h 3a' ou 24 = s
et^ en multipliant les deux membres de cette dernière égalité par 8, et en retranchant 135 des deux nouveaux membres, -
57 = 3a', d'où l'on tire a! = -— = 19.
Le prix de Thectolitre de la seconde qualité est ainsi de 19'*'.
Solution directe. — Comme le précédent, ce problème se résout très simplement par le procédé direct suivant. Les proportions dans lesquelles les deux qualités de blé entrent dans le mélange indiquent que sur 5 + 3 ou 8 hectolitres de mélange, il y a 5 hectolitres de la première qualité^ c'est-àdire à 27'"" rhectolitre, et 3 de la seconde. Les 8 hectolitres de mélange à 24''' l'hectolitre donnent une somme de
dans laquelle la première espèce entre pour 27'' x 5 = 135^';
il en résulte que la seconde y entre pour 192''' — 135'' = 57'%
57'' ce qui donne pour valeur de chaque hectolitre — ; — = 19''.
La vérification se fait comme dans les problèmes précédents.
368. Le problème suivant a pour but de montrer comment on détermine les proportions dans lesquelles doivent être mélangées deux substances de qualités dilTéreotes lorsqu'on donne pour chacune le prix de l'unité et que l'on connaît en outre le prix de l'unité du mélange.
369. IV. Un marchand a deux qualités de blé qui lui reviennent à 26'' et à 21'' Vhectolitre. Combien doit-il prendre de l'une et de l'autre pour avoir un mélange de 1 100 hectolitres à 23^'?
Si Ton connaissait le rapport dans lequel les deux blés doivent être mélangés, il suffirait pour terminer la solution du problème de partager 1 100 hectolitres proportionnellement aux deux termes de ce rapport. La question est donc ramenée à la suivante :
Dans quelles proportions faut-il mélanger deux qualités de blé
RÉSOLL'TIOiN DE PROBLÈMES 311
à 26^' eL à W^ rhectolitre pour faire U7i mélange, qui revienne à 23'' Vh ectolitre ?
La recherche de ces proportions repose sur ce fait que la perte subie par la vente^ à 23^' Thectolitre, du blé qui en vaut 26 doit être compensée par le gain réalisé sur la vente, à 23'% du blé qui n*en vaut que 2i . Or, sur un hectolitre à 26'% la perte est de 26'' — 23" = 3'% et sur un hectolitre à 21'% le gain est de 23'' — 21'' = 2''. Cela établi, supposons qu'on commence le mélange en prenant un hectolitre à 26'' ; il en résultera, pour cet hectolitre, une perte de 3'', et pour la compenser, il faudra prendre un nombre d'hectolitres h 21" égal au nombre de fois que le gain de 2'' est contenu dans la perte
de 3'': ce nombre est — . Le mélange devra donc être fait
dans le rapport de 1 hectolitre à 26'' pour -— hectolitres à 21'%
ou, en nombres entiers — ce qu'on obtient légitimement en
multipliant les deux termes 1 et -^ du rapport des quantités
mélangées par le dénominateur 2 — dans le rapport de 2 hectolitres à 26" pour 3 hectolitres à 21".
Il ne reste plus qu'à partager 11 00 hectolitres en deux parties jproportionnelles aux nombres 2 et 3.
Si X et y représentent les deux parties, on a
* iOO 0?= — — r-X2 = 440,
Le mélange contiendra donc 440 hectolitres de blé à 26" et «60 à 21".
On vérifie en montrant que 440 hectolitres à 26" plus 660 hectolitres à 21" donnent la même somme que 1100 hectolitres à 23".
Rm ARQUE 1. — Dans ce partage, le nombre 2, qui correspond à la première qualité de blé, provient de la différence entre le prix moyen et celui de la seconde qualité, et le nombre 3, qui
correspond à la seconde qualité, provient de la diQérence entre le prix moyen et celui de la première qualité.
Remarque II. — On peut obtenir de la formule (1) le rapport dans lequel deux substances dont on connaît le prix des unités doivent être mélangées pour satisfaire à un prix donné de r unité du mélange.
En effet» la formule (t) appliquée au cas de deux substances devient
an -f- «V
n -h fi
Soit a ^ a\ on aura, d'après ce que nous avons déjà dii^ a> ax> a\ En multipliant les deux membres de cette relation (2) par n -^ n', il vient
axii -h Qih' = an -4- a'n' ,
Si Ton retranche de chacun des membres de cette égalité iixii et a'n\ on obtient
axu' — a'n' = an — a^n^
ou n'(ai — a') = n[a — ai),
d'où, en divisant les deux membres de cette égalité par n et
par fli — a , — = r •
Cette égalité démootre que dans la question qui nous occupe les quantités à mélanger des deux substances sont en raison inverse des différences entre les prix des unités correspondantes et celui de l'unité du mélange.
