ISy ^ 3y« -h 1 > 21 -^ ly

et, en retranchant 21 + ly des deux membres,

246 AKITIIMÉTIQLE PRATIQUE

7H-ily-4-3y«>0.

Or celte relation est toujours satisfaite quelle que soit la valeur attribuée à y. Il en est donc de même de la relation (t) d*où Ton est parti pour obtenir ce résultat ; par conséquent il est établi que 2 145 est plus grand que {x — 1)'.

D'autre part, 2145 est plus petit que x^ car étant égal à (a?2 — 4)x ou à x^ — 4ir, il est inférieur à a?' de 4a?. On peut donc écrire la double inégalité

qui devient, en extrayant la racine cubique de chaque membre,

La racine cubique de 2145 à une unité près par excès sera donc égale au nombre moyen x. Cette racine étant 13, x est égal à 13 et les trois nombres demandés sont 11^ 13 et 15.

On vérifie en montrant que le produit de ces trois nombres, qui satisfont à la première condition du problème, est égal à

Remarque. — S'il s'agissait de trouver trois nombres entiers consécutifs dont on donne le produit^ en représentant, comme précédemment, le moyen de ces trois nombres par x et en désignant leur produit par P, on aurait la relation

(x — 1)4x4-1) = P, qui permet de voir immédiatement que P est plus grand que (x — iy et qu'il est plus petit que x*. D'où la double inégalité

(x— l)8<P<.r', qui donne x — 1 < ^ < x^

et d'où Ton conclut aussi que la racine cubique de P, à une unité près par excès, donne la valeur de x.

§ V. — Intérêt simple.

285. Définitions. — Lorsqu'une personne prèle à une autre une somme d'argent, on appelle intérêt l'indemnité due à la « première personne par la seconde à titre de loyer de la somme prêtée.

Celle somme prêtée se nomme capital.

L'intérêt, variable avec le capital, dépend en outre de la durée du prêt ou placement et du taux de l'intérêt, qui est ordinairement l'intérêt de lOOfr pour une durée d'un an.

Si le capital reste le même pendant toute la durée du prêt, l'intérêt est simple; si au contraire le capital augmente périodiquement de l'intérêt qu'il a produit à la fin de chaque période, Tiniérêt est composé.

La convention générale pour l'intérêt simple est qu'il est proportionnel au capital, au taux et à la durée du placement. II en résulte que les questions élémentaires de ce genre sont de véritables règles de trois.

L'intérêt composé, qui exige d*autres ressources de calcul que celles de l'Arithmétique, sera l'objet d'une étude spéciale en Algèbre.

Nous nous bornerons donc ici à l'examen des problèmes ^intérêt simple.

Pour le calcul de l'intérêt simple, si l'on représente par G le capital, par I l'intérêt, par i le taux et par t la durée du prêt, le problème général peut être énoncé ainsi qu'il suit :

Une somme de 100^'* rapporte un intérêt i en i an ; quel sera Vxniêrét I rapporté par un capital G en t années?

Ce problème renferme six quantités dont deux restent fixes, KMy et 1 an ; les quatre autres sont essentiellement variables et peuvent être à tour de rôle inconnues dans des problèmes de même ordre : de là quatre problèmes différents auxquels peuvent donner lieu les questions d'intérêt simple.

Nous verrons que pour résoudre chacun d'eux il suffira que les trois autres quantités variables soient données.

286. 1 (Calcul de l'intérêt). — Quel est l'intérêt simple produit par un capital de ^QOO^^ placé au taux de 4,50 pour 100 pendant 3 ans 2 inois 16 jours ?

Dans les calculs relatifs à Tintérêt, on considère le mois ^ comme formé de 30 jours et Tannée de 360; de plus, lorsque le temps est exprimé par un nombre à plusieurs unités, on l'évalue en uuités de la plus petite espèce.

Ici, le temps évalué en jours sera exprimé par i 156 jours. D'après cela, les données et Tinconnue du problème donneront le tableau suivant d'une règle de trois ncomposée :

IW 360J i 4^,50

L'intérêt étant proportionnel au capital, au taux et au temps,

en appliquant à cette question Tune quelconque des méthodes

exposées plus haut pour la résolution des règles de trois, on

aura

287. II (Calcul du capital). — Quel capital faut-il placer à intérêt simple au taux de 3,75 pour 100, pendant 4 ans 8 mois pour produire un intérêt simple de 423^'',50 ?

Le temps élant exprimé en mois par le nombre 56, les données et rinconnue du problème donnent lieu à la disposition suivante d'une règle de trois composée :^

On en tire, en remarquant que le capital est proportionnel à son intérêt et inversement proportionnel au taux et au temps^

100frx423,50Xl2 ^.^^,

288. III (Calcul du taux). — A quel taux faut-il placer pendant 5 ans un capital de 540^' pour produire un intérêt simple rfe 114^75? •

Autre règle de trois, qui fournit la disposition suivante des

données et de l'inconnue :

On obtient, après avoir observé que le taux est proportion-

nel à l'intérêt et inversement proportionnel au capital et au

temps,

Ii4^75xl00

Hbmarque. — L'expression pour 100 qui suit généralement le

chilTre du taux est souvent remplacée par le signe Vo ; aussi écrit-on indifféremment qu'une somme est placée à 4,25 pour iOO ou à 4.25 »/o.

289. IV (Calcul du temps). — Quel temps faut-il à une somme de 3648^»' potir produire au taux de ^pour 100 un intérêt simple dé» 273f^60 ?

