CHAPITRE I

§ I. — Nombres positifs et nombres négatiis.

3. Définitions. — La mesure des grandeurs nous a fourni, en Arithmétique, un mode commun de génération des nombres entiers, des nombres fractionnaires et des nombres incommensurables ; elle va nous servir ici à donner une nouvelle extension à l'idée de nombre.

Considérons une droite indéfinie et un point fixe pris sur celte droite ; imaginons ensuite qu'on porte, à partir de ce point, différentes longueurs sur cette droite, les unes dans un sens et les autres dans Tautre ; on conçoit que Tune quelconque de ces longueurs ne sera complètement déterminée qu'autant que l'on connaîtra le nombre qui la mesure et le sens dans lequel elle a été portée.

Pour distinguer et représenter mathématiquement ces longueurd qui peuvent être comptées dans deux sens contraires et qui dépendent ainsi de deux éléments, on convient de placer devant les nombres qui en expriment les mesures^ le signe + lorsqu'elles sont portées dans un sens déterminé, de gauche

à droite ordinairement, et le signe — lorsqu'elles sont portées dans le sens opposé, de droite à gauche.

Le temps, la température d'un milieu, etc., sont d'autres grandeurs susceptibles comme les longueurs d'être comptées dans deux sens opposés, la première, après ou avant un instant déterminé, la seconde, au-dessus ou au-dessous d'une température fixe prise comme point de comparaison.

Les nombres qui mesurent arithmétiquement toutes ces grandeurs, ainsi précédés, pour en faire partie intégrante, les uns du signe -4- et les autres du signe —, sont dits les mesures algébriques de ces grandeurs. Ce^sont 4© JB\irs synaboJ.es^ auxquels on donne, par extension, le nom de nombres : ceux qui portent le signe -h sont appelés nombres positifs et ceux qui portent le signe — , nombres négatifs.

Le nombre arithmétique qui fait partie d'un de ces symboles algébriques s'appelle la valeur absolue de ce symbole.

A une valeur absolue nulle correspond le nombre zéro, qui ne peut avoir, par définition des nombres qui nous occupent, aucun signe, mais qui est aussi un nombre algébrique.

Deux de ces nombres sont dits égaux lorsqu'ils sont formés du même nombre arithmétique et du même signe ; ils sont dits égaux en valeur absolue et de signes contraires lorsqu'ils sont formés du môme nombre arithmétique et d'un signe différent.

Les nombres négatifs ne représentent pas toujours dans la solution des questions algébriques, des grandeurs susceptibles d'être comptées dans un sens opposé à des nombres positifs ; on verra plus loin qu'ils font uniquement ressortir quelquefois une absurdité ou une impossibilité dans l'énoncé d'un problème, parfois une erreur dans la mise en équation.

4. Cela dit, il s'agit de montrer comment on soumet au calcul ces symboles que nous désignerons, pour abréger le langage, par le nom commun de nombres algébriques.

Pour cela, nous commencerons par définir le sens qu'il faut attribuer à chacune des opérations fondamentales et nous en déduirons des règles, qui ne seront, par voie de conséquence, que des conventions comme les définitions, .mais qui devront

n*étre dans aucun cas contradictoires, et conduire aux mêmes résultats qa^en Arithmétique lorsqu'on opérera sur des nombres positifs.

5. Addition. — O^^^ÎÎ&A^ d'appeler somme de deux nombres positifs ou de deux nombres négatifs, le nombre algébrique dont la valeur absolue est égale à la somme des valeurs absoIue3 des deux nombres, et dont le signe est le signe commun de ces deux nombres.

On convient d'appeler .yg^me. d'un nombre positif et d'uu,, nynbre négatif, le nombjre algébrique dont la valeur absolue est égale, à ladîuérence des valeurs absolues des deux nombres et dont le signe est celui du nombre qui a la plus grande de ces valeurs absolues. Si les deux nombres sont égaux en valeur absolue, on dit que leur somme est zéro. '

On convient enfin que si Tun des deux nombres algébriques est zéro, leur somme est égale à l'autre.