Ce résultat, qui confirme l'objet de la première remarque, conduit au moyen mnémonique suivant pour résoudre la môme question :
On écrite l'un au-dessous de l'autre, les deux prix d'unité des
substances à mélanger^ et entre les deux^ un peu à droite, celui de
runité du mélange :
On cherche ensuite les différences entre ce dernier prix et les deux
autres pour les inscrire chacune en regard du prix dont elle est indépendante. Cesnombres différences indiquent pour les substances en regard des prix desquelles ils se trouvent les proportions dans lesquelles elles doivent être mélangées.
Remarque III. — Si au lieu d'avoir à former un mélange de quantité déterminée, comme dans le problème précédent où il s'agit d'avoir iiOO hectolitres de blé à 23"^ l'hectolitre, on avait à chercher le nombre d'hectolitres du prix de 21''' à mélanger avec un nombre déterminé d* hectolitres à 26'% 380 par exemple^ pour que le mélange revint à 23'*', après avoir trouvé les proportions 2 et 3 dans lesquelles doit se faire le mélange, en représentant par x le nombre d'hectolitres à 21'% on écrirait que ce nombre x est avec 380 dans le même rapport que 3 est avec 2 : c'est une règle de trois qui donnerait la proportion
d'où Ton tirerait x = = 570.
Remarque IV. — Lorsque dans un mélange il entre une matière dont la valeur est négligeable, comme Teau dans le mouillage des vins, on peut appliquer à la résolution de la question le principe de la remarque II, mais en général on a
recours à un procédé plus rapide.
Soit à résoudre le problème suivant qui appartient à ce cas :
Quelle quantité d'eau faut-il ajouter à 450 litres de vin du prix
de(y'y51 le litre pour faire un mélange qui revienne à 0'%50 le litre ?
On raisonne ainsi : la valeur, à 0'%50 le litre, du mélange de
450 litres de vin et d'une certaine quantité d'eau est la même
que celle de ces 450 litres à raison de 0'%57 le litre. Or celle-ci
est de 0'%57x450 = 256'%50, ce qui suppose un mélange
d*an nombre de litres égal au quotient de 256'%50 par 0'%50, soit
de 513 litres. Il en résulte que la quantité d'eau ajoutée est de
513 litres —450 litres = 63 litres.
370. Quand on a plus de deux substances de prix différents à mélanger, si Ton se proposait simplement de trouver dans
quelles proportions il faut les prendre pour obtenir un mélange dont le prix de l'unité est donné d'avance, le problème serait indéterminé.
Supposons, en effet, qu'il s'agisse de mélanger trois qualités de café revenant respectivement à a*', 2f%75 et 3*""* le kilogramme, pour obtenir une qualité à 2^^50 le kilogramme. On conçoit, par exemple, que quelles que soient les quantités àî'^TS et à S'** qu'on fasse entrer dans le mélange-» comme il en résultera deux pertes qui s'ajouteront, on pourra toujours déterminer une quantité à â'** qui permette de les compenser ; dès lors, à chaque combinaison pour faire entrer les deux qualités supérieures dans le mélange correspondra un nombre déterminé, différent d'une combinaison à l'autre, pour fixer la quantité de la qualité inférieure : d'où autant de solutions qu'on voudra.
Mais l'indétermination disparait, si l'on ajoute en nombre suffisant de nouvelles données au problème ; c'est ce qui a lieu dans la question suivante.
371. V. Avec des vins à 0^45, (y^50 et Of%70 le litre, on veut faire un mélange de 35 hectolitres qui revienne à 0^',60 le litre. Quelle quanlilé faut-il prendre de chaque espèce^ sachant d'ailleurs qu'on veut faille entrer dans ce mélange deux fois plus de vin â 0^45 9M'à.0f^50?
Comme précédemment, nous allons d'abord chercher les trois nombres proportionnellement auxquels il faut partager 35 hectolitres.
Supposons qu'on commence le mélange en prenant 1 litre de vin à 0'',50; on devra prendre 2 litres à 0'%45% Ces trois litres, vendus dans le mélange à raison de 0^'^,60, donneront un gain de 0f%60 — 0^50 = O^SiO pour le premier litre, et de (0'%60 — 0^45)x2 = 0'',30 pour les deux autres, soit un gain total de Of%10 -h &%^0 = 0'%40.
Or, sur un litre à O^^TO, vendu dans le mélange 0'',60, il y a une perte de (y%iO ; pour avoir une perte de 0'',40, il faudra donc prendre un nombre de litres à 0'^70 égal au quotient de Of',40 par 0^10 ou à 4.
Ainsi le mélange devra être fait dans les proportions de 1 litre à0",50, 2 litres à 0f%45 et 4 litres à 0^%70.