Les données et Tinconnue de cette autre règle de trois étant disposées comme il suit :

lOO'r 5fr i»

3a48fr 273f^60 x,

et l'observation étant faite que le temps est proportionnel k rintérèt et inversement proportionnel au capital et au taux,

on a

la X 100X273,60 "= 3648X5 =^^^^"^^^^'

Reharqub. — La vérification des résultats fournis par la résolution des quatre problèmes élémentaires de l'intérêt simple se fait, pour chacun d'eux, par la résolution d'un problème analogue à l'un quelconque des trois autres ; la valeur obtenue pour l'inconnue du problème à vériûer y devient une donnée et l'on prend pour inconnue l'une quelconque des trois autres quantités de nature variable.

290. Généralisation des questions d'intérêt simple. — La solution de chacune des quatre questions sur Tintérét simple peut être donnée par la formule générale

Cxixr

qui s'obtient du premier problème généralisé sous la condition que t exprime le temps en années.

Cette formule montre, en effet, par la relation qu'elle établit entre les quatre quantités C, i, t, I, ce que nous avons déjà annoncé, qu'il suffit de connaître trois de ces quantités pour calculer la quatrième.

Les trois quantités C, i, t considérées successivement

comme inconnues, se calculent par le moyen des formules :

^ lOOxI

ti = — : — »

tXt

, lOOxI

qui se déduisent de la précédente en en multipliant les deux membres par 100, pour les diviser ensuite par ixt pour la première question, par Cxi pour la deuxième, et par Cx* pour la troisième.

Ces formules^ traduites eo langage ordinaire, donnent les règles suivantes pour résoudre les quatre problèmes élémentaires de rintérét simple :

4** Uiniérêt est égal au produit du capital^ du taux et du temps, divisé par 100 ;

2** Le capital est égal au centuple de Vintérêt, divisé par le produit du taux et du temps;

3*^ Le taux est égal au centuple de rintérét, divisé par le produit du capital et du temps ;

4** Le temps est égal au centuple de Vintérêt, divisé par le pro" duit du capital et du taux.

291. La combinaison des quatre éléments variables des questions d'intérêt simple donne lieu à beaucoup d'autres problèmes dont quelques-uns vont suivre.

292. V. Une somme a été placée àun taux tel qu après 18 mois elle est devenue^ capital et intérêt compris ^90Sy^,lo, et après 2 ans et demi, 9506f*'.25. Quelle est cette somme et à quel taux a-t-elle été placée ?

La différence entre 9506fr,25 et 9083f^7o, ou 422^^,60, représente rintérét du capital inconnu pour 2 ans et demi moins iS mois, ou 12 mois. Il en résulte que Tintérét de ce même capital pour 18 mois se monte à

= 633fr,75;

qae le capital cherché vaut

9083'r,75 — 633fr,75 = 8450'^; et que le taux demandé est égal à

La vérification se fait en cherchant ce que devient à 5 pour 100 la somme de 8450^^ après 18 mois, d une part, et 2 ans et demi, de Tautre; on doit trouver successivement 9083^'', 75 et 9506^25.

293. VI. 5 frères ont dépensé en 9 mois un capital de 4800^^ avec les intérêts ; dans les mêmes conditions, deux autres personnes auraient dépensé '6S^^^ avec les intérêts en iQ mois. Le taux étant le même dans les deux cas, quel est le montant de la dépense par mois de chacun des 5 frères ?

La dépense par personne et par mois a été, dans le premier

^ 4800ff 2

<^s de -c — ^7» ou lOO^r— > plus les intérêts de cette somme 5x9 3 ^

q *-l9Afr Q

pendant 9 mois, et dans le second cas, de - — --i ou 103^^—1

plus les intérêts de cette somme pendant 16 mois.

Or^ les deux dépenses étant égales , il s'ensuit que la somme de

^Oô^' "5" augmentée de ses intérêts au taux inconnu pendant o

9 mois est égale à la somme de 103^^— augmentée de ses

intérêts au même taux pendant 16 mois. Il en résulte que

l'excès de 106^^ -— sur lOa^r— est compensé, dans le second

cas, par un excès d'intérêt ; on peut donc écrire, si x représente le taux inconnu,

2 3 *03jXl6Xa: 106jX9Xx

^11 166a? mx 7

ou 2 — = = — X.

Ici la question revient à cette autre :

Trouver un nombre dont les -rz valent 2-—'

252 ARITHMÉTIQrE PRATIQUE

il 1^ 35 12

Ce nombre est 2^Xy = — Xy- = 5.

Le taux étant de 5 pour 100, la dépense par mois de chacun des 5 frères sera donc de

On vérifie cette solution en montrant que la dépense serait

exprimée par le môme chiffre mensuel de 110^'— pour cha-

cune des 2 personfies qui dépenseraient 3320^1* avec leurs intérêts à 5 pour 100 en 16 mois.

294. VII. Deux personnes qui possèdent ensemble une somme de 167280^f, placent leurs fonds^ la première à 4 pour 100 pendant 3 mois, et la seconde à 5 pour 100 pendant 7 mots. On demande de calculer lavoir et Vintérêt de chaque personne, sachant que l'intérêt de la première est double de celui de la seconde .

La solution a pour point de départ ici Thypothèse que deux autres personnes ont placé des fonds dans les mêmes conditions et que la seconde personne a reçu 1'^ d'intérêt ; il s'ensuit que la première aura reçu 2^^' et que les capitaux qui auront produit ces intérêts seront :

.. 100frx2X12 ^^, pour la première, — = 200^^

100frxlXl2 240fr

et pour la seconde, z — ;; = —^r- '

Les deux capitaux cherchés sont donc entre eux comme les

nombres 200 et — • Le problème proposé, dans sa première