L'opération qui a pour objet de former Tune quelconque de ces sommes, c'est-à-dire d'ajouter Tun à l'autre deux nombres algébriques quelconques, tels que nous les avons précédemment définis, porte le nom d'addition.

La règle à suivre pour additionner deux nombres algébriques se tire immédiatement des définitions que nous venons de donner de leur somme.

6. Somme de plus de deux nombres algébi'iques , — On con- Tient d'appeler somme d'un nombre quelconque de nombres algébriques le résultat que l'on obtient en ajoutant algébriquement au premier nombre le deuxième, h la somme obtenue le troisième nombre, à cette nouvelle somme le quatrième, et ainsi de suite jusqu'à l'emploi du dernier des nombres considérés.

Il est facile de prouver : i"^ que ce résultat est indépendant de Tordre dans lequel se fait l'opération, et 2^ que dans une somme algébrique on peut remplacer plusieurs des nombres <IQi la composent par leur somme effectuée. Et une première conséquence de ce double fait c'est que Taddition est encore commutativè et associative pour les nombres algébriques. On en

déduit, en ouire, que pour additionner plusieurs nombres algébriques on peut d*abord remplacer par leurs sommes respectives tous les nombres positifs d'une part, et tous les nombres négatifs de Tautre.

7. Soustraction. — On convient d'appeler différence de deux nombres algébriques, pris dans un ordre déterminé, le nombre algébrique qui, ajouté au second, reproduit le premier.

L'opération qui a pour objet de former cette différence porte le nom de soustraction^ et elle e6t l'inverse de l'addition telle qu'elle a été précédemment définie ; quand on l'effectue, on dit aussi que l'on retranche le second nombre du premier.

Soit à retrancher du nombre a le nombre 6, et considérons l'expression a -+- ( — b) dans laquelle — b représente le nombre b changé de signe.

1® Si b est un nombre positif égal à -h m, on a 6 = -4- m, d'où, d'après la convention qui précède, — b = — m. L'expression aH-( — b) devient, en y remplaçant — b par — m, a+( — m), ce qui donne, d'après la règle de l'addition des nombres algébriques, a — m. Or, si l'on ajoute + m ou 6 à cette dernière expression, on a a — m-^m ou a ; on reproduit ainsi le premier nombre proposé : dans ce cas la différence des deux nombres proposés est ainsi a + (— 6).

2° Si b est un nombre négatif égal à — m, on a 6= — m d'où, d'après la précédente convention, — é = h- m. L'expression a -h (— 6) devient, en y remplaçant — b par sa valeur -h m, a -i- (-h m), ce qui donne, d'après la règle de l'addition des nombres algébriques, a + m. Or, si l'on ajoute — m ou 6 à cette dernière expression, on a a -h m — m ou a; on reproduit ainsi le premier nombre proposé : dans ce cas, la différence des deux nombres proposés est encore a-+( — 6)- Il en résulte la règle suivante :

Pour retrancher d'un nombre algébrique un autre nombre algébrique^ on ajoute au premier le second changé de signe.

La soustraction de deux nombres algébriques se ramenant ainsi à une addition, cette opération est toujours possible en Algèbre, ce qui n'a pas lieu en Arithmétique, où le second

nombre doil être nécessairement au plus égal au premier.

8. MolUpUcaUon. — On convient d'appeler produit de deux X, \>\ 2a^ nombres algébriques un autre nombre algébrique dont la valeur absolue est le produit arithmétique des valeurs absolues des deux nombres envisagés et dont le signe est le signe + si les deux nombres sont affectés du même signe, et le signe — sfls sont affectés de signes contraires. Si l'un des nombres est léro, le produit est zéro. L'opération qui a pour objet de former ce produit porte le nom de multiplication, et les deux nombres envisagés s'appellent multiplicande et multiplicateur ou bien encore les facteurs du troisième nombre, qui en est le produit

U règle i suivre pour multiplier l'un par l'autre deux nombres algébriques se tire immédiatement de la déflnition que nous venons de donner de leur produit.