11 ne reste plus, pour trouver la solution du problème, qu'à partager 35 hectolitres en 3 parties proportionnelles aux nombres
Cette opération donne, en représentant les trois inconnues
par X, y et z,
X = Xi =5,
Le mélange contiendra donc 5 hectolitres àO'^SO le litre, 10 à (y%45 et 20 à (M',70.
On vérifie comme pour le problème précédent.
RsM AROUE. — Dans les questions où il s'agit du mélange de plus de deux substances^ les proportions dans lesquelles certaines de ces substances doivent être mélangées ne sont pas absolument arbitraires ; mal choisies, elles peuvent donner lieu à une impossibilité.
Si, dans le problème précédent, par exemple, au lieu de faire entrer dans le mélange deux fois plus de vin à 0'%45 qu'à 0'%50 le litre, on voulait y mettre deux fois plus de vin à 0'%45 qu'à (y',70, on trouverait qu'en vendant le mélange à 0^',60 le litre, le vin à'(y%45 donnerait un gain supérieur à la perte éprouvée par le vin à 0",70 et que, par suite, le vin à 0'%80 qui devrait entrer dans le mélange viendrait accroître encore le bénéûce an lieu de le compenser par une perte d'égale valeur.
372. VI. Un négociant a deux pièces de vm, Vune dek^ litres^ qui lin revient à (K',90 le litre et à laquelle il fait subir un mouillfige de ^ pour iOO ; une seconde de 400 litres^ qui lui revient à 0'',75 le litre et qu'il mouille à raison de 25 pour 100. On demande combien il faudrait prendre de chacun des vins ainsi préparés pour faire un mélange de 750 litres qui revînt à 0'',65 le litre.
La valeur d'un vin mouillé es^ en raison inverse de la quantité de liquide obtenu par le mouillage. En effet, supposons qu'un nombre de litres m de vin devienne mi par le mouillage et passe du prix p par litre au prix />i ; comme la valeur totale du liquide reste la môme, on doit avoir pimi = pm, d*où
Ton tire la proportion — = — i qui justifie notre principe.
Il en résulte que pour le premier vin, mouillé à liaison de
20 pour 100 et dont la quantité augmente dans le rapport de
iOO à 120, le prix du litre diminue dans le rapport inverse de
120 à 100 et devient
Pour le second vin, mouillé à raison de 25 pour 10(1 et dont la quantité augmente dans le rapport de 100 à 125, le prix du litre diminue dans le rapport inverse de 125 à 100 et devient
Le problème revient dès lors au suivant :
Chercher ce quil faut prendre de deux vins à 0^%75 et à 0^*',00 le litre pour faire un mélange de 750 litres qui revienne à 0^',65 le litre.
C'est le problème lY précédent. En opérant comme il a été dit, on trouve successivement que les deux vins doivent être mélangés dans le rapport de 1 litre à O'^TS pour 2 litres à 0^%60, et qu'il faut prendre 250 litres du premier pour 500 litres du second.
Pour que le problème soit pratiquement possible — il Test toujours arithmétiquement — il faut que le mouillage produise pour chaque vin une quantité de liquide au moins égale à celle que donne la solution. S'il est facile de voir qu'on peut prendre après le mouillage 250 litres du premier vin, puisque la pièce en contient sans mouillage 450, il n'en est pas de môme pour la seconde qualité, dont on n'a avant le mouillage que 400 litres et dont il faut prendre 500 litres après le mouillage. Il faut alors chercher ce que deviennent 400 litres après un mouillage à raison de 25 pour 100, et cette question
revient à angmenter 400 litres du quart, ce qui donne SOO litres an total : c'est le nombre de litres du second vin mouillé qui doit entrer dans le mélange. Le problème en question est donc possible.
La vérification se fait en cherchant .d*abord de quelles quantités de vin pur proviennent les 250 litres mouillés à M pour iOO et les 500 litres mouillés à 25 pour iOO, puis en établissant que la valeur de ces deux quantités de vin pur, la première à raison de 0^%90 le litre et la seconde à raison deO'%75, est égale à celle de 7S0 litres à raison de 0''',65 le litre.
373- VU. On a trois tonneaux dont les capacités sont respectivement de 360 litres, 600 litres et 400 litres. On remplit les
— du premier d'un vin à 0^',45 le litre^ et le reste d^un vin à O^'^SO ; o
wi remplit les -^ du second d'un vin à 0'',40 et le reste d'un vin
àOf^^lO; on remplit les -— - du troisième d'un vin à 0'%75 et le
reste d'un vin à 0^',55. Combien doit-on prendre de litres dans chacun de ces tonneaux pour former un mélange de 520 litres au prix de 0''',60 le litre^ avec cette condition qu'on prendra quatre fois plus de vin dans le second tonneau que dans le premier ?
