I. Partager le nombre 210 en quatre parties dont les
racines carrées soient proportionnelles aux nombres 1, 2, 3 6( 4.
Si x^ y^ z ei V représentent les quatre parties à former, on
les relations
qui deviennent, en en élevant les divers membres au carré,
T ^ T "^ "sT ^ 16" *
La question revient ainsi à partager le nombre donné en
parties proportionnelles aux nombres 1, 4, 9 et 16, et l'on
obtient
^■" l4-4-f-©-hl6 "" '
l4-4-f-©-hl6
H-4-+-9-hl6
On vérifie ces résultats en montrant que les quatre nombres 7, 28, 63 et 112 ont leurs racines carrées /T, 2v/T, 3/7 et VT proportionnelles aux nombres 1, 2, 3 et 4, et que la somme de ces quatre nombres est 210.
352. II. Partager le nombre 1 148 en quatre parties de maniè7^e que la première soit à la deuxième comme 7 est à 9, la deuxième à la troisième comme A est à 5^ et la troisième à la quatrième comme 9 est à i\.
Si Ton prend la première part comme terme de comparaison,
elle sera représentée par l'unité, la seconde sera les — de
cette unité ou —1 la troisième les —- de -=- ou -—-i et la
quatrième les -77- dé -^5- ou ^^- La question reviendra
donc à la suivante :
Partager le nombre 1 148 en parties proportionnelles aux
nmbresU-, et -•
Ces quatre nombres, multipliés respectivement par leur plus petit dénominateur commun, deviendront ^, 36, 45 et 55, et c*est proportionnellement à ces derniers que se fera le partage. On aura successivement, d'après ce qu'on sait déjà, pour les quatre parts que nous désignerons par x, y, z et v,
« = ^s — 7:^ n? — sr X28 = 196,
y = ao . o. ■ .. . M^X36 = 252,
On vérifie ces nombres en montrant que leur somme est égale à 1 148 et qu'il existe entre eux les rapports exprimés dans renoncé du problème.
353. III. Un ouvrier, sa femme et son fils ont reçu ISS^^jOG pour 25 journées du père^ 18 de la mère et^idu fils. Le prix de la journée de la mère vaut les 0,75 de la journée du père^ et la journée du fils les 0,80 de la journée de la mère. Quel est le prix de la journée pour chacun d'eux et combien chacun reçoit-il en tout?
La somme de 183^',96 doit être répartie proportionnellement à la durée et à la valeur du travail de chaque personne, par conséquent proportionnellement au produit de ces deux éléments de travail.
La durée est représentée par les trois nombres 25, 18 et 21 ; quant à la valeur de la journée, si l'on prend pour unité celle d'une journée du père, celle d'une journée de la mère sera de 0,75 et celle d'une journée du fils de 0,75 X 0,80 ou 0,6.
La question revient ainsi à la suivante :
Partager 183'%96 en trois parties proportionnelles aux nombres 25X1 ou 25, 18X0,75 ou 13,5, et 21x0,60 ou 12,6.
On aura pour chacune des trois parties, que nous désigne-
roDs respectivement par x, </ et z,
i83'%96 »R onr
25 4- 13,5 -h 12,6 Les prix des journées seront :
pour le père, de --— = 3'%Q0 ;
48'*^ 60 pour la mère, de — -^ — = 2'% 70 ;
lo
45rr 35 et pour le fils, de —^ — = 2'%16.
La vérification aura lieu en montrant que la somme des trois parts est égale à i83'%96 et que les prix des journées sont entre eux dans les rapports donnés.
354. IV. Un oncle a quatre neveux respectivement âgés de tingt ans^ de dix-neuf anSy de dix-sept ans et de onze ans ; il leur laisse à se partager 45037'', mais à la condition qu'en plaçant immédiatement leurs parts à intérêt simple^ au taux de 5 pour 100, ils aient successivement la même somme à leur majorité (21 ans). De combien faut-il que soit la part actuelle de chacun ?
