Généralisation dee questions d'escompte rationnel

La généralisation des questions sur Tescompte rationnel donne lieu^ en partant du problème I, à la formule suivante, dans laquelle les lettres N, E', i, t représentent respectivement la valeur nominale de TefTet, l'escompte rationnel, le taux, et le temps en années :

Cette formule permet de résoudre les quatre premiers problèmes dont nous nous sommes occupé.

On peut déduire la solution des quatre derniers d'une autre formule un peu différente, qui s'établit en partant du problème V, dans lequel on représente par A' la valeur au comptant, mais où Ton conserve les mêmes notations que ci-dessus pour les quantités communes aux deux sortes de questions. Cette formule est la suivante :

L'analogie qu'elle présente avec la formule (1) et celle qui est relative à l'intérêt simple est une nouvelle preuve de ce que nous avons dit touchant la marche commune à suivre pour résoudre les problèmes auxquels elles se rapportent.

Il peut être utile de trouver, comme dans le cas de l'escompte

commercial, une relation entre la valeur nominale et la valeur

au comptant d'un effet. Pour cela, il suffit d'exprimer que les

seconds membres des formules (4) et (5) sont égaux entre eux

comme étant respectivement égaux à une même quantité E',

et Ton a

A^ X / X / NXiX/ .

100 " iOO-hiX^ '

en divisant les deux membres de cette égalité par ix * et en les multipliant ensuite par 100, il vient

(6) ^__NXiOO

Cette formule, qui établit une relation entre quatre quantités différentes des précédentes par leur ensemble, permet de résoudre quatre nouveaux problèmes dont l'énoncé est facile à trouver.

Remarque. — L'escompte commercial appliqué à une longue échéance conduit à des absurdités ; il suffit pour s'en convaincre de considérer le cas où Ton cherche la valeur au comptant d'un efTet payable au bout de 20 ans,, en prenant pour taux de l'escompte commercial 5 pour 100 : on obtient une valeur nulle. D'une manière générale, et c'est ce que montre la formule (3), cette valeur est nulle lorsque le produit du taux et du temps exprimé en années est égal à 100.

Le qualificatif de rationnel appliqué à l'escompte en dedans se justifie une fois de plus par le fait que cet escompte, quels que soient le taux et le temps d'après lesquels il est calculé, n'annule jamais — ce qui doit être — la valeur au comptant de l'effet escompté : c'est ce que montre la formule (6) ; et si l'on reprend le cas d'un effet payable au bout de 20 ans, le taux de l'escompte rationnel étant de 5 pour 100, on trouve pour valeur au comptant la moitié de la*valeur nominale.

3. — Relation entre rescompte commercial et l'escompte rationnel.

317. Entre l'escompte commercial et l'escompte rationnel, opérés sur une même valeur nominale d'effet, d'après le même taux et pour le même temps, il existe une relation simple que l'on obtient en partant des formules (1) et (4).

Si Ton retranche, en effet, ces deux relations membre à membre, la seconde de la première, on a

ou E — E' = NxiX<

100 100-4- ix/

m) loo-t-ix

oa bien, eneffeclaant la soustraction indiquée entre parenthèses et simplifiant,

, . iXt NxiX/ iXt

*""*" "-^>^*^^^ 100(100 H- ix/j ■" m + ixt^ 100 •

Enfin, si Ton remplace dans cette dernière relation NxtX/

par sa valeur E', il vient E— E' = E'x