouté en i2 jours Vherbe fournie par un pré de QOares; 81 bœufs ont brouté^ d'autre part^ en l^ jours Vherbe fournie par un pré de 72 ares. On demande combien il faudra de bœufs pour brouter en 18 jours Vherbe fournie par un pré de 96 ares, en supposant que Vherbe est à la même hauteur, dans les trois prés à Ventrée des bœufs et qu'elle continue de croître uniformément.
Pour fixer les idées, représentons par H la hauteur de rherbe dans les trois prés à Tarrivée des bœufs et par h son développement quotidien. La quantité d'herbe fournie par une surface est proportionnelle à cette surface et à la hauteur de rherbe. Si donc Ton prend pour unité de surface Tare, la quantité d'herbe contenue dans chacun des deux premiers prés, à Farrivée des bœufs, sera exprimée par 60 H et 72 H ; celle qui aura poussé dans le premier en 12 jours, par 60 A x 12, et celle qui aura poussé dans le second en 15 jours, par 72 A XI 5. Or 75 bœufs ayant brouté pendant 12 jours toute l'herbe du premier pré, en un jour, un bœuf en a brouté une
. , . , , 60H-f-60/iXl2 1 „ 4 , quantité égale a ___ = - H -h -g- A ;
et en raisonnant de môme pour le second pré, on trouve qu'un bœuf, en un jour, a brouté une quantité d'herbe égale à
Ces deux expressions de ce que broute un bœuf en un jour dans chaque pré doivent être égales ; mais comme le premier
terme -—H de la première est plus grand que le premier g
terme -—; H de la seconde, il en résulte que leur différence 135 ^
est égale à l'excès de -;rh sur -— A. En effectuant ces sous-
tractions, on a
Si les 7- de A valent -—z de H, A vaut r^ H : — = vs H . 45 135 lo5 45 i^
Ce qui veut dire que chaque jour Therbe croît du — de sa
hauteur primitive.
La question est dès lors ramenée à la suivante :
75 bœufs ont brouté en i*^ jours l'herbe fournie par un pré df
60 areSy dans lequel la poussée journalière a été du — de la
hauteur qu'avait C herbe à l'entrée des bœufs ; combien faudrait-il de bœufs pour brouter en 18 jours dans les mêmes conditions l'herbe fournie par un pré de 96 ares ?
Nous n'introduisons pas dans cet énoncé la seconde donnée du problème proposé : il la contient implicitement par Texpression de la poussée quotidienne de l'herbe.
D'après ce qui précède, l'herbe fournie par le premier pré
est égale à 60 H-h60 -x 12, ou à 120 H, et elle a été
lis
broutée par 78 bœufs en 12 jours ; d'autre part Therbe fournie
LT
par le second pré est égale à 96 Hh- 9G -— x 18, ou à 240 H,
Iz
et elle a été broutée en 18 jours par un nombre inconnu de bœufs. Nous sommes ainsi conduits à la règle de trois composée suivante :
Wf^ "t
Pour brouter en Vi jours une quantité d'herbe représentée par 120 H, il faut 75 bœufs ; combien faudrait-il de bœufs pour brouter en iS jours une quantité d'herbe représentée par 240 H?
Du tableau suivant :
La vérification se fait en montrant que la quantité d'herbe broutée journellement par un bœuf est la même dans les trois cas. Elle est la même dans les deuxpremiers cas, puisqu'on s'est
appuyé sur cette hypothèse pour établir que la poussée quo-
tidienne de Therbe est égale au j- de la hauteur primitive de
cette herbe. Partant de là, on exprime par rapport à cette hauteur primitive» que nous avons représentée par H, la quantité d'herbe poussée en 18 jours dans le troisième pré ; en divisant ensuite Texpression que Ton obtient par le produit du nombre de bœufs. 100, et du nombre de jours, 18, pendant lesquels
ces bœufs séjournent dans ce pré, on trouve 1h qui exprime
la consommation journalière de chaque bœuf ; cette quantité
doit être celle que donne l'un quelconque des autres prés .
^ IV. — Puissances et Racines.
277. I. Trouver une fraction équivalente à la fraction -=• et
dont le produit des deux termes soit égal à 10115.
Toute fraction équivalente à la fraction •— » dont les termes
sont premiers entre eux, résulte de la multiplication des deux termes de cette dernière par un même nombre x et se pré-
sente sous la forme ■=-• Le produit de ses deux termes
5xX7a: est SSx^ ; on a donc l'égalité
35jr« = 10115.
24rO ARITHMÉTIQUE PRATIQUE
Le problème est ainsi ramené à celui-ci : Trouver un nombre dont 35 fois le carré égalent 10115* On a tout d'abord
d'où X = ^289 = 17.