11 s'agit de trouver d'abord des nombres proportionnellement auxquels doit se faire le partage. Soient .r, y, z et v les quatre parts ; la première restera placée pendant un an et
deviendra x-^-j^=—x;
la deuxième restera placée pendant deux ans et deviendra
5xyX2 H ^ "*" 100 " 10 ^ ' )a troisième restera placée pendant quatre ans et deviendra
5xzX4 ^ J8^ 100 ~ 5 "^ '
enfin, la quatrième restera placée pendant dix ans et deviendra
5Xt;XlO »
En égalant chacune des trois dernières parts à la première,
on aura les relations
il 21
Si Ton divise dans chacune de ces égalités les deux membres par le multiplicateur de l'inconnue du premier membre, il
viendra y = -^^tt^ • -ttt = -^^ ^^
ce qui se traduit ainsi : les trois dernières parts sont respectif
vement les — ;r, les — et les ttt de la première. De sorte
que si Ton prend pour unité la part du premier neveu, celles des
autres seront représentées par les nombres -^s ' -rr et -—- •
. zz 8 10
La question est alors ramenée à cette autre :
Partager la somme de 45037^' en parties proportionnelles aux
quatre nombres *' 22' F ^^ TÔ"
En multipliant chacun de ces nombres par leur plus petit dénominateur commun, qui est 440, on les remplace équitablement par les nombres entiers suivants : 440, 420, 385 et 308 ; • et l'on a successivement
^ 440 4-420-1-386-4-308^ «lotr ,
La vérificaiion consiste à montrer que ces quatre sommes ont nn total égal à 45037''' et que placées à intérêt simple, au Uqx de 5 pour 100, la première pendant i an, la deuxième pendant 2, la troisième pendant 4 et la quatrième pendant 10, elles deviennent égales.
§ X. — Règles de sooiété.
355. Lorsque plusieurs personnes se réunissent pour fonder et diriger à frais communs une entreprise, on dit qu'elles formeiit une société^ et l'apport de chacune d'elles se nomme sa ntfe.
Les bénéfices ou les pertes qui peuvent résulter d'une association sont répartis entre tous les membres, d'après certaines conventions, et tout problème relatif à cette répartition est nne règle de société.
On dit que la règle de société est simple lorsque les mises seules, ou les temps seuls pendant lesquels les mises restent engagées sont différents; elle est dite composée lorsque les mises et les temps sont différents à la fois.
Pour résoudre les questions de ce genre, on admet que la part de bénéfice ou de perte de chacun est proportionnelle à sa mise et au temps pendant lequel cette mise est restée dans l'association.
On voit ainsi que les règles de société doivent se traiter comme les problèmes de partages proportionnels.
Lorsqu'il s'agit de répartir un bénéfice ou une perte, la question à résoudre est d'ordre direct ; quand on se propose au contraire de calculer des mises ou des durées d'emploi de élises, la question est d'ordre inverse.
356. I (Problème direct). — Quatre personnes se sont associée, pour l*achat d'une marchandise qui leur a procuré en la revendant un bénéfice total de 8050^". Quelle est In part de chaqm personne dans ce bénéfice^ sachant que la première avait fourn 2000'% la deuxième 2500^', la troisième 300(K'' et la quatrième 4000^'?
Les parts de bénéflce, que nous désignerons par x\ t/, s, 9, ^tant proportionnelles aux mises, on aura, pour la première^
pour la deuxième,
„ ^^o^"" >r2S00= iTSÛf»-
pour la troisième,
gQ5Qfr
'= 2000+2500-^3000+4000^^*'^ = **°^'' et pour la quatrième,
" = 2000 + 2500 + 3000 + 4000 ^^^ = ^*^'- On sait vérifier ces résultats.
357. II (Problème direct). — Trois associés ont mis dans une entreprise chacun la même somme y le premier pendant 2 an s y le deuxième pendant A ans et le troisième pendant o ans. Comment répartir entre eux la perte de 6952^"* subie par Vassociation?
Les mises étant les mêmes, la répartition de la perte doit se faire proportionnellement aux temps pendant lesquels ces mises sont restées dans Vassociation, c'est-à-dire proportionnellement aux nombres 2, 4 et 5.
Si l'on désigne par x, y, z les pertes respectives des trois
associés, on a
V=2fiT5X* = ^^^"' 6952"^
358. III (Problème direct). — Ti^ois négociants ont engagé dans me affaire^ le pi'emier 1800'' pendant un an^ le deuxtème WXfi^ pendant 15 moisy et le troisième 3000'^' pendant 21 mois, fue rementM à chacun du bénéfice réalisé , qui s* élève à la somme k3528fr?
Les trois parts de bénéfice, que nous désignerons par x\ y, z, ont ici proportionnelles aux mises et aux temps pendant esqaels ces mises sont restées dans Tassociation, par conseillent proportionnelles aux produits des mises par les temps ixprimés dans ce cas en mois, c'est-à-dire aux quantités
1800x13 ou 21600, 2200x15 ou 33000, 3000x21 ou 63000. Qies auront donc les valeurs suivantes :
Autre méthode. — On peut résoudre cette question en substituant, aux mises utilisées pendant des temps différents, des mises utilisées pendant le même temps.