9. Produit de plus de deux nombres algébriques. — On con- Tienl d'appeler produit d'un nombre quelconque de nombres algébriques, le résultat que l'on obtient en multipliant algébriquement le premier nombre par le deuxième, le produit obtenu par le troisième nombre, le nouveau produit par le quatrième et ainsi de suite jusqu'à l'emploi du dernier des nombres considérés.

Il est facile de démontrer: !• que ce résultat est indépendant de l'ordre des facteurs ; 2» que dans un produit de nombres algébriques on peut remplacer plusieurs facteurs par leur prodnit effectué. Et la conséquence de ce double fait c'est que la mnltiplication est encore commutative et associative pour les nombres algébriques. On démontre, en outre, en s'appuyant sur le mode de formation du produit considéré ainsi que sur les conventions relatives au signe du produit de deux nombres algébriques, que le produit d'un nombre quelconque de nombres algébriques, dont aucun n'est zéro, est positif ou négatif suivant que les facteurs négatifs de ce produit sont en nombre pair ou impair.

10. Division. - On convient d'appeler quotient de deux nombres algébriques, le second étant différent de zéro, un

BAUUT. -^ M^HODOL. ^

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autre nombre algébrique par lequel il faut multiplier le second pour reproduire le premier.

L'opération qui a pour objet de former ce quotient porte le nom de division et elle est Tinverse de la multiplication telle que nous Tavons précédemment définie. D'autre part, les deux nombres envisagés s'appellent, le premier dividende et le second diviseur.

De la définition du quotient de deux nombres algébriques ainsi que des conventions relatives au signe du produit de deux de ces mêmes nombres, on déduit la règle suivante : Pour obtenir le quotient de deux nombres algébriques^ on forme le quotient arithmétique des valeurs absolues des deux nombres et Von donne au résultat le signe -h si les deux nombres sont de même signe et le signe — s'ils sont de signes contraires.

On démontre, comme pour les nombres arithmétiques, que le quotient de deux nombres algébriques ne change pas quand on multiplie ou divise à la fois le dividende et le diviseur par un môme nombre qui n'est pas zéro.

11. Puissances. — On convient d'appeler /^umance m« d'un nombre algébrique (m étant un nombre entier plus grand que l'unité) le produit, tel que nous Tavons défini plus haut, de m facteurs égaux à ce nombre.

De ce que nous avons dit relativement au signe d'un produit de plusieurs facteurs algébriques, il résulte qu*une puissance quelconque d'un nombre positif est toujours positive et qu'une , puissance quelconque d'un nombre négatif est positive ou négative suivant que Texposant de cette puissance est pair ou impair.

La puissance m"" d'un nombre algébrique a se représente par l'expression a"'.

12. Remarques générales. — L Nous avons montré que les propriétés essentielles des opérations fondamentales sur les nombres arithmétiques sont aussi celles des opérations sur les nombres algébriques. Ce n'est pas tout, on démontre, en outre, que la plupart des propositions relatives à ces opérations

AT

(addition d'une somme à un nombre, produit d'une somme par un nombre, produit de deux sommes, quotient d'une somme par un nombre, etc.)» slux puissances ainsi qu'aux égalités sont applicables aux nombres algébriques, sous la forme que nous leur avons donnée en les établissant pour des nombres arithmétiques.

II. Il ressort des opérations sur les nombres algébriques que le calcul des nombres positifs est exactement le même que celui des nombres arithmétiques ; on peut donc dire que les premiers ne sont pas différents des seconds, et que le nombre zéro algébrique ne diffère pas non plus du nombre zéro arithmétique.

