hll
d'où Ton tire d = 149.
Solution directe, — La distance totale est égale à 8kmx9-+- Hkm x7 = 149kn», nombre identique au précédent.
V Deux courriers vont à la rencontre l'un de Vautre, avec des vitesses respectives de i&^^ et 25^°* à Cheure ; ils sont partis de deux points distants de 337km et se rencontrent 7^ après le départ dutecond. Quel est le temps qui s'était écoulé entre les deux déparU ?
La formule (1) donne
d où Ion tire t = 4ô ^ = *.
lo
Solution directe, — Le second courrier en 7^ a parcouru 25^™X7= IJS"^"». Le parcours du premier, avant la rencontre, a donc été de 337km ^i 76km = 162km ; et comme sa vitesse à Theure est de 18^^, il a mis à reffectuerun nombre
d'heures égal à --3- = 9. Il était donc parti (9^ — 7^) = 2^
lo
avant Tautre. Ce résultat reproduit le précédent.
On peut encore raisonner ainsi : les deux courriers en 7^ ont parcouru (18^»» 4- 28km) x7 = 301km ; l'excès de 337km g^r 301km, ou 36km, représente dès lors la dislance parcourue par le premier avant le départ du second, ce qui donne pour la
durée de ce trajet -jq heures ou 2 heures.
395. Cas particuliers. — Si dans le problème- II les deux trains partent en même temps, t est nul et la formule (1) se . réduit à la suivante :
qui montre que le temps nécessaire à deux courriers partant en même temps de deux points différents pour aller à la rencontre Vun de Vautre s* obtient en divisant la distance qui sépare ces deux points par la somme des vitesses des deux courners.
Cette relation entre les quatre quantités v, v\ d et ^1 permet de calculer Tune quelconque de ces quantités connaissant les trois autres. Mais comme le calcul de v et de v' est le môme, les problèmes auxquels on est conduit ici se réduisent aux trois suivants^ plus simples que ceux qui précèdent, comme en étant des cas particuliers, et dont la solution se tire très facilement de celle des premiers.
4° Deux courriers partent en même temps de deux points distants de 150km et vont à la rencontre Vun de l'autre avec des
vitesses respectives de^^""^ et de iV^^ à l'heure. Quel temps mettrontils pour se rencontrer?
Réponse : 7*» -— •
2* Deux courriers qui vont à la rencontre Vun de Vaujtre^ avec des vitesses respectives de 18^™ et de 14^"" à rheure^ sont partis en même temps de deux points dont la distance est inconnue. Calculer cette distance sachant qu *ils ont mis 7^ pour se i^encoifitrer.
Réponse: 224^™.
S* Deux cowTiers qui partent en même temps de deux points distants de i2&^^^pourse diriger Vun vers l'autrejse i^encontrent au bout de 9*>. Sachant que la vitesse de Vun d'eux est de 6*^"^ à Cheure, quelle est la vitesse de Vautre ?
Réponse : 8^^™.
396. III. Après avoir expédié dans une certaine direction un courrier qui fait 45*^™ en 6^, on fait partir, 4 heures après pour le rejoindre^ un second courrier qui fait 78*^'" en 9*». Quel temps faudra-t'il à ce dernier courrier pour atteindre V autre , et à quelle distance du point de départ la renconti^e se fera-t-elle ?
Au départ du second courrier le premier a marché pendant
V^ à raison de 45*^™ en 6*», autrement dit avec une vitesse de
-^km à l'heure ; il a donc parcouru une distance de
-^kmx4 oudeSO^n».
La question est alors ramenée à la suivante :
Deux courriers distants de 30^*" pa7*tent en même temps et vont à la poursuite Vun de Vautre ; le premier fait 45^'" en &^ et le second 78''"^ en 9**. Quel temps faudra-t-il à ce dernier pour atteindre Vautre et à quelle distance du point de départ la rencontre se fera-t-elle ?
Le second courrier, dont la vitesse à l'heure, -^km, est
supérieure à celle du premier de -77- km x-km = -77 km,
se rapproche, par heure, du premier, de cette dernière dis-
DAUXAT. — MÉTHODOL. '22
tance ; pour Tatteindre ou s'en rapprocher de 30*^»", il lui faudra donc un nombre d^heures égal à -=- ou à 25 -=- •
La distance du point de départ au point de rencontre s'obtient dès lors en multipliant la vitesse à Theure du second par le nombre d'heures qu'il a mis à parcourir cette distance. On a
ainsi -^kmx25 y = 222i^m ~
Ici la vénfication consiste à s'assurer que le premier courrier
a parcouru en k^ + 25^ •=- la même distance que le second
en 25h 4 •
397. Généi-allsation de la question. — Si Ton désigne par V et t/ les vitesses à l'heure du premier et du second courrier, par t le temps qui sépare les deux départs et par U le temps que mettra le second courrier pour atteindre le premier^ le raisonnement précédent conduit à la formule
qui inontre que le temps employé par le second courrv*r pour atteindre le premier est égal au quotient obtenu en divisant par la diff^érence des deux vitesses le produit de la vitesse du premier par le temps dont il a précédé le second.
