A quel taux faut-il escompter commercialement

deux billets^ l'un de 1800" à 8 mots d'échéance et l'autre de 1 160'' à A^ jours d'échéance^ pour que la valeur au comptant du second soit supérieure de i8^%80 à celle du premier ?

La valeur au comptant du premier billet étant inférieure à celle du second, la différence des deux escomptes est égale à l'excès de 1 800''' sur 1 760'^ ou 40'^ plus 18'%80, c'est-à-dire à 58",80.

Cette somme de 58'%80 représente l'intérêt de 1800'«' pendant 8 mois, au taux inconnu, moins Tintérôt de 1 760" pendant 45 jours au môme taux.

Le premier de ces intérêts est le même que celui d'une somme 240 fois plus grande que 1800" en un jour, et le second, le même que celui d'une somme 45 fois plus grande que 1760" en un jour; c'est-à-dire que 58",80 sont l'intérêt, en un jour, d'une somme de 1 800"x 240 — 1 760" X 45 ou de 352800". La question revient ainsi à cette autre :

A quel taux faut-il placer une somme de 352 800" pour produire en un jour un intérêt de 58", 80 ?

Ce taux, qui est celui qu'on cherche, est égal à

La vérification consiste à montrer que les deux billets,

escomptés dans les conditions données, sont ramenés à des

valeurs telles que la seconde surpasse la première de 18",80.

Remarque. — Gomme le précédent, ce problème peut être

résolu d'une façon très simple en partant d'une hypothèse.

321. III. On présente à un banquier deux effets de cornmerce^ payables l'un dans 50 jours ^ l'autre dans 70 jours ; l'escompte commercial fait par le banquier a été de 20",50 à raison de 7 pour 100. Si l'escompte avait été fait iO jours plus tard^ il aurait été moindre de 3",55. Quelle était la valeur de chacun de ces effets ?

3",55 sont les intérêts, à 7 pour 100, pour 10 jours, de la somme des deux billets ; cette somme est dès lors donnée par l'expression suivante, qui représente le calcul du capital dont l'intérêt, au taux de 7 pour 100 pour 10 jours, est de 3",55 :

RÉSOLUTION DE PAOBLÈMES 271

La question est ainsi ramenée à la suivante :

Trouver les valeurs de deux effets qui ont pour somme totale

1825'^— 5 dont l'un est payable dans 50 jours ^ l'autre dans 70,

et gui donnent 20^^,50 d'escompte commercial au taux de 7 pour 100.

C'est le problème X sur Tintérét. Pour le résoudre, nous aurons, comme précédemment, recours à la méthode de la double hypothèse.

Supposons d'abord que le premier effet ait une valeur de iOO^^^

le second, vaudra 1725^** — , et les deux escomptes, respectivement égaux à

7frxl725j-x70 ^

et à — r = 23^'

auront pour total

somme supérieure à 20^^,50 de

24^*- -— — 20'^50 = 3ff — - .

Supposons ensuite que la valeur du premier effet soit de

2(W', celle du second sera de 1 625'^ — , et les deux escomptes,

respectivement égaux à

7fr X 200 X 50 35^ 36000 *~ 18

7f' XI 625 4x70

eu i = 22fr ^=^,

auront pour total

272 ARITUMÉTlQtJE PRATIQUE

35fr 23 ,13

-f. 22fr = 24^'"

somme inférieure à la précédente de

24fr 24fr =

Nous sommes alors conduit, par ces résultats, à résoudre cette règle de trois simple :

Une augmentation de 100^' pour le premier effet produit une

diminution d'escompte de sur V excès primitif de 3'' ;

quelle doit être l'augmentation du premier effet pour que la diminution correspondante d'escompte soit égale à l'excès primitif lui-même ?

Du tableau 100^'

180 100f'x713 ,^,of.. ^

on tire x = = = 1018^'—-

La valeur du premier effet est donc de

1 oi8fr -^ -f- 100 = 1 118f^ 4-»

et celle du second, de

1 825fr 4 — il iB^»- 4 = 707^'' 4- •

On vérifie ces résultats en montrant que les deux effets, dont les échéances respectives sont à 50 et à 70 jours, donnent au taux de 7 pour 100, d une part un escompte total de 20fr,50, d'autre part, un escompte inférieur au premier de 3'r,55 si chaque échéance est avancée de 10 jours.