11 est évident que la recherche de ce qu'on doit prendre de vin dans chaque tonneau pour faire un mélange dans les conditions données suppose la connaissance préalable du prix du litre de chaque tonneau. Or, chaque litre ayant la même composition que le tonneau correspondant, pour le premier tonneau le prix du litre est de
pour le deuxième tonneau» il est de
et pour le troisième tonneau, de
Le problème est dès lors ramené à celui-ci :
Combien doit-on prendre de litres de trois vins différents, qui coûtent respectivement 0'%40, (y'',45 et 0^^,10 le litre^ pour fair^ un mélange de 520 litres au prix de 0'''560 le litre, avec ceth* condition qu'on prendra quatre fois plus de la seconde qualité que de la première ?
En opérant comme dans le problème V, on trouve successivement que les trois vins doivent entrer dans le mélange pour des quantités proportionnelles aux nombres 1,4 et 8, et que ces quantités sont respectivement de 40 litres à 0^%40, 160 litres à 0'%45 et 320 litres à O'',70.
La vérification, pour être complète, doit se faire de la manière
suivante : 1® chercher la valeur de 40 litres de vin dont les -^
sont au prix de 0''',45 le litre et le reste au prix de 0'',30 ; puis
la valeur de 160 litres dont les -^ sont à 0'S40 le litre et le
reste à 0^%70 ; enfin la valeur de 320 litres dont les -- sont à
Of%75 le litre et le reste à V%55 ; 2o évaluer, à raison de 0^%60 le litre, le prix de 40» -^ 160» -h 320», dont. le toUl doit être de 520 litres ; 3* montrer que cette dernière valeur est égale à la somme des trois précédenles.
374. VIII. Pour remplir un tonneau de 450 litres, un marchand emploie une certaine quantité d'eau et trois espèces de viii qui coûtent respectivement W% 44^"* et 55''* Vhectolitre, Pour un litre de vin à 40'' l'hectolitre, il met 3 litres à 44''' l'hectolitre et il ajoute un litre d'eau pour 24 litres de vin. En vendant le mélange à raison de 0'%60 le litre ^ il gagne 54'**. Combien a-i-il employé de litres de chaque espèce de liquide ?
Le marchand retire de sa vente une somme de
sur laquelle il gagne 64''" ; le mélange lui revient donc à
Or ces 216'^ représentent la valeur, non de 450 litres de vin,
puisque le tonneau contient —- d'eau, mais des — de
RÉSOLOTION DE PROBLÈMES 319
450 litres, ou de 432 lilreSt dont le prix moyen est de
Le problème est ainsi ramené à cet autre :
Comment faire un mélange de 432 litres de vin qui revienne à (y^SO le litre avec trois espèces de vin qui coûtent respectivement (K%40, 0'',44, et 0^',55 le litre, sachant d^ailleurs que pour un litrp de vin à 0'%40 on met 3 litres à 0",44 ?
?fons retrouvons une question analogue au problème V. En opérant comme il a été fait, on obtient successivement que les 432 litres demélange doivent être partagés proportionnellement aux nombres 5, 15 et 28» et que ce partage donne les quantités respectives de 45 litres à 0'%40, 135 litres à 0^%44 et 252 litres àO'',55.
Pour faire la vérification^ il faut montrer : 1° que la somme des trois nombres de litres, 45, 135 et 252, augmentée de son
-^j- donne 450 litres ; 2® que la valeur de ces 450 litres à 0'%60 Z4
surpasse de 54^'* celle de 45 litres, 135 litres et 252 litres, aux prix respectifs de 40^'', 44'' et 55'"' l'hectolitre .
§ XII.— AUiages.
375. Lorsqu'on fond plusieurs métaux ensemble et dans des proportions déterminées, on forme un alliage, dont le titre par rapport à Tun d'eux est le rapport du poids de ce métal contenu dans Talliage au poids total de cet alliage.
Les monnaies et les bijoux d'or ou d'argent sont des alliages de deux métaux : l'un précieux, or ou argent, qu'on appelle le métal fin, et l'autre vulgaire, le cuivre généralement, dont la valeur est considérée comme négligeable par rapport à celle du premier métal. Le titre des alliages de ce genre est exprimé par le rapport au poids total de l'alliage du poids de métal fin qui s'y trouve.
Dans ce cas particulier, en représentant par p le poids d'un lingot d'alliage, par pt le poids de métal fin qu'il contient et
par t son titre, on a la relation
d'où Ton tire les deux autres :
Pi = Pt , et p Z=l ^y
qui se traduisent respectivement ainsi en langage ordinaire :
i^ Le poids de métal fin contenu dans un lingot d'alliage est égal au produit du poids de ce lingot par son titre ;
â"" Le poids d'un lingot d*alliage est égal au quotient do poids du métal fin qu'il contient par son titre.