Remarque. — On conçoit qu'un problème de ce genre n'est possible qu'autant que la vitesse du second est plus grande que celle du premier. Toutefois le cas de deux courriers qui vont à la poursuite l'un de l'autre, la vitesse du second étant moindre que celle du premier, n'est pas à rejeter comme comportant une impossibilité. Si l'on admet, en effet, que leur point de départ est suffisamment éloigné derrière eux, ces deux courriers se sont nécessairement rencontrés et celui qui était le second avant la rencontre est passé ensuite le premier pour s'éloigner de plus en plus de l'autre.
On peut donc avoir à déterminer Vinstant où ces deux courriei^s
te sont rencontrés et la distance qu'ils ont parcourue depuis cette rencontre.
Le raisonnement est alors le suivant : Celui des deux courriers qui devient le premier après la rencontre s*éloigne à chaque heure du second de la différence des deux vitesses; il s'ensuit que pour s'en éloigner de la distance qui les sépare^ il lui a fallu un nombre d^heures égal au quotient de cette distance par la différence des vitesses. Quant au parcours de Ton quelconque des deux courriers^ depuis leur rencontre, on robtient en multipliant la.vitesse de ce courrier par le nombre d'heures écoulé à partir de l'instant considéré.
398. La formule (3), qui établit une relation entre les quatre quantités v, v', t et /i, permet de calculer l'une quelconque de ees quantités connaissant les trois autres, et par conséquent de résoudre en dehors du précédent les trois problèmes qui suivent.
i<* Quelle est la vitesse d'un courrier parti 3** avant un second qui fait S^^ à l'heure et par lequel il est atteint au bout de 17*»?
La formule (3), où Ton remplace les lettres par leurs valeurs numériques, donne
on en tire v = = b,8.
Solution directe,— En 17»» le second fait S^^ X 17 = 136^"^ ; telle distance ayant été parcourue par le premier en
3»^+ 17h = 20h, sa vitesse est de -^^ = 6^^^,8.
2" Quelle vitesse doit avoir un courner parti 5»> après un autrCf qui fait 6^™ à Vheure^ pour atteindre cet autre au bout de
De la formule (3) on obtient
dou t/ = ^ — ' = 9 — •
Solution directe. — Avant d'être atteint, le premier courrier parcourt une distance de &^^ x (5 -f- 8) = IS^"^ ; or le second courrier doit parcourir cette même distance en 8^ ; sa vitesse
^ 78kni 3
sera donc de —5— = 9»™ -r •
3« Après avoir expédié un premier courrier, qui fait ff^*«^ à
Vheure, combien faut-il attendre de temps pour en faire partir un
seèond^ dont la vitesse est de 11^^™ à l'heure^ et qui doit atteindre
le premier au bout de 5** ?
La formule (3) donne
Sxt
d'où Ton tire t = ^** ^ ^^^ = * J *
Solution directe, — Le second courrier faisant à l'heure llkin 8km =: 3km de plus que le premier, en 5*^ il fait 3kiii X 5 = ISkm de plus : c*est la distance que le premier a
parcourue avant le départ du second ; il lui a donc fallu pour
cela un nombre d'heures égal à -^ = 1 — .
399. A ce problème III se rattache encore le suivant : Deux courriers séparés par une certaine distance vont à la
poursuite l^un de Vautre ; la vitesse du premier est de 6^^ à l'heure et celle du second de H^^y^. Quelle est la distance qui les sépare sachant que leur rencontre a lieu après 14** ?
La solution est celle-ci: là distance demandée étant celle qu'a parcourue le second courrier en plus du premier, elle est égale à (8Km,5 — &^^)x 14 = 35^"^.
En généralisant, on a la formule
400. IV. Une montre marque midi ; à quelle heure les deux aiguilles de cette montre se rencontreront-elles pour la première fois et combien y aura-t-il de rencontres en douze heures?
i"* Dès que les deux aiguilles ont marqué midi, elles se séparent, la grande dépassant la petite et gagnant à chaque instant de l'espace sur elle pour la rencontrer de nouveau peu de
temps après 1^ 6"^. Ces deux aiguilles, qui se déplacent unifornément chacune, peuvent donc être considérées comme deux courriers qui vont à la poursuite Tun de l'autre avec des vit€5ses inégales. Si Ton prend comme unité d'espace une des 60 divisions égales du cadran^ la grande aiguille a une vitesse de 60 divisions à rheure, la petite une vitesse de 5 divisions, et elles sont distantes, à midi, pour la première rencontre futare, de 60 divisions.
Cela posé, nous dirons qu'en une heure la grande aiguille se rapproche de la petite d'un nombre de divisions égal h 60 — 5 on 55; pour l'atteindre, ou s'en rapprocher dé 60, il lui faudra
un nombre d'heures égal à -^^ = lh5"^278 -r-r—
ôo 11
La formule (4), qui convient ici, donne
d'où l'on tire aussi que t est égal à -r=- •
ôo
2* Les deux aiguilles se retrouvant à 1^ S^^ 27» --j-|-, dans les
mêmes conditions de distance et de vitesses qu'à midi, la
deuxième rencontre aura nécessairement lieu après un nouvel
intervalle de temps de 1^5"^ 27» -rj-; la troisième, après deux
fois ce même temps, et ainsi de suite, de sorte qu'il y aura
autant de rencontres en 12 heures que ce temps contient de
