partie, revient donc au suivant

Partager la somme de 167280^1" en deux parties proportion-

ne lies aux nombres 200 et -=-•

On a, pour le premier capital, â-rr — = iizvw",

i67280frx--et pour le deuxième, : — = 2448(Ki'.

Les intérêts produits peuvent s'obtenir directement des deux sommes trouvées, 142 800^' et 24480fr ; mais on peut les calcu- 1er aussi en résolvant le double problème de règle 'de trois

simple suivant :

240^' Une somme de deux capitaux égale à 200^' H — =— ou

— - — 9 procure un intérêt de 2^' ^ la personne qui possède le

premier de ces capitaux et de 1^' à celle qui possède le second; quels sont les intérêts que procurera dans les mêmes conditions une somme de deux capitaux égale à 167 280^^ ? La question donne lieu aux deux tableaux suivants :

on en tire x = — ,^„^ = 1 428^»'

et ^ = 1^^X167280X7 ^

On peut se contenter de calculer le premier intérêt et d'en prendre la moitié pour avoir le second.

Pour vérifier les deux parties de la solution, on montre que les nombres trouvés satisfont aux conditions de l'énoncé du problème. Mais on peut aussi vérifier la première sans connaître la seconde, en établissant que les deux capitaux, 142800^^ et 24480'*', ont pour somme 167 280^*" et donnent, le premier en 3 mois à 4 pour 100, et le second en 7 mois à 4 pour 100,. des revenus tels que le premier est double du second. La vérification de la seconde partie peut aussi se faire sans s'appuyer sur la première, en montrant que les revenus de 1 428'^' et 714'^

sont doubles Tun de Tautre, si on les a calculés tous les deux directement, et sont produits, le premier en 3 mois à 4 pour 100, et le second en 7 mois à 5 pour 100, par des capitaux dont la somme totale est 167280^^

295. VIII. On place un capital inconnu C à un taux inconnu ?. Ce capital, retiré au bout d'un an, augmenté de 1000^*" et placé à 1 pour iOO de plus^ a produit un revenu annuel supérieur de 80'^'* au revenu précédent. Un an après, onretire de nouveau le capital, on y ajoute 500'*" et on le replace de nouveau à 1 pour 100 (^ plus que la seconde année; le revenu annuel augmente encore de 10^^. Trouver le capital primitif C et le premier taux i.

L'excès SO^*" du second revenu annuel sur le premier repré-

G sente le revenu annuel du capital C à l pour 100 ou -tt^i plus

le revenu annuel de 1000^'" à i pour 100, d'une part, et à 1 pour 100, de lautre, ou -f- — — , ou plus simple-

ment iOi + 10. On a donc la relation

80= A.-4-lOi + lO,

ou, en retranchant 10 des deux membres,

En second lieu, Texcès 70'^ du troisième revenu annuel sur le second représente le revenu annuel du capital G à 1 pour

iOO, ou — —1 plus le revenu annuel de 1000^^* k 1 pour 100.

ou 10^^ plus le revenu annuel de 500^*" au taux initial de i

pour 100, d'une part, et au taux de 2 pour 100, d'autre part,

500i 500x2 ou .^^ H -rrrr — » OU eucore 6i H- 10. On a ainsi

70= -A.-i-10-H5i-hlO,

ou, en retranchant 20 de chaque membre de Tégalité,

La comparaison des égalités (1) et (2) fait ressortir que les

deux membres de la première surpassent les deux membres de la seconde respectivement de 20 et de 5i, ce qui revient à dire que 5 fois le taux valent 20 et à résoudre ce problème/:

Quel est le nombre çLont le quintuple est 20 ?

Le taux est ainsi égal à -^ ou 4.

Pour avoir le capital, il suffît de considérer une des égalités (I) ou (2), la première, par exemple, qui exprime que TO^"* valent le centième du capital inconnu, augmenté de 10 fois le taux, ou W^, autrement dit, que 70'r — 40'^ ou 30'r valent le centième du capital. On est ainsi amené à résoudre cette question :

Trouver une somme dont le centième est SO^"".