Oo conçoit, en effet, que la mise de 1800" du premier assoi^ié, dont remploi dure un an ou 12 mois, donne les mêmes droits au partage du bénéfice qu'une mise 12 fois plus grande, onde 180O''x 12 = 21600'% dont l'emploi durerait un mois. £n raisonnant de la même manière pour les autres mises, on trouve que la seconde peut être remplacée par une autre égale à 2200'''x 13 = 33000''- et la troisième par une mise de »000"x21 = 63000'^
La question est alors ramenée au partage du bé né fier de ^^^^^ proportionnellement aux mêmes nombres 21600, 33000 et UOOO, que nous avons trouvés plus haut.
359. Généralisation de la question. — En désignant par A la part ou le bénéfice total réalisé dans l'association, par
JT
m, m\ m" les mises des trois négociants, et par t^ t\ C les temps respectifs pendant lesquels ces mises ont été utilisées, les parts de perte ou de bénéfice seront données par les formules
(1) { V = 7L Tn XmY,
2 = T, TT X m'i".
Remarque I. — Si le temps pendant lequel chaque mise a été utilisée dans l'association est le même, i par exemple, on a que t' et t' égalent ^^et il s'ensuit que ce nombre /, qui devient à la fois multiplicateur et diviseur du second membre de chacune des formules (1), peut être légitimement supprimé dans chacune d'elles par simplification.
Ces formules deviennent alors
y = -TT^-zrr . ^,. X m',
/ ff Xm".
7W -h m -h VI
Elles montrent, sous cette forme, que lornqw* toutes 1rs muses sont employées pendant le même temps ^ le partage de la perte ou du bénéfice total se fait proportionnellement mix ynises.
Le résultat était prévu ; mais il fait logiquement ressortir que cette règle est un cas particulier de la règle générale pour résoudre les questions directes de société, et que traduisent en langage mathématique les formules (i).
Remarque II. — Si toutes les mises sont égales, les temps restant différents, on a m = m' = m^ Dans ce cas, la mise commune devient multiplicateur el diviseur du second membre de chacune des formules (1); ce qui permet de Ten faire disparaître. Il en résulte les formules suivantes :
qni montrent que lorsque les mises sont égales ^ le partage de la perte ou du bénéfice total se fait proportionnellement aux temps pendant lesquels ces mises sont employées.
Encore un résultat qui était prévu, mais qui donne une preuve mathématique de ce que cette dernière règle est un cas particulier de la règle générale des questions directes de société.
Les deux problèmes qui vont suivre sont des règles inverses de société.
360. IV (Problème inverse). — De trois sociétaires, le deuxième a mis dans la société la moitié de plus que le premier, et le troisième 300^*' de plus que les deux outres réunis ; le troisième retire du gain total, qui se monte à 5020^*", la somme de 2570^*'. Quelle ^st la mise de chaque sociétaire ?
Le troisième ayant retiré 2570^'' du gain total, les deux
autres ont reçu ensemble 5020'^ — 2570^'^ = 2450^ soit
2570''— 2450'' = 120'^ de moins que le troisième seul. Ces
120^' proviennent des 300''' que le troisième a mis de plus que
les deux autres. Il en résulte que pour avoir la mise du troi-
sième nous résoudrons la règle de trois simple suivante :
Si 120'r de gain proviennent de 300'^ de mise^ de quelle mise proviendront 2570^»' de gain ?
Du tableau 120 300''
on tire
,, . 300"X2570 ^.^^, d ou x= — = 6425".
Pour les deux premiers sociétaires, comme on ne connaît qve
leur gain total, on détermine d'abord la somme de leurs mises en résolvant cette autre règle de trois simple :
Si iSCM' de gain proviennent d'une mise de 300'% de quelle mise proviendront â 450''" ?