322. IV. Quelle doit être la valeur nominale d'un billet payable dans ÏQ^ jours pour que la différence des deux escomp-

tlÉSOLUTlON DE PROBLÈMES 213

tesy commercial et rationnel^ calculés au même taux de 6 pour 100, soit de 4f',05 ?

D'après la formule (7) la somme de 4^i',Û5 représente l'intérêt de l'escompte rationnel pendant 162 jours, au taux de 6 pour lOO. Cet escompte rationnel est ainsi de

et l'escompte commercial est de 150^^ -f- 4^' ,05 = 154'r^05.

La question revient dès lors à celle-ci :

Calculer le capital qui a rapporté en 162 joursy au taux de ^pour 400, un intérêt de 154fr,05.

Ce capital, qui représente la valeur nominale du billet, est

1 égala i»iî^^><l^><^ = 57054.

La vérification se fait en montrant que l'escompte rationnel

opéré à 6 pour 100 pendant 462 jours sur la somme de 5 TOS'"^ —

estde450fr.

! 323. V. En escomptant un effets commercialement au taux de [' 6 pour 100, et rationnellement au taux de 6,25 pour 400, on obtient des valeurs au comptant égales. Quelle est l'échéance de ceteffet?

Les deux escomptes étant proportionnels à la valeur nominale de TefTet, Téchéance cherchée, que nous représenterons par Xy est indépendante de cette valeur nominale. Considérons dès lors un effet qui se réduit à 400'i' après escompte commercial. L'escompte rationnel pour x jours à 6,25 pour 400

est égal à — ^-^er ' ^^ s'ensuit que la valeur nominale de

cet effet est de 400''' h ^t^t; » et que l'escompte com-

mercial calculé séparément sur les deux parties de cette valeur nominale est égal à

V'Xx 6'r.25Xxx6Xar 6frxa: 6^25x6xa:«

DACXAT. — MâTRODOL. 18

274 ARITHMÉTIQUE PKÂTIQL'Ë

Or, les deux escomptes sont les mêmes ; on a donc Tégalité 6,25 XX 6xx 6,25 X 6 X ar*

de laquelle on tire, en divisant les deux membres par x et en les multipliant par 360^

ce qui revient à cette question :

Jrouver un nombre dont le quotient de la division par 960, augmenté de 6, donne 6,25 pour résultat.

Ce quotient est égal k 6,25 — 6 = 0,25, et le nombre est

L'échéance cherchée est donc de 240 jours.

On vérifie en montrant que les deux escomptes d'un effet quelconque, calculés pour une échéance de 240 jours et aux taux indiqués, sont égaux.

324. VI. Etant donnés deux effets, /'un rfe 6 ^20f^ Vautre de 6400^»', et l'échéance du premier étant de 45 jours plus éloignée que celle du second^ l'escompte rationnel du premier au taux de 4 pour 100 est égal à l'escompte commercial du second au taux de 5 pour 100. Quelles sont les échéances de ces deux effets ?

Représentons par x le nombre de jours qui marque réchéance du premier effet ; celui qui marque l'échéance du second sera de x — 45. L'escompte rationnel du premier au < taux de 4 pour 100 aura pour expression

4Xar 36000-f-4Xa- 90004-ar

L'escompte commercial du second effet aura pour expression a: — 45

5XG400X

lUO 36000 9

Les deux escomptes étant égaux, on pourra écrire

et, en égalant dans cette proportion le produit des extrêmes à celui des moyens, 72000(i — 43)-+- 8jr(x — 45) = 55080a:, ce qui revient à 72000x — 3240000 -+- 8a:* — 360a: = 55080a:, ou, plus simplement, en écrivant le troisième terme au premier rang et effectuant la soustraction 72000x -— 360a:,

Si Ton retranche ensuite 55080x des deux membres de cette dernière égalité, pour leur ajouter 3240000 et les diviser enfin par 8, on a

On est ainsi conduit à résoudre ce problème :

Trouver un nombre dont le carré augmenté de 2070 fois ce

nombre donne pour résultai 405000.

