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foi8lh6™278 -rr ou -;rj- d'heure. Le quotient est
60 18X55 55 ■" 60 "" La vérification consiste à s'assurer d'abord que le nombre de divisions du cadran parcourues par la grande aiguille en
1^5«»27» -73 ou mieux, pour faciliter cette vérification, en
■5=- d'heure — surpasse dé 60 celui des divisions qu a parcourues la petite dans le même temps, puis que 11 fois cet intervalle de temps donnent 12 heures.
404. V. Un lévrier poursuit un lièvre qui a 50 sauts d'avance
sur lui ; le lévrier fait 5 sauts pendant que le lièvre en fait 6j mais 9 sauts du lièvre n'en valent que 7 du lévrier. Combien h lièvre fera-t'il de sauts avant d'être atteint par le lévrier ?
Le lévrier et le lièvre sont deux courriers, séparés par une certaine distance, qui vont à la poursuite Tun de l'autre. Pour résoudre la question, il faut donc exprimer la vitesse de chaque courrier et la distance qui les sépare en se servant de la même unité de mesure, le sant du lièvre, par exemple, qui convient mieux d'ailleurs, avec Ténoncé du problème, que celui du lévrier.
La distance est de 50 sauts de lièvre.
La vitesse du Jièvre, en prenant pour unité de temps ce qu'il lui faut pour faire ud saut^ sera représentée par 1. Celle du lévrier se calculera comme il suit : en l'unité de temps, c*està-dire pendant que le lièvre fait un saut, le lévrier, à raison
de 5 pendant que le lièvre en fait 6, en fera -^ ; mais comme
7 de ses sauts en valent 9 du lièvre, -^ de son saut vaudront
■=-X TT OU -77- du saut du lièvre: c'est ce nombre -77- qui 7 6 14 14
représentera la vitesse du lévrier.
Si donc dans Tunité de temps adoptée le lévrier se rapproche
du lièvre de -jr — 1 ou -jr- de saut de lièvre, pour se rap-
procher de 50 sauts ou l'atteindre, il lui faudra un nombre
d'unités de temps égal à 50 : -jy = 700 ; et dans cet inter-
valle de 700 unités de temps, le lièvre, dont la vitesse est de 1 saut par unité de temps, fera 700 sauts : c'est le nombre cherché de sauts du lièvre.
Vérification. — Pendant que le lièvre fait 700 sauts, le
5 X 760 lévrier en fait — -^ — 1 qui valent en sauts de lièvre
5x700 9 «KA » . K- 1 ^- .
— - — X-m- OU 750: cest bien la distance qua parcourue
le lévrier pour atteindre le lièvre.
402. VI. Un train parti de Paris à 7^ du matin se dirige sur Bordeaux avec une vitesse de 40*^™ à l'heure ; à 8^ un deuxième train part du même point pour aller dans la même direction avec une vitesse de QO^^ à l'heure ; à 9*^ un troisième train part à son tour du même point et va à la suite des deux premiers avec une vitesse de 57^^* à l'heure. Calculer le temps que mettra le troisième train pour être à égale distance des deux autres.
Pour que le troisième train puisse se trouver à égale distance des deux autres, il faut d'abord qu*il rattrape le premier dont la vitesse est moindre que la sienne. A son départ, la distance qui le sépare du premier est de 40kni x 2 = 80^^ ; or comme il s'en rapproche de 57kni — 40km = I7km à Theure, pour
l'atteindre, il mettra un nombre d'heures égal à t=- = 4 -r=-*
 ce moment, le premier et le troisième train sont à une même
dislance de Paris, égale à 87km x 4 -rrr = 268kni --— ; et
le deuxième, parti une heure avant le troisiènié, se trouve à une distance du même point égale à
60kmx8-|?- = 342km A.;
il précède ainsi les deux autres de
342km ^ 268km * = 74km A.
Le problème est dès lors ramené au suivant :
Deux trains dont les vitesses à l'heure sont de 40km et de 87kni parient en même temps d'un même point pour se diriger dans le
même sens qt^un troisième train dont la vitesse est de 60^^ et qui
est devant eux à une distance de 74kni --. On demande le
temps que mettra le train dont la vitesse est de 57kin pour être à égale distance des deux autres.
Au bout d'une heure, le train de vitesse 67kin sera distant de 57km « 40km = 17km de celui qui part en même temps que
lui et de 74km ^ 4. (60km 57km) = 77km de celui qui est devant lui: la différence entre ces deux distances, qui
doivent devenir égales, est alors de 77km - — I7k in= 60^™ t=-
Or au nioment où les deux trains de vitesse ST^m et 40^^'" se
trouvaient ensemble, leur distances était nulle et le train de
vitesse 67itin était distant de 74ïtm —- de celui de vitesse 60tni ;
la difrërence de ces deux distances était donc à ce moment de
74km . Au bout d'une heure, cette différence, étant devenue
60km , a diminué de 74km -- — 60km -. = I4kin et cette 1 17 17 •
diminution qui représente Texcès de 57 sur 40 diminué de
Texcès de 60 sur 67, se reproduira après chaque heure de
marche ; pour que la différence 74 -j^ s'annule il faudra donc
un nombre d'heures égal à 74 -r=- : 14 = 5 -r^ .
En remontant au problème initial,. le troisième train mettra
donc 4^ — -r 5** T= = 10*^ pour être à égale distance des deux
autres.