Du tableau 120 300^*^
on tire
d ou X = —7; = 6125'^
Mais on sait, d'autre part» que la mise du deuxième est la
moitié en plus de celle du premier, c'est-à-dire qu'elle en est
les -^. Nous aurons donc & résoudre cette troisième question,
pour en finir avec le problème proposé :
Partager 6125'"' en parties proportionnelles aux nombres i
En multipliant les deux nombres 1 et -^ par le dénomi-
nateur du second, on obtient pour résultat les deux nombres entiers 2 et 3, respectivement proportionnels aux deux premiers ; le partage proposé revient donc à celui qui est fait proportionnellement à ces deux derniers nombres. Si nous désignons les deux parties par t/ et ;:, on a
Ainsi, les trois mises, d'après le rang des sociétaires dans renoncé du problème, sont 2450'% 3675''^ et 6425'^
La vérification consiste à montrer que ces trois mises satisfont aux premières conditions de renoncé et que le gain total et la part de gain du troisième sociétaire sont respectivement proportionnels à la somme des trois mises et à celle du troisième.
364. V (Problème inverse). — IVois commerçants ont fait une entreprise à frais communs ; la mise du troisième est de 5600'% celle du premier de SW*" moindre que celle du deuxième ; le premier laisse ses fonds pendant 7 mois^ le
deuxième pendant 14 et le troisième pendant 12 ; le gain total pst
de 2402'' — i et le detunème reçoit pour sa part 879'' -jr • Quellrs
iont les mises des deux premiers commerçants ?
Soit X la mise du premier commerçant ; celle du deuxième sera ^ + 320. On sait, d'autre part, que celle du troisième est de SOOO''. Comme ces mises sont employées pendant des temps différents, les nombres proportionnellement auxquels devrait se faire le partage du gain total seront
XX 7 ou Ix, (a? -+- 320) X 14 ou 14a? -J- 4480,
et 5600x12 ou 67200.
Ces trois nombre» n'étant pas tous connus, il ne peut être question de procéder immédiatement à un partage proportionnel ; mais comme on connaît la part de gain du deuxième, on peut écrire que le rapport entre la mise et le gain du deuxième est égal au rapport entre la somme des mises et le gain total ; c'est ce que traduit Tégalité suivante :
14ar-f-4480 21a? -f- 71 680.
En réduisant les dénominateurs en fractions, et en multipliant les deux termes du premier membre de l'égalité par 3 et les deux termes du second par 6, il vient
ou
Cette nouvelle égalité donne successivement : 1* en multipliant les deux membres par leur plus petit commun multiple 13X71 X203,
OAOZAT. — MBTHOIiOL. 20
S"" en retranchant des deux membres de cette dernière 954240 et i 638a:, i 344a? = 4636800,
d ou X = — -— - — = 3450.
La mise du premier commerçant est donc de 3450'** ; celle du deuxième, d'après l'énoncé du problème, est de
La vérification consiste à montrer que le rapport au gain du
deuxième, 879''" -^^ de sa mise combinée avec le temps,
3770^' X i4, égale le rapport au gain total, 2402'*^ — » de la
somme des trois mises combinées avec les temps correspondants, 3450f'^x7-h3770"xi4H-5600''^Xi2.
§ XI. — Mélanges.
362. Certaines denrées alimentaires, telles que les céréales, les farines, les cafés, les vins, etc., sont Tobjet de mélanges assez fréquents, destinés à faciliter la vente de ces marchandises et parfois à en rendre la consommation plus agréable.
De là une source de problèmes, d'espèces différentes suivant qu'il s'agit de chercher soit le prix de l'unité d'un mélange, soit le prix de celle d'une des substances mélangées, soit les proportions dans lesquelles doit être fait un mélange, lorsque dans chaque cas on a un nombre suffisant de données.
Nous allons traiter successivement les principales de ces questions en commençant par la plus élémentaire.
363. I. On a mélangé 225 litrrs de vin à 0''',40 le Uirr avec 300 litres à 0'%50 et 120 litres à 0'%60. On demande le prix du litre du mélange.
11 est évident que le prix du litre du mélange est égal au quotient de la valeur totale du mélange par le nombre'de litres mélangés.
Or, la valeur totale du mélange est égale à
(y',40 X 225 -f- (y',50 X 300 -+- 0^^,60 x 120 et le nombre de litres mélangés est de
II s'ensuit que le prix cherché est égal à
0'%40 X 225 -f- Of%50 X 300 -h tf %60 X 120 ^,, .^ *6
La vérification se fait en établissant que 2i5 litres à 0'%40 le
litre, plus 300 litres à V%50, plus 120 litres à 0'%60 valent autant
que 225 litres h- 300 litres -4- 120 litres à 0'%48 — - .