Cette somme est SO^^x 100 = 3000^^

Oo vérifie en appliquant au capital 3000f>* et au taux 4 pour iOO Les conditions successives du problème : les trois revenus annuels doivent être tels que le second surpasse le premier de 80^»" et que le troisième surpasse le second de 70^''.

296 IX. En plaçant sa fortune^ partie à 5 et partie à 3 pour JOO, une personne se fait un revenu annuel total de 3800^'*. Mais si la première somme était placée à 3 pour 100 et la seconde à 5, son revenu augmenterait de 400^'". Quels sont ses deux placements? • De ce que le revenu annuel augmente en intervertissant Tordre des placements, il résulte que le second placement est plus élevé que le premier.

Faisons l'hypothèse que cette différence est de 100^^'. Par Finlerversion des placements le revenu sera augmenté de la différence des deux taux ou de 2^^ ; or, comme Taugmenlation donnée est de 400*^»', la différence de ces placements est de

Ces 20000^^ placés à 3 pour 100 donnent un revenu annuel

de 3!:><^m ^ ^

L'excès de revenu total 3800^^' sur 600^»', ou 3200f^ est alors produit par deux capitaux égaux, Tun placé à 5 pour 100,

Taulre à 3; les deux parties de ce revenu sont donc nécessairement entre elles comme 5 est à 3. La question est ainsi ramenée k la suivante : « Partager 3200^' en parties proportionnelles aux nombres^ et 3.

3200f''x5 ^^^, On a pour la première — = — - — = 2000^»",

et pour la seconde — - — r — = 1200"*.

Les deux capitaux égaux qui ont produit ces revenus sont, en calculant le premier seul, par exemple, de

Ce chifîre représente en même temps le montant du premier placement. Le second, supérieur de 20000'', est alors de 40000'' H- 20000'' = 60000".

La vérification consiste à montrer qu'en soumettant ces deux sommes, 40000'' et 60000'', aux conditions successives du problème, on trouve un premier revenu annuel de 3800'' et un second qui surpasse le premier de 400''.

Remarque. — Si le second revenu était inférieur au premier, ce serait Tindication que le premier placement est plus élevé que le second, et en partant de cette première observation, on raisonnerait comme précédemment pour résoudre la question.

297. X. Deux capitaux dont le total est de 60000'' sont placés, l'un à 4 pour iOO pendant 6 mois. Vautre à 5 pour 100 pendant 8 mois ; ils donnent une somme d'intérêt égale à i 680''. Calculer ces deux capitaux.

Nous appliquerons à ce problème la méthode de la double hypothèse.

/" hypothèse. Supposons d'abord que le premier capital soit de iOOOO'' ; le second sera de 50000''. Le revenu de iOOOO'' à 4 pour 100 pendant 6 mois est de

4"xi0000x6 ^

et celui de 80000'' à 5 pour 100 pendant 8 mois est de

kÉàOLDTlON DE PROBLÈMES 2o1

l^iOO 3

La somme de ces deux revenus, âOO'r 4 i(j(^6fr .- q^

ISee'»--- , est supérieure à 1 680^^ de "1

1 866f'|. — i680''' = 18Gfr^ .

2^ hypothèse, — Supposons en second lieu que le premier capital soit de iOOOO'^ plus élevé que nous l'avons tout d'abord imaginé, c'est-à-dire de 20000'»* ; le second sera de 40000''". Le revenu de 20000'^' à 4 pour iOO pendant 6 mois est de

et celui de 40000'< à 5 pour 100 pendant 8 mois est de

La somme de ces deux revenus, 400''* -+- 1 333'"' -7- ou

1 733fr , est supérieure à 1 680'»' de o

i 733fr L i 680"* = 53''* -^ .

Ainsi, en augmentant le premier capital supposé de iOOOO''',

le revenu a baissé de 186''* -^ — SS'»* --» ou de 133'' -- • On

est donc amené à résoudre la règle de trois suivante :

De combien faut-il augmenter le premier capital supposé pour

diminuer le revenu total de 486''* —, si une augmentation de

lOOOO''" produit une diminution de revenu de 133'"^ — ?