Autre solution. — On peut résoudre ce problème d'une manière très simple en ayant recours à un train fictif qui se déplacerait avec une vitesse calculée de façon à ce qu'il se trouve à chacune instant à égale distance des deux trains dont les vitesses sont de 60km et de 40km à l'heure, et en cherchant le temps que mettrait pour l'atteindre le train dont la vitesse est de 57km à Theure.
Lorsque le troisième train se met en marche, le train fictif, se trouvant équidistant des deux autres, est à une distance du point commun de départ égale à la demi-somme des distances parcourues par ces deux autres, c'est-à-dire à
40km X 2 -+- 60km
= 70km ; d'un autre côté sa vitesse est évi-
demment. égale à la demi-somme des deux vitesses de ces
60km -4- 40km
deux trains, autrement dit à 5 = 50km.
La question revient dès lors à cette autre : :
Quel temps faut-il à un train dont la vitesse est de 57^"* à Vkeure pour en atteindre un autre qui marche devant lui avec une vitesse de 50*^™ à V heure et dont il est distant de 70*^™?
A chaque heure le second train se rapproche du premier de
la difTérence des deux vitesses, c'est-à-dire de 87km — SO^m
= 7itni; pour s'en rapprocher de 70kin ou l'atteindre, il mettra
un nombre d'heures égal à -=- = 10. C'est le nombre déjà
trouvé.
Vérification, — Dix heures après le départ du troisième Irain, le deuxième, qui a marché pendant 1^^ de plus, a fait 60km xli = 660km; le premier, qui a marché pendant 2*» de plas, a fait 40knixi2 = 480km; enfin le troisième a fait 57knix 10 = 570km. A ce moment, le troisième train est distant du deuxième de 660km ^ 570km = 90km, et la distance qai le sépare du premier est de 570km — 480km = 90km : l'égalité des deux distances vérifie les résultats obtenus.
RiauROUE. — D'après notre premier procédé de résolution, pour que le problème soit possible, il faut que la vitesse du troisième train soit supérieure à celle de l'un des deux autres et que la différence entre la vitesse du troisième et celle du train le plus lent soit supérieure à la différence entre cette même vitesse du troisième et celle du train le plus rapide. Si l'on désigne par t;, t/ et v' les vitesses respectives du train le plus rapide, du train le plus lent et du troisième train, la dernière condition s'exprime par l'inégalité
qui donne la suivante^ en ajoutant v' -f- v'^ aux deux membres,
d'où l'on tire î,">*L±-îi'.
C'est-à-dire que la vitesse du troisième train doit être supérieure à la demi-somme de celles des deux autres. Il est facile de
voir que si cette condition est remplie, la première, relative à la supériorité de la vitesse du troisième train sur celle de Tun des deux autres, Test a fortiori; elle résume donc à elle seule tout ce qu'il faut pour la possibilité du problème.
Le second procédé de résolution conduirait, par un chemin plus court, au même résultat.
ALGÈBRE ÉLÉMENTAIBE
1. L'Algèbre est née de la généralisation de l'Arithmétique, par i*emploi constant des signes des opérations, par Tusage des lettres pour représenter les nombres, par Textension des définitions et des règles à des quantités ou à des symboles que présente le calcul affranchi des procédés de l'Arithmétique .
On a une première idée de celte généralisation en considérant que les opérations qu'exige la résolution d'un problème dépendent exclusivement des relations qui existent entre les données de ce problème et sont par suite complètement indépendantes des valeurs numériques de ces données; qu'on peut dès lors représenter ces dernières par des lettres pour obtenir ainsi, comme solution^ une expression qui indique la nature et l'ordre des opérations à effectuer sur les données de tous les problèmes du même genre, c'est-à-dire qui ne diffèrent entre eux que par les valeurs numériques de ces données.
Cette expression est ce que nous avons déjà appelé, en Arithmétique, une formule. Pour en tirer des solutions particulières, on n'a qu'à y remplacer les lettres par les nombres <lTi'elles représentent dans les questions qu'on envisage et à procéder ensuite aux opérations qui y sont indiquées.
Les formules permettent, en outre» d'apporter une très grande abréviation dans les énoncés des théorèmes, et d'en faire ressortir très simplement les conséquences ; on sait, enfin, qu'on en tire d'autres formules en prenant comme inconnues successivement toutes les quantités entre lesquelles elles établissent des relations.
En dehors de ce caractère de géDéralité * qu*il donne à TAIgèbre, Tusage des signes et des lettres présente le grand avantage de simplifier le langage parlé comme le langage écrit et d'apporter ainsi beaucoup de clarté et de brièveté dans les raisonnements.
2. Les signes de TAIgèbre sont ceux de l'Arithmétique pour rindication des quatre opérations fondamentales et pour Texpression des puissances, des racines, des égalités et des inégalités. Nous n'y réviendrons pas.
Pour exprimer simplement que deux nombres sont inégaux, sans distinction du plus petit ou du plus grand, on se sert du signe ^zf:, que Ton place entre les deux nombres et qa*on lit différent de^ et pour marquer que deux expressions sont identiques, on emploie le signe ^.
On peut avoir à indiquer des opérations sur des nombres qui sont eux-mêmes les résultats d'opérations non effectuées; dans ce cas^ il faut mettre ces nombres entre parenthèses ( ) ou entre crochets [ ]. C'est ce que nous avons déjà fait, du reste, plus d'une fois en Arithmétique.