364. Généralisation delà question. — Si Ton désigne par n, n' et n' les nombres de litres des trois espèces mélangées, par a, af et a' les prix correspondants du litre, et par ai le prix du litre du mélange, on obtient la formule
an -+- aV h- a^n" n -H n' 4- n"
qui met en évidence cette règle que pour trouver le prix de f unité d'un mélange^ il faut calculer la valeur de chacune dea substances qui composent le mélange et diviser la somme de ces valeurs par la somme des unités inélangées.
Elle montre, en outre, que a^ est intermédiaire entre la plus grande et la plus petite des quantités a, a' et a" (152).
Remarqoe I. — Cette formule n'est autre que celle que nous arons trouvée en traitant les questions d'échéance commune, ce qui prouve que ces deux sortes de questions, sous des noms différents, ont de nombreux points communs dans les calculs auxquels elles conduisent.
Rkmaboue II. — Lorsque chaque substance entre pour la même quantité dans le mélange, on a n = n' = n\ et la formule (1) donne
"' = Tn '
OQ, en divisant les deux termes du second membre par n,
an -4- oln -+- a'n
Dans ce cas particulier^ le prix de Vunité de mélange est la moyenne arithmétique des prix des unités des substances mélangéety et la question devient un simple problème de moyenne.
365. La formule (1) qui établit une relation entre les quantités n, n', n' des matières à mélanger, les prix a, a!, a' de l'unité de chacune de ces matières, et le prix ai de Tunîté du mélange, ce qui fait pour ainsi dire trois groupes de grandeurs, montre que Ton peut calculer une grandeur quelconque de Tun de ces groupes connaissant toutes les autres grandeurs de la formule.
Dans le problème précédent, on a déterminé ai, seule grandeur de son groupe, toutes les autres étant données; nous nous proposons de montrer successivement comment on calcule une des quantités n, n\ n'\ et une des quantités a, a\ a% en supposant chaque fois toutes les autres quantités connues : ce sera Tobjet des deux problèmes qui vont suivre.
366. II. Dans un mélange de 665 litres d'un vin à l'%50 le litre et de 875 litres d'un autre vin à l'',75 le litre ^ combien faut-il mettre de vin à (M^jâS le litre pour que le nouveau mélange revienne'à 1^'',20 le litre ?
Si dans la formule (1), où ai, a, a' et a" sont respectivement égaux à i^20, 1^' 50, i^75 et 0",25, n et n' à 665 litres et 875 litres, et où n" est Tinconnue, on substitue aux lettres I es valeurs qu'elles représentent, on a
ou 1.20 =
En multipliant les deux membres de cette égalité par 1 540 4- w% il vient
1,20 X 1540 4- 1,20 X»' = 2528,75 4- 0,25 xw', ou 1 848 4- l,20n" = 2528,75 4- 0,25î^^
et, en retranchant de chacun de ces nouveaux membres
0,95rt' = 680,75,
^80,75 ^^^ il d où n" == ^— - = 716
Solution directe. — On peut résoudre directement ce problème en raisonnant comme il suit :
La quantité de vin àO'%25 le litre doit être telle que le bénéfice réalisé sur ce vin dans la vente du mélange à l'%20 le litre soit égal à la perte résultant de la vente, dans ce même mélange , au même prix de 1^%20 le litre, des 665 litres à l'%50 le litre et des 875 litres à r% 75.
La perte sur ces deux derniers vins est égale à
(lf',50 — V%fO) X 665 -H (1^75 — 1%20) X 87 5, ce qui donne 680'% 75.
La question revient ainsi à cette autre :
Trouver ce qu'il faut de vin à 0'%25 le litre vendu à l'%20powr réaliser un bénéfice de 680'% 75.
Ce nombre de litres est égal à -j-^Tr-^-rr^ = '^^^ -Tq- •
1,!20 — UfïD iv
Cest le nombre que nous avons obtenu par Tapplication de la formule (1).
On vérifie ce résultat par l'emploi du procédé indiqué pour le problème précédent.
367. III. Avec du bU de deux qualités différentes, prises dans les proportionê de & à 3^ on a fait un mélange qui revient à 24'' rhectolitre. Sachant que le prix de la première qualité est de 27''" l'hectolitre, quel est celui de la seconde ?
Les qualités de blé à mélanger n'étant qu'au nombre de deux, la formule (1) se réduit ici à la suivante :
an H- a'n'
n-hn
dans laquelle, en se bornant à ne considérer que 8 hectolitres
do mélange, n et n' sont respectivement égaux à 5 et à 3,
tt, et a égaux à 24''" et à 27'% et où a' représente l'inconnue.
Cette formule donne, en y remplaçant les lettres par leurs
valeurs,