I Une question de ce genre appartient au domaine de TAlgèbre,

mais on peut la résoudre arithniétiquement en s'appuyaut I sor la composition du carré de la somme de deux nombres,

qui comprend le carré du premier nombre, plus le double i produit du premier par le second, plus le carré du second. Ici, X sera considéré comme le premier des deux nombres

envisagés, et 2070a:, comme le double produit du premier par

le second ; le second nombre sera donc la moitié de 2070 ou

1035, dont le carré est égal à 1071225. En ajoutant ce dernier

nombre aux deux termes de Tégalité (1), on a

et comme le premier membre de cette dernière relation est le carré de la somme des deux nombres a: +1035^ on peut écrire (a: -f- 1 035)* = 4 476 225 .

En extrayant la racine carrée des deux membres de cette égalité, il vient x + 1 035 = v/l 476225, ou a H- 1035 = 1215,

et, en retranchant 1035 de chacun des deux membres,

L'échéance du premier effet est à 180 jours et celle du second à i80 — 45 ou à 135 jours.

La vérification de ces deux nombres a lieu en montrant que Tescomple rationnel d'un effet de 6120^^, calculé au taux, de 4 pour 100, pour 180 jours, est égal à l'escompte commercial d'un effet de 6400^% calculé au taux de 5 pour 100, pour 135 jours.

§ VU. — Êchéanoe oommnne.

325. Dans le commerce et dans la banque, on a parfois besoin de remplacer plusieurs valeurs à échéances différentes par une seule dont on détermine, soit Tépoque unique du payement, si Ton donne le montant de cette valeur, soit cette valeur, si l'on n'en connaît que l'échéance, de manière qu'il D*y ait de préjudice ni pour le créancier, ni pour le débiteur.

On donne à cette opération le nom de règle d'échéance commune.

En voici un premier exemple :

326. I (Problème direct). — Une personne a souscrit trois effets de commerce^ le prevner de 800^*" payable dans 3 moisy le deuxième de 900^*" paijahle dans 6 mois^ le troisième de lOOG'*" payable dans 9 mois. Elle voudrait les remplacer par un seul d'une valeur de 2 700*"'' égale à la somme de leurs valeurs; à quelle **poque cet effet unique sera-t-il payable ?

De la définition de la règle d'échéance commune, il résulte que la valeur au comptant de l'effet unique doit être égale à la somme des valeurs au comptant des trois effets donnés, en d'autres termes, que l'escompte opéré sur le premier doit être égal à la somme des escomptes opérés sur les trois autres.

Si on représente par i le taux de l'escompte — sachant d'ailleurs que cet escompte se calcule d'ordinaire commercialement — et par x le nombre de mois à courir jusqu'à l'échéance de l'effet unique, on aura l'égalité suivante :

2700xiXT- 800X1X3 900xix6 1000xix9

dans laquelle le facteur i et le diviseur 1200 sont communs à tous les termes. En divisant les deux membres de cettç égalité par î et en les multipliant par i 200, il vient

270Oa? = 800x3 -+-900x6-4- 1000x9;

d*où Ton tire, en divisant par 2700 les deux membres de cette nouvelle égalité,

L'efiFet unique sera donc payable au bout de 6 mois — •

Hemarque. — Le nombre i que le raisonnement nous avait conduit à introduire dans nos indications de calcul, en a disparu par la première des transformations que nous avons fait subir à ces indications. Ce fait nous montre que la solution du problème est indépendante du taux.

Deuxième solution. — Ce problème peut être résolu en calculant à un taux déterminé l'escompte commercial opéri sur chacun des effets donnés et en cherchant ensuite le temps nécessaire à Teffet total pour produire au môme taux un intérêt égal à la somme de ces escomptes.