Il est utile de remarquer ici que si l'on considère le titre par rapport au cuivre d'un lingot formé de cuivre et d'un métal précieux, la somme du premier titre et de ce dernier est égale à l'unité, puisque les rapports qui expriment ces titres ont un dénominateur commun (le poids du lingot) égal à la somme dés numérateurs (les poids respectifs des deux métaux du lingot).
376. Gomme les questions de mélange, dont elles se rapprochent beaucoup, celles d'alliage peuvent se ranger dans trois catégories principales correspondant respectivement à la recherche du titre d'un alliage formé de plusieurs lingots, du titre d'un des lingots qui entrent dans un alliage, enfin des proportions dans lesquelles doivent être alliés plusieurs lingots pour donner un alliage de titre déterminé, lorsque dans chaque cas on a un nombre suffisant de données.
De ces différentes questions, que nous allons passer successivement en revue, voici celle qui se présente comme étant la plus simple :
377. I. On fond etisemble trois lingots formés émargent et dr cuivre y dont les poids respectifs sont de 3, 5 et 1 kilogrammes^ H les titres, 0,900, 0,850 et 0,800. Quel est le titre de l'alliage 7*ésultant ?
Le titre demandé est le quotient du poids total de l'argent contenu dans le lingot résultant par le poids de ce lingot.
Ce poids total d'argent est égal, d*après ce qui précède, à la somme des produits obtenus en multipliant le poids de chaque lingot par son titre, c'est-à-dire à
3kg X 0,900-+- 5kg X 0,850 4- Tï'KX 0,800 = 12^^,55.
D'autre part, le poids du lingot résultant est égal à
3kg ^ 5kg 4- 7kg = 15kg.
Le titre de ce lingot est ainsi de
On vérifie ce résultat en s'assurant que le poids de métal fin
contenu dans le lingot résultant de 3 + 5 + 7 ou 15 kilo-
granomes, au titre de 0,836 — > est égal à la somme des poids
du même métal contenu séparément dans les trois lingots de 3, 5 et 7 kilogrammes, aux titres respectifs de 0,900, 0,850 et 0,800.
378. Généralisation de la question. — En désignant par p, p' et p" les poids respectifs des trois lingots donnés^ par ^ /' et f leurs titres, et par t^ le titre du lingot résultant, on obtient la formule
qui est analogue à celle des mélanges et des questions d'échéance commune.
Elle résume la règle suivante : Pour calculer le titre d'un lingot' résultant de l'aUiage de plusieurs autres dont les poids et Us titres respectifs S07it connus ^ il faut faire la somme des produits du poids de chaque lingot par son titre et la diviser par la tomme des poids de ces mêmes lingots.
Elle montre, en outre, que /i est intermédiaire entre la plus petite et la plus grande des quantités t, t' et /'' (152).
Reharque. — Cette formule, qui établit une relation entre les poids /?, p' et p" des lingots fondus ensemble, les titres f, ^ et ^ de ces lingots, et le titre (i du lingot résultant, confirme ce que nous avons déjà dit que les questions d'alliage
DAUZAT. — MiTBODOL. 21
comportent trois problèmes principaux consistant dans le calcul de Tune quelconque des grandeurs de chacun des trois groupes ip, p\ p"), (^ t\ 0 et ^j, lorsque toutes les autres grandeurs de la formule sont connues.
Notre premier problème a eu pour objet le calcul de ti ; dans les deux qui vont suivre, nous allons montrer comment on calcule une des quantités de chacun des deux autres groupes.
379. II. Quel est le poids d'un lingot d'or et de cuivre, au litre de 0,840, qui a donné y en le fondant avec un autre lingot^ cornposé des mêmes métaux^ du poids de 5 kilogrammes^ au titre de 0,950, un lingot résultant au titre de 0,900 ?
De la formule (1), qui se réduit ici à la suivante :
et dans laquelle p' est l'inconnue, on obtient, en remplaçant les lettres par les valeurs qu'elles représentent,
0,900 = ii!5 t£4i2E:.
En multipliant les deux membres de cette égalité par 5 -t- p\
il vient
ou 4,5 -h 0,900p' = 4.75 + 0,840jo'.
Si Ton retranche ensuite de ces deux derniers membres 4,54-0,840/)', on a
ou 0>060p' = 0,25,
d ou z) = = 4 —
La quantité cherchée du lingot au titre de 0,840 est ainsi de
Solution directe, — On peut résoudre directemeût la question en raisonnant comme il suit :
Après la fusion des deux lingots, il y a homogénéité dans tonte la masse et le résultat est le même que si chaque kilopamme du lingot au titre de 0,950 avait cédé 01^6,950— 0i^s,900 OQ 50 grammes d'or au second, pour recevoir SO grammes de eaiTre, et que chaque kilogramme du second eût reçu ()*«,900 — 0^8,840 ou 60 grammes d'or, pour céder 60 grammes de cuivre. Or, comme le premier lingot pèse 5>^, il a cédé ao second 50s'' X 5 = 250 grammes, et le poids de celui-ci, pour recevoir ces 250 grammes à raison de 60 grammes par kilogramme, doit être égal, au quotient de 250 par 60 ou
On nérifie comme dans le problème précédent.
