Calcul. — On démontre que les règles du calcul des

fractions algébriques sont les mêmes que celles du calcyi} 4e^

fractions arithmétiques, sous la réserve, toutefoiSa^ue dans la substitution des valeurs numériques aux lettres.quiio^jftpré- ^ sentent, les fractions algébriques ne prennent qye des valçurs fifiies^iïSterrûînèes.

Quelques-unes de ces règles reposent sur la propriété suivante des fractions algébriques :

Si l'on multiplie ou si Von divise à la fois les deux termes d'une fraction algébrique par une même expression algébrique de valeur numérique finie et différente de zérOy on obtient une nour>elle fraction algébrique équivalente à la proposée.

On tire directement, en effet, de cette proposition les deux règles qui suivent relatives à la simplification et à la réduction au même dénominateur des fractions algébriques :

I. Pour simplifier une fraction algébrique^ on supprime tous les facteurs communs à ses deux termes,

II. Pour réduire plusieurs fractions algébriques au même dénominateur y on multiplie les deux termes de chacune d'elles par une même expression algébrique convenablement choisie. Pour chaque fraction, cette expression multiplicateur peut être le produit des dénominateurs de toutes les autres fractions ;

mais on choisit de préférence, dans un but de simplification, le quotient du plus petit commun multiple de touslesdéaoïninateurs par le dénominateur de la fraction sur laquelle on opère.

On démontre ensuite, très simplement, les règles relatives aux quatre opérations fondamentales :

I. Pour additionner plusieurs fractions algébriques, il faul les réduire au même dénominateur, puis former une autre fraction qui a pour numérateur la somme des nouveaux numérateurs et pour dénominateur le dénominateur commun : cette fraction est la somme des fractions joroposées.

II. Pour retrancher deux fractions algébriques Vunede l'autre, il faut les réduire au même dénominateur ^ pt/t* former une autre fraction qui a pour numérateur la différence des nouveaux numérateurs et pour dénominateur le dénominateur commun : cette fraction est la différence des deux fractions proposées,

III. Pour multiplier deux fractions algébriques l'une par Vautre^ il faut multiplier entre eux, d'une part les numérateurs^ de l'autre les dénominateurs, puis former une fraction qui a pour numérateur le premier produit et pour dénominateur le second : cette fraction est le produit des deux fractions proposées.

IV. Pour diviser deux fractions algébriques Vune par Vautre^ il faut multiplier la fraction dividende par la fraction diviseur renversée : le résultat est le quotient des deux fractions proposées.

Quant à l'application de ces règles, elle demande généralement la connaissance du calcul des expressions algébriques, qui fera Tobjet du chapitre 11.

17. Autres propriétés des fractions algébriques. — Etant donnée une suite de fractions algébriques égales^ on obtient une nouvelle fraction algébrique égale à chacune des précédentes :

1° En prenant pour numérateur la somme des numérateurs des fractions proposées et pour dénominateur la somme de leurs dénominateurs :

2° En prenant pour numérateur la somme des numérateurs de

certaines fractions proposées y diminuée de celle des numérateurs des autres^ et pour dénominateur la somme des dénominateurs des premières fractions envisagées^ diminuée de celle des dénominateurs des autres :

3* En multipliant les deux termes de chaque fraction par un même nombre quelconque^ variable d'une fraction à l'autre, et en prenant ensuite pour numérateur la somme des numérateurs des nouvelles fractions et pour dénominateur la somme de leurs dénominateurs :

a fl' a" am -+■ a'm' h- a''m"

b b' b" bm-\-b'm'^bV

4' En élevant toutes les fractions à une même puissance m et en prenant ensuite pour numérateur la racine m* de la somme des numérateurs des nouvelles fractions et pour dénominateur la racine m* de la somme de leurs dénominateurs :

On remarquera que ces propositions sont celles qui expriment, en Arithmétique^ les propriétés essentielles des rapports égaux, lesquels ne sont, en définitive, que des fractions arithmétiques.

§ m. — Expressions algébriques.

18. Définitions. — Après avoir défini (14) les expressions algébriques, nous examinerons les différentes formes qu'elles penvent revêtir.

Une expression algébrique est dite rationnelle lorsqu'elle ne contient aucune indication d'extraction de racine portant sur les nomhres représentés par des lettres ; elle est dite irrationnelle dans le cas contraire.

Une expression algébrique rationnelle est dite entière lors-

qu'elle ne contient aucune indication de division par un nombre représenté par une lettre ; elle est dite fractionnaire dans le cas contraire.

Toute expression algébrique qui ne contient aucune indication d'addition ou de soustraction s'appelle monôme. Les facteurs numériques que peut renfermer un monôme doivent toujours être réduits à un seul en en faisant le produit ; le résultat, que Ton écrit avant les lettres, est appelé coefficient. Un monôme qui n'a pas de coefficient exprimé est considéré comme ayant l'unité pour coefficient.

Lorsqu'une expression algébrique est formée de plusieurs monômes réunis entre eux par les signes -h ou — , on lui donne le nom de polynôme. Les monômes qui la composent en sont les termes^ que l'on considère comme inséparables de leurs signes ; de là des termes positifs et des termes négatifs. Lorsque le premier terme d'un polynôme n'est précédé d'aucun signe, on le considère comme ayant le signe h- et par conséquent comme un terme positif.

Un polynôme à deux termes est un binôme; un polynôme à trois termes, un trinôme ; un polynôme à quatre termes, un quadrinome, etc.

Dans un polynôme, des termes qui ne diffèrent que par le signe ou le coefficient sont dits des termes semblables.

On appelle degré d'un monôme algébriquement entier la somme