Prenons, pour cela, le taux de 6 pour 100. L'escompte du premier effet est de

6frx800x3

celui du deuxième, de

6^^x900x6 et celui du troisième, de

= 27fr ;

= 45fr ;

soit un total d'escomptes d^ 12'^ -h 27^» 4-45^^ = 84^^ On est alors amené à résoudre le problème d'intérêt simple : Quel temps faut-il à une somme de 2700'»' pour produire 84*^'

d'intérêt^ au taux de 6 pour 100 par an ? En appliquant la formule connue pour le calcul du temps en

fonction du capital, de Tintérêt et du iaux^ on a

12«xi00x84 ^ . 2 ■'= 2700X6 =^"^o^^ir-

Troisième golution. —L'escompte commercial étant proportionnel à la valeur nominale d'un effet et au temps pour lequel on le calcule, on peut encore résoudre la môme question en raisonnant comme il suit :

L'escompte commercial opéré sur un effet de BOO'"" payable dans 3 mois est le même que celui qui serait opéré sur un effet d'une valeur nominale trois fois plus grande, payable dans un mois, c'est-à-dire sur un effet de SOO^f X 3 = ÎAOO^r ; de môme, pour un effet de 900^'' payable dans 6 mois, Tescompte serait le môme que pour un effet de OGO^^xB = 5400'^ payable dans un mois ; et pour un effet de 1000^^* payable dans 9 mois, il y aurait le même escompte que pour un effet de 1000^^X9 = 9000f^ payable dans un mois. De sorte que la somme des trois escomptes est égale à la retenue qui serait faite sur trois effets de 2400f>-, 5400^'" et 9000^% tous payables dans un mois, ou sur un seul effet de 2400^»" -h 5 400^»* -h 9000fr ou de 16800^1' payable dans le môme temps d un mois. Cela posé, il ne reste plus qu'à chercher le temps nécessaire à une somme de 2700^'' pour produire le même intérêt qu'une somme de 16800'*' en un mois, les deux taux étant identiques : c'est une règle de trois inverse qui donne le tableau suivant :

d*oii Ton tire x = -— — = 6 mois -— ■

Si Ton remarque que 16800 est égal à 2400 -h 54(K) -f- 9000, ou à 800 X 3 H- 900 X 6 -H 1 000 X 9, on peut écrire

Cette expression nous a été déjà donnée par la première méthode.

KÊSOLUTION DE PROBLÈMES

327. Généralisation de la question. — Soient N, ^', N' les Talears nominales des trois effets, payables dans des temps t, f, f, rapportés à la même unité, U le temps, exprimé de la même manière, après lequel doit être payé TelTet unique égal à N + N'-hN', et i le taux de l'escompte.

D'après la première méthode de résolution précédemment exposée, on a, suivant que l'unité de temps est l'année, le mois on le jour, l'une des trois égalités suivantes :

(N-4-N^-hN')xiX<i 36000

NX^X^

NxiX*

N^XtX<^

N^XiX^^ 36000

N'XiXf

N^XiXf 36000

qui donnent, en divisant les deux membres de chacune d'elles par t et en multipliant les deux membres de la première par 100, ceux de la seconde par 1200 et ceux de la troisième par 36000, l'unique égalité

(N -h N' 4- Ny^ = N/ -f- NY-h NT,

d'où l'on tire en en divisant les deux membres par N -h N' h- N ",

Nh-N'-+-N'

Traduite en langage ordinaire, cette formule fournit la règle suivante :

L'échéance commune de plusieurs e/fels s'obtient en multipliant la valeur nominale de chaque effet par le temps à courir jusqu'à son échéance et en divisant la somme des produits ainsi obtenus par la somme des valeurs nominales des effets.

Il va sans dire que le temps doit être rapporté, pour tous les effets, à la même unité, qui est l'année, le mois ou le jour, suivant que toutes les échéances peuvent se traduire par un nombre exact d'années, de mois ou de jours. •

La formule (i) montre, d'autre part, que t^ est compris entre le plus grand et le plus petit des nombres /, t\ t" (152), et ce

fait justifie Texpression d'échéance moyenne employée plus loin (332).

328. Si l'on voulait traiter la question en ayant recours è, l'escompte rationnel, Téchéance commune ne serait plus indépendante du taux.

Reprenons les données générales précédentes et exprimons que la somme des valeurs au comptant des effets donnés est égale à la valeur au comptant de l'effet unique ; nous aurons (316), /, fj f et U étant exprimés en années,

lOON 400N' lOON' iOO(N -f- N' -h N")