13. Observation, — Au lieu de tirer la notion des nombres itifs de la considération d'une soustraction impossible^ et ' ^senter au'aorès la multiplication algébrique ou au moment del'interprétation des solutions négatives des équations du premier degré, on la fait naître aujourd'hui, de la mesure de** pranH^mpjj et on la place au commencement de l'Algèbre. On se donne ainsi le grand avantage de raisonner dès le début d'une manière tout à fait générale et de ne formuler que des règles définitives.

^ II. — Fractions algébriques.

14. Défloltions. — Tout ensemble de lettres, de nombres et de signes qui indique une suite d'opérations à effectuer sur les nombres tant exprimés que représentés par les lettres est une expression nlgébnque.

Et toute expression de la forme -^ qui représente le quotient

de deux expressions algébriques A et B s'appelle fraction algébrique. Comme en Arithmétique, le dividende A porte le nom de numérateur^ et le diviseur B, celui de dénominateur] A et B sont dits, en outre, les deux t(*innps de la fraction.

Une fraction algébrique se distingue d'une fraction arithmétique en ce que ses deux termes peuvent représenter des

nombres quelconques, entiers ou fractionnaires, rationnels oa irrationnels, positifs ou négatifs, et que les valeurs absolues de ces nombres peuvent varier de 0 jusqu'à l'infini.

15. Lorsque, dans une fraction algébrique, un des termes ou tous les deux prennent la valeur 0 ou deviennent infinis pour certaines valeurs numériques attribuées aux lettres, la valeur de la fraction présente des particularités qu'il est nécessaire de connaître :

i^" Si le numérateur devient nul, le dénominateiir étant différent de zéro, la fraction devient aussi nulle. En effet, le produit de la fraction par son dénominateur devant reproduire son numérateur, il n'y a que le nombre zéro qui, multiplié par un nombre différent de zéro, donne pour produit zéro.

2* Si le dénominateur devient nul, le numérateur étant différent de zéro, la fraction n'est représentée par aucune valeur numérique. Il n'existe pas, en effet, de nombre qui^ multiplié par zéro, donne pour produit un résultat différent de zéro.

Mais si l'on considère une fraction dont le numérateur est quelconque et le dénominateur très petit en valeur absolue, on constate que la valeur absolue de cette fraction est très grande ; et si Ton suppose ensuite que, le numérateur restant fixe, la valeur absolue du dénominateur aille sans cesse en diminuant jusqu'à devenir plus petite que toute quantité assignable, il s'ensuivra que la valeur absolue de la fraction ira, de son côté, sans cesse en croissant jusqu^à devenir plus grande que toute quantité donnée quelque grande qu'elle soit. C'est ce qui fait dire, lorsque le dénominateur d'une fraction est nul, le numérateur étant différent de zéro, que la valeur de cette fraction est infinie. .On se sert du signe oo pour représenter une telle valeur.

3^ Si le numérateur et le dénominateur sont nuls à la fois, la fraction peut élre représentée par un nombre quelconque : un nombre quelconque multiplié par zéro donne, en effet, pour produit le nombre zéro. C'est ce qui fait dire que la valeur de la fraction, dans la circonstance, est indéterminée.

4^ Si le numérateur devient infiai, le dénominateur étant fini et différent de zéro, la fraction devient aussi infinie. 11 n'y a, en effet, qu'un nombre infini qui, multiplié par un nombre fini et différent de zéro, donne pour produit un nombre infini.

5* Si le dénominateur devient infini, le numérateur étant fini et différent de zéro, la fraction devient nulle. Aucun nombre différent de zéro, multiplié par un nombre infini, ne peut, en effet, donner pour produit un nombre fini et différent de zéro.

6* Si le numérateur et le dénominateur deviennent infinis à la fois^ la fraction peut être représentée par un nombre quelconque. Un nombre quelconque multiplié par un nombre infini donne, en effet, pour produit un nombre infini.