La fraction demandée est dès lors égale à
7X17 ii9
Pour vérifier ce résultat, comme la première condition du
problème est satisfaite puisqu'on obtient rr^ en multipliant
les deux termes de --- par le môme nombre 17, il suffit de montrer que le produit de 85 par ii9 est égal à 10115.
278. II. Avec une provision d'environ 200 arbres ^ on veut faire une plantation en carré : en mettant un certain nombre Marbres par chaque rangée^ il en reste 13, mais en en mettant un de moins par rangée^ il en manque 16. De combien d'arbres s'est-on approvisionné ?
S'il y a un nombre x d'arbres par rangée dans le premier carré, il y en aura x -ti dans le second et les deux plantations comprendront un nombre d'arbres égal à x^ pour la première et à (a? -h 1)* pour la seconde ; or la différence [{x -H 1)* — x^] entre ces carrés de deux nombres consécutifs est égale, d'une part, à deux fois le plus petit nombre plusun ou à 2x + l, d'autre part^ d'après les données du problème, à 13 -h 16 = 29. On a donc la relation
La question revient dès lors à cette autre :
Trouver un nombre dont le double augmenté de Vunité
donne 29.
29 — 1 Ce nombre est — - — = 14. La provision d'arbres est
ainsi de 14^ + 13 = 209.
Lb. vérification se fait en montrant que si l'on retranche 13 de 209 et qu'on ajoute ensuite 16 à ce même nombre 209, on
obtient comme résultats les carrés de deux nombres entiers consécutifs.
279. III. Trouver deux nombres dont la différence est 4 et la différence de leurs carrés 72.
Nous connaissons, pour Tavoir précédemment démontré (196), ce théorème :
Le produit de la somme de deux nombres par leur différence est égal à la différence des carrés de ces nombres.
On en tire cette conséquence qu'en divisant la différence 72
des carrés des deux nombres cherchés par la différence 4 de
ces mêmes nombres, le quotient — ou 18 représente la somme
de ces deux nombres. Le problème est ainsi ramené à cet autre bien connu : Trouver deux nombres connaissant leur somme 18 et leur différence 4.
Le plus grand nombre est — - — = 11
et l'autre — r — = 7.
La vérification consiste à montrer que ces deux nombres ont pour différence 4 et que la différence de leurs carrés est 72.
Rbmarque. — Si au lieu de la différence des deux nombres cherchés l'énoncé du problème portait la somme, le quotient de la différence des carrés par cette somme donnerait la dififéreDce des deux nombres, et le problème serait encore ramené à la recherche de deux nombres dont on connaîtrait la somme et la différence.
280. IV. Trouver deux nombres dont la somme est 21 et le produit 104.
Le théorème précédemment démontré (200) :
La différence entre le carré de la somme de deux nombres et le
carré de leur différence est égale à 4 fois le produit de ces deux
nombres,
permet d'obtenir des données de la question la différence des
deux nombres cherchés. Le carré de cette différence est en
DAOXAT. — MÂTHODOL. 16
242 ARITUMÉIIQUE PRATIQUE
effet 21* — 4X104 = 25,
et la diiTérence, /i5 = 5.
Le problème est ainsi ramené, comme le précédent, à
celui-ci :
Trouer deux nombres dont on connaît la somme et In différence.
Le plus grand nombre est
et Tautre — - — = 8.
On vérifie en montrant que la somme des deux nombres est 21 et que leur produit est 104.
Remarque. — Si au lieu de la somme, l'énoncé du problème portait la différence des deux nombres cherchés, on obtiendrait le carré de la somme^ d'après le même théorème que nous venons d'invoquer, en ajoutant au carré de la diff'érence quatre fois le produit des deux nombres ; on aurait ensuite cette somme en extrayant la racine carrée du résultat, et Ton serait encore amené à la recherche de deux nombres dont on connaîtrait la somme et la diff'érence.
281. V. Un enfant s'amuse à empirer des dés à jouer les uns sur les autres, de manière à former un cube parfait. fj)rsqu'il en met un certain nombre sur chaque ar(Hi\ il lui reste 5 dés sans emploi ; mais^ pour en mettre un de plus par arête, il lui en manqup 32. Combien a-t-il de dés ?
Soit X le nombre de dés de chaque arête du cube lorsqu'il en reste 5 ; j? h- i sera ce nombre lorsqu'il en manquera 32. La différence entre le nombre de dés employés dans les deux cas est, d'une part, égale à [x-hi^ — x^, d'autre part, à 5 -f- 3â = 37. Ce nombre 37 représente ainsi la différence des cubes de deux nombres consécutifs x-^i et x, et cette différence est égale à 3a:* H- 3ar -h 1 . On peut donc écrire
Si des deux membres de cette égalité, on retranche 1, il vient 3x^ ^- 3x = 36
e(, en divisant les deux membres de cette noavelle égalité par 3, j?*-+-x = 12,
ou a?(ar4-i) = 12.