380. III. En fondant trois alliages d'argent et de cuivre pesant respectivement 400^ 350 et 500 grammes^ on en a obtenu un quatrième au titre de 0,950/ on sait que le premier et le deuxième lingot étaient aux titres respectifs de 0,980 et 0,900. Quel était k litre du troisième ?
Si dans la formule (i), où f est Tinconnue, on remplace les antres lettres par leurs valeurs numériques, il vient
«'»«« = 1250 En multipliant les deux membres de cette égalité par 1 250, on a 1 187,50 = 707 + 500<^,
et, en retranchant 707 de ces deux nouveaux membres,
480,50 'i'où ^ = J^!î- = 0,961.
Solution directe. -^ Le poids de Targent contenu dans le qnalrième lingot, et qui est de (4006^ -t- 3506^ -^ 500^0 X 0,950
OU de 1187^1,50^ doit être égal au poids de ce même métal contenu dans les trois lingots composants. Or le premier de ces trois lingots contient un poids d'argent de 400^^x0,980 = SQâgr, et le second, un poids de 3506^x0,900 = 315^'; il s'ensuit que le troisième en contient
1 i87gr,50 — {392g» -h 31 5«r) = 480«» ,50,
et que son titre est de ^ ' = 0,961 . C'est le nombre trouvé
oOO
par le premier procédé.
La vérification se fait comme pour le problème précédent.
La question qui suit est relative à la détermination des proportions dans lesquelles doit être composé un lingot dont on donne le titre ainsi que ceux des lingots composants.
381. IV. Quels sont les poids de deux lingots formés d*or et de cuivre^ aux titres respectifs de 0,960 et 0,820, qui fondus ensemble en ont donné un troisième du poids de 1610 grammes, au titre de 0,900 ?
Si nous connaissions le rapport des poids dans lequel les deux lingots doivent être fondus, il suffirait pour terminer la solution du problème de partager 1 610 grammes en parties proportionnelles aux deux termes de ce rapport. La question est donc ramenée à la suivante :
Dans quelles projiortions faut-il allier deux lingots aux titres respectifs de 0,960 et 0,820 pour que le titre de l'alliage résultant soi^ de 0,900?
La fusion des deux lingots donnant une masse homogène, le résultat est le môme que si chaque kilogramme du premier avait cédé 0^^,960 — 0*^^,900 ou 60 grammes d'or pour recevoir 60 grammes de cuivre, et que chaque kilogramme du second eût reçu 0*^r%900 — 0»^?,820 ou 80 grammes d'or, pour donner 80 grammes de cuivre ; et dans cet échange, le poids d'or cédé par le premier lingot doit être égal à celui que reçoit le second.
Considérons dans Talliage résultant 1 kilogramme du premier lingot, qui cède 60 grammes d'or, et cherchons quel devra être le poids correspondant du second pour recevoir cet or. Si 1 kilogramme du second reçoit 80 grammes d'or, pour
receroir les 60 grammes d*or que cède i kilogramme du premier, il faudra un nombre de kilogrammes du second égal à
-rzr ouà— > ce qui revient à dire que Talliage doit être fait
dans le rapport de 1 kilogramme du premier pour — de kilo-
;:rainjue du second, ou, en multipliant les deux termes de ce rapport par 4 afin d'avoir des nombres entiers, dans le rapport de 4 à 3.
// ne reste plus qu'à partager 1610 grammes en deux parties proportionnelles aux nombres 4 e^ 3.
Si X et t/ désignent les deux parties, il vient
L'alliage contiendra donc 920 grammes du lingot au titre de 0,960 et 690 grammes du lingot au titre de 0,820. La vérification se fait comme dans les précédents problèmes.
Remarque L — Le rapport dans lequel on doit allier deux Hngots de titres connus pour en obtenir un autre dont le titre est donné d'avance peut s'obtenir au moyen de la formule (1).
Cette formule, en effet, appliquée au cas de deux lingots,
devient
pt -H p't'
fl 7—
et donne, par un procédé de calcul identique à celui qui nous a servi pour la transformation de la formule des mélanges, en supposant d'ailleurs f^ t\ ce qui entraine les inégalités t>h>t%
Cette égalité montre que dans la question qui nous occupe k$ poids à prendre des deux lingots sont en raison inverse des différences entre les titres respectifs de ces lingots et le titre du lingot résultant.