Du tableau 10000'' 433'' --

UACZAT. — MKTHODOL 11

iOOOO'r X 186 ~

fi' on tire x = — = 14000^^.

Le premier capital est donc de 10000^»* h- 14000^«' = 24000^'*, et le second, de 60000^^ — 24000'r = 36000^^.

On vérifie en montrant que les sommes de 24000^* et de 360OCK«" placées respectivement à 4 pour 100 pendant 6 mois et à 5 pour 100 pendant 8 mois donnent un total d'intérêts égal àl680f^

Remarque. — Si Ténoncé du problème portait la différence au lieu de la somme des intérêts produits par les deux placements, la méthode de résolution serait exactement la même, sauf que dans chaque hypothèse on raisonnerait sur des difi'érences d'intérêts au lieu de le faire sur des sommes.

§ VI. — Escompte.

298. DéflnUions. — Lorsqu'une personne achète à terme des marchandises, elle s'engage généralement à payer la somme due sur la présentation, à l'expiration du délai convenu, d'un eflet de commerce, billet à ordre, traite ou autre, souscrit ou accepté par elle. Mais le créancier peut obtenir un payement anticipé parla vente, la négociation, la transmission de son effet à un banquier qui lui en verse le montant en espèces, en lui faisant subir toutefois une retenue qu'on appelle escompte,

La somme inscrite sur un eflet de commerce est sa valeur nominale, et la somme payée parle banquier (difl*érence entre la valeur nominale et l'escompte) est la valeur au comptant decetefl'et.

L'époque à laquelle doit être payé un efTet s'appelle V échéance.

L'escompte, variable avec la valeur nominale de Teffet et le temps à courir jusqu'à Téchéance, dépend encore d'un taux qui représente l'intérêt attribué à 100^^ pour un an.

Ordinairement l'escompte se calcule comme s'il s'agissait de

HÉSOLCTION DE PROBLÈMES 2o9

Tinlérêt simple de la valeur nominale de l'effet pendant le temps qui sépare le jour de l'opération de celui de Téchéance. Cette manière de procéder, quoique légale, n'est pas rigoureosement juste, car le banquier retient un intérêt plus élevé que celui de la somme qu'il débourse.

Rationnellement l'escompte devrait être l'intérêt de la valeur an comptant de l'effet et non celui de la valeur nominale.

Le premier escompte se nomme escompte commercial ou en iehort ; l'autre, escompte rationnel ou en dedans.

Ed outre de Tescompte, le banquier perçoit généralement une commission^ qui s'augmente d'un change de place si l'effet doit être payé en dehors de sa résidence. Commission et change déplace sont proportionnels à la valeur nominale de l'effet.

Dans ce qui va suivre nous ne nous occuperons pas de ces frais accessoires.

i. — Escompte commercial.

299. £n considérant comme valeur de l'effet sa valeur nominale, Vescompte commercial ou en dehors donne lieu à quatre problèmes élémentaires analogues à ceux de l'intérêt simple et se résolvant par les mêmes, procédés. En voici l'énoncé avec des données numériques :

I (Calcul de l'escompte commercial). — Quel est l'escompte commercial qu'a subi un effet de 2 400^'' payé 6 mois avant son khéance^ le taux de Vescompte étant de 5 pour 100 ?

II (Calcul de la valeur nominale). — Quelle était la valeur nominale d'un effet qui a subi pour 1 an 3 mois^ au taux de 5,50 jwiérlOO, un escompte commercial de 132^»?

m (Calcul du taux). — A quel taux a dû être escompté un effet dont la valeur nominale était de 3850^^* et qui, paxjé 8 mois ^^ jours avant son échéance, a donné 165^^,625 d'escompte commercial ?

rv (Calcul du temps). — De combien de temps a-t-on avancé le payement d'un effet dont la valeur nominale était de 1 875^'*, {escompte commercial, au taux de 6 pour 100, ayant donné 37f»',50 ?