Cette dernière relation exprime que le produit du nombre cherché par ce même nombre augmenté de l'unité est égal à 12. La question est dès lors ramenée à la suivante :
Trouver deux nombres dont le produit est 12 et la différence 1 .
Le carré de la somme de ces deux nombres étant égal à
1« + 4X12 = 49, la somme est égale à /49 = 7,
et le plus petit des deux nombres, qui est celui que nous cherchons, est alors
Le premier cube construit contient donc un nombre de dés égal à 3' ou à 27, et le nombre de dés dont dispose Tenfant est de 27 4-5 =32.
On vérifie en montrant que si Ton retranche d'une part 6 de 32, et qu'on augmente, d'autre part, ce même nombre 32 de 32, on obtient comme résultat les cubes de deux nombres consécutifs.
2S2. VI. Quels sont les deux nombres dont la somme est 109 et la somme des cubes 342 151 ?
Soient x et y les deux nombres cherchés ; on a les deux relations
Les deux membres de la première, élevés au cube, donnent (x -h yY = 109», OU x^ -+- 3a?* j/ -h 3xy* H- t/' = 1295029.
Si des deux membres de cette relation, on retranche respectivement les deux membres de (2), les restes seront égaux et l'on aura Zxhj -h 3xî/« = 95ii878,
ou, en divisant les deux membres par 3,
xhj-^xy^ = 317626; et comme le premier membre de cette dernière relation peut être considéré comme le produit de xy par (ar-f-y), on
peut écrire arj/(x-ht/) = 3176Î6.
Or X H- T/, ou la somme des deux nombres cherchés, vaut 109; à Tégalité précédente, on peut donc substituer celle-ci :
iÙ9xy = 317626,
qui exprime que 109 fois le produit des deux nombres demandés valent 317626; on en tire, pour la valeur de ce produit,
xy = = 2914.
Le problème est ramené au n9 IV : Trouver deux nombrez connaissant leur somme et leur produit.
Le carré de la différence de ces nombres étant égal à
et la différence, à ^^225 = 15,
le plus grand nombre est ainsi
et l'autre = 47.
La vérification doit montrer que la somme des deux nombres est 109 et que la somme de leurs cubes donne 342151 .
283. VII. Quels sont les deux nombres dont la différence est 6 et la différence des cubes 2646?
Soit X le plus petit des deux nombres cherchés ; le plus grand sera x + 6. On aura la relation
En développant (a? h- 6)' et en retranchant ar' -h 216 du résultat, il vient 18ar* h- 108x = 2430.
La division des deux membres de cette égalité par 18 donne X* -H 6ar = 135, ou x{x -h 6) = 135.
Cette relation indique que le produit des deux nombres cherchés est 135. Le problème est dès lors ramené à cet aatre déjà connu :
Trouver deux nombres dont la différence est 6 et le produit 135.
Le carré de la somme des deux nombres cherchés étant égala 6«-h4Xl33 = 576,
la somma est égale à v^576 = 34. II s^ensuit que le plus grand nombre est
et 1 autre — - — = 9.
On vérifie en montrant que les deux nombres 15 et 9 ont
pour différence 6 et pour différence de cubes 2646.
284. VIII. Trouver trois nombres entiers tels que chacun d'eux êst égal au précédent augmenté de 2 unités et dont le produit eif2145.
Soit X le nombre moyen ; le plus petit est alors x — 2 et le plus grand x h- 2. On doit avoir
(ar~2)ap(a?-h2) = 2145, oa (x« — 4)a? = 2145.
Établissons d'abord que 2145 est plus grand que {x — 1)^ Vaprès Ténoncé du problème, x doit être un nombre entier an moins égal à 3, car s*il était plus petit que 3; le nombre X— 2 serait nul ou n'existerait pas^ ce qui ne peut pas être. On démontrera donc que 2143 est plus grand que {x — 1)* si Ton peut établir, sous la réserve que x est au moins égal à 3, rinégalité
(1) {x^-'A)x>{x — iy.
En en développant les deux membres, il vient
jf' — 4j? > ar« — 3a?« 4- 3x — 1, et^ en ajoutant Sor^ + 4r + 1 à chacun d'eux,
ar^ -h 3x« + 1 > ar» H- 7x,
on bien, après avoir retranché x^ des deux membres de cette dernière inégalité, 3x« -f- 1 > Ix.
Maintenant, si l'on fait x, d'après la condition précédente, égala 3-+- y, on obtient 3(3 -!-}/)« + 1 > 7(3-+- j/), ou, par le développement des calculs indiqués,