Le moyen mnémonique déjà indiqué pour certaines questions de mélange s'applique donc ici et donne le tableau suivant, dans lequel nous prenons les millièmes pour unités
80 et 60 sont les deux termes du rapport dans lequel doivent être les poids respectifs des lingots aux titres de 0,960 et 0,880 pour en former un autre au titre de 0,900. Il est à remarquer que ces deux termes, 80 et 60, sont entre eux comme les nombres 4 et 3 obtenus par un autre procédé.
Remarque II. — Si au lieu d'avoir à former un lingot de poids donné, comme dans le problème précédent, il s'agissait de calculer le poids à prendre de Tun de ces deux lingots constituants pour le fondre avec un poids déterminé de Tautre, on chercherait d'abord, comme il vient d'être fait, le rapport des poids à fondre de ces deux lingots et Ton aurait à résoudre, comme pour les mélanges (369, Rem. III) une règle de trois simple au lieu d'un partage proportionnel.
382. En dehors des questions précédentes, on peut encore avoir à chercher ce qu'il faudrait ajouter ou retrancher de métal fin ou de métal vulgaire à un lingot de poids et de titre connus pour l'amener à un autre titre déterminé d'avance : ce sera l'objet des deux problèmes qui vont suivre.
383. V. Un lingot formé d'argent et de cuivre ^ du poids de 2*^,5, est au titre rfe 0,900; quel poids de cuivre faudrait-il lui ajouter pour ramener au titre de 0,800 ?
Après sa transformation, le lingot donné contiendra le même poids d'argent; or ce poids est de 2>'g,50 x 0,900 = 2^^6,25,
et comme le nouveau lingot doit être ail titre de 0,800, 2^<(,25
représentent les .^^^ de son poids total, lequel est ainsi de
2ï^g,25xl000 av. ojciK /n -4 A' A. ^
= 2i^s,8t2o. (On pourrait aussi dire, d'après
les considérations préliminaires, que ce poids est le quotient
2kg 25 da poids du métal fin par le titre ou ^ J^^ i ce qui revient
U,oUO
aa même). Il résulte de là que le poids de cuivre à ajouter est égal à Texcès de 2^^,8125 sur le poids primitif, c'est-à-dire à 2^^8126 — 2kg,S = 0»^«,3i25.
La vérification consiste à s*assurer que le poids d'argent contenu dans un lingot de 2^s,50 au titre de 0,900 est égal au poids du même métal contenu dans un lingot de 2^k,8125 au titre de 0,800.
Remarque. — Le titre d'un lingot formé, comme le précédent, d'argent et de cuivre peut être abaissé théoriquement soit en ajoutant du cuivre, soit en retranchant de Targent. Si la question, qui vient d'être résolue au premier point de vue, devait Têtre an second, on raisonnerait comme il suit :
Après sa transformation, le lingot donné contiendra le même poids de cuivre ; or ce poids de cuivre est égal au produit du poids du lingot par son titre par rapport au cuivre, et comme ce titre, d'après ce qui a été dit au commencement du paragraphe, est égal à 1—0,900 = 0,100, on a un poids de cuivre de 21^^,50 x 0,100 = 0^^,25. Le second lingot devant être au titre de 0,800 par rapport à l'argent ou au titre de 1—0,800 = 0,200 par rapport au cuivre, 0*^8,26 représentent
les du poids de ce lingot, lequel est ainsi de
0V5,2SxlOOO ,, „„ „ , u I A A' ,^ ^^ = 1*^,25. Il s ensuit que le poids d argent à
retrancher serait de 2kg,60 — lkg,26 = 1^^8,26.
On vérifie en montrant que le poids de cuivre contenu dans uu lingot de 2i^?,50 au titre de 0,900 est le même que celui qui est contenu dans un lingot de 21^k,60 — l^e,25 = 11^^,25, au titre de 0,800. La vérification pourrait aussi se faire en s'assurant que la différence entre le poids d'argent contenu dans le premier lingot et le poids de même métal contenu dans le second est de 11(^,25.
384. VI. Quel poids de métal fin faudrait-il ajouter à un lingot formé d^orel de cuivre^ du poids de 4 kilogrammes et au titre de 0,838, pour l'amener au titre de 0,850 ?
La marche à suivre pour résoudre ce problème est exactement celle que nous avons exposée dans la remarque précédente, car qu*il s'agisse de retrancher ou d'ajouter du métal un, le point de départ, toujours le môme, consiste à poser que le poids du cuivre est invariable. Ce poids, on l'obtient du prenaier lingot comme il vient d'être dit, et son quotient par le titre du lingot à former, considéré par rapport au cuivre, donne le poids de ce nouveau lingot. L'excès de ce dernier poids sur celui du premier lingot donne le poids d'ai^ent à ajouter.