Nous laisserons au lecteur le soin de résoudre ces questions qui lie diflerenl uniquement de celles de l'intérêt simple que

par quelques termes, valeur nominale au lieu de capital, et escompte au lieu dMnlérêt.

300. Mais, si au lieu de faire entrer dans les problèmes relatifs à l'escompte la valeur nominale de TefTet, on considère la valeur au comptant^ les questions deviennent très diiTérentes et demandent une transformation pour être mises sous la forme de règles de trois.

C'est ce que vont montrer les exemples suivants :

301. V (Calcul de l'escompte commercial). — Pour un effti payé 6 mois avant son échéance on a reçu 1 950^** ; qtiel escompte commercial a-t-on prélevé au taux de 5 pour 100 ^

Pour formuler ici la règle de trois, il faut chercher la valeur au comptant d'un billet de 100^^ escompté pour 6 mois au taux de 5 pour 100, c'est-à-dire Ja valeur de môme espèce que lOSO^»* qui correspond à une valeur nominale de iW^.

L'intérêt de 100^'' pendant 6 mois à 5 pour 100 est de

5fr X 6

= 2'^50. Un billet de lOO^r escompté dans les conditions du problème est donc ramené à la somme de

lOOfr — 2f» ,50 = 97fs50.

On est alors conduit à la règle de trois simple : Une valeur au comptant de 97^^,50 correspondant à wn escompte de 2^'',50, à quel escompte correspond^ dans les mêmes conditions, une valeur au comptant de 1 OôO^""?

Les deux grandeurs envisagées étant directement proportionnelles, on a

302. VI (Calcul de la valeur au comptant). — Quelle est la valeur nu comptant d*un effet payable dans 8 mois, qui a donné 65^»* d^escompte commercial au taux de 6 pour 100 ?

De nouveau il faut commencer par chercher la valeur au comptant d'un effet de lOO^*" escompté dans les mômes conditions que celui dont on s'occupe.

L'intérêt de 100'^' pendant 8 mois, au taux de 6 pour 100,

6^'X8 étant de ,- = 4'^ un effet de lOO^"- devient

Et la règle de trois simple à laquelle on aboutit est la suivante :

Un escompte de 4^'' correspond à une valeur au comptant de 96'"' ; à quelle valeur au comptant correspond dans les mêmes conditions un escompte de 65'^ ?

Les deux grandeurs considérées étant directement propor-

tionnelles, on a

j, ^ 96^^X65 ,^, d'où X = ". = 1 560'^

303. VII (Calcul du taux). — (In effet payé 9 mois avant son échéance a été ramené par un escompte commercial de 45'^ à la tomme de i 205'^ ; à quel taux a-t-il été escompté ?

Le taux étant le revenu de lOO^r pour 1 an, il faut ici chercher la somme qui a donné 45'^ d'intérêt en 9 mois. Cette somme est égale à la valeur au comptant de Teffet^ augmentée de rescompte, c'est-à-dire à 1205'»' -+- 45'' = 1250^»*.

Le problème auquel se ramène le proposé est alors le suivant :

A quel taux faut-il placer une somme de \ SSO'»" pour produire un intérêt de 45'»" en 9 mois ?

C'est un problème connu d'intérêt simple, qui a pour

solution

^ 45rrxl00xl2 ^

304. VIII (Calcul du temps). — Au bout de combien de temps était payable un effet qui a donné, au taux de 6 pour 100, une valeur au comptant de 1149''',495 et un escompte commercial de 17f%505 ?

17^505 étant Tintérèt de ll49'r,495 -hl7'r,505 = 1167'» pendant le temps cherché, la question est ramenée à celle-ci :

262 ARITHMÉTIQUE PRATIQCE

Quel temps faut-il à une somme de 1167'''" pour produire, at taux de 6 pour 100, un intérêt de 17^^,505 ? Ce problème connu d'intérêt simple a pour solution

= — d'année ou 3 mois.