En opérant ainsi sur les données du problème en question, on trouve pour solution 0''8,4.
Remarque. — Théoriquement on peut élever le titre d'un lingot de métal fin et de cuivre en lui retranchant du cuivre . Ainsi envisagée, la question précédente se traiterait en suivant la marche donnée pour résoudre le problème Y.
385. Lorsqu'on a plus de deux lingots de titres différents pour en former un autre, si Ton se demande simplement dans quelles proportions il faudrait les fondre ensemble pour obtenir cet autre, de titre donné d'avance, le problème est indéterminé.
Supposons, en effet, qu'il s'agisse de former un lingot d^or et de cuivre au titre de 0,900 avec trois autres lingots composés des mêmes métaux^ aux titres respectifs de 0,820, 0,875 et0,9i0. Quels que soient, par exemple, les poids employés des deux premiers lingots, qui doivent emprunter l'un et l'autre^ dans la fusion, de l'or au troisième pour passer au titre de 0,900, il est évident qu'on pourra toujours déterminer un poids de ce troisième lingot, au titre de 0,940, qui permette d'y trouver l'or emprunté par les deux autres. De sorte qu'à chaque combinaison de poids pris sur les deux premiers correspondra un poids déterminé du troisième : d'où une infinité de solutions.
Mais si l'on ajoute un nombre suffisant de nouvelles données à la question, l'indétermination disparaît, comme dans le problème suivant.
386. VII, On a trois lingots d^or et de cuivre aux titres respec-
tifs de 0,8-0, 0,875 et 0,940; quel poids faut-il prendre du second pour en former un quatrième au titre de 0,900, sachant qu'on prend 2 kilogrammes du premier et 7 kilogrammes du troisième ?
Un kilogramme du premier lingot, dont le titre est de 0,820, reçoit dans l'alliage 900«r — 820^^ = 80^^ d'or contre 805'' de enivre ; les i^s employés reçoivent donc 808"* X 2 = lOO»' d'or contre leOef de cuivre. De son côté, le troisième lingot» élânlaulitrede0,940,cèdeparkilogramme 940ki— 900gr = 40gr d'or contre le môme poids de cuivre ; il s'ensuit que les 7^8 à prendre cèdent 406rx7 = 280^»' d'or contre un égal poids de cuivre. Or les 2^g du premier lingot reçoivent 160«r de cet or; il en reste donc 2808'* — IBO^r = 120^^ pour élever, en échange de lîOs*' de cuivre, le titre de ce que Ton doit prendre du deuxième. La question est ainsi ramenée à la suivante :
Quel poids d'un lingot d*or et de cuivre^ au titre de 0,875, peut-on faire passer au titre de 0,900 en y substituant 1208'' d'or à un égal poids de cuivre ?
Un kilogramme de ce lingot recevant OOOs^ — 8758^ = 268r d'or contre une perte de même poids de cuivre, pourrecevoir, dans les mêmes conditions, 1208^ d'or, il faut un nombre de
Ulogrammes égal à -s^ = 4^8,8 .
Le procédé de vérification est encore celui du problème 1.
Remarque. — Comme pour les mélanges de plus de deux substances, quand il s'agit d'allier plus de deux lingots, les proportions dans lesquelles certains de ces lingots doivent être fondus ensemble ne sont pas absolument arbitraires. Par un raisonnement analogue à celui que nous avons employé pour les mélanges, on ferait ressortir que les données complémentaires peuvent dans certains cas conduire à des impossibilités.
387. VIII. Quelle est la somme en argent monnayé ^ au titre de MOO, qui augmente de 455^^ lorsqu'on l'amène au titre de 0,835 ?^ une addition de cuivre ?
Cherchons l'augmentation que subit une somme de 1^' en ^ent monnayé, au titre de 0,900, lorsqu'on lui ajoute du cuivre pour la faire passer au titre de 0,835.
Dans 1^*^ au titre de 0,900, il y a 4Kr^5 d*ai^ent pur, qui donnent, au titre de 0,83o, un alliage du poids de -jj^is e' dont la valeur exprimée en francs, à raison de l^*" par 5^1*, est de
A K 4An
' * — r- "= -Ton' de franc. L'augmentation de la somme de 0,835 X 5 1d7
l'"" est donc de -rs= l =
La question est alors ramenée à cette autre, qui est une règle de trois simple :
Quelle, est la somme en argent monnayé qui^ par un changement
de titre dans Falliagey augmente de 455" lorsque^ dans les mêmes
conditions f la somme de 1" augmente de ^^^ ?
Du tableau
on tire
icmc c
d*où X =
La vérification consiste à s'assurer que dans une somme d'argent monnayé de 5845", au titre de 0,900, il y a la même quantité d'argent pur que dans une somme d'argent monnayé de 6845"-i-455", au titre de 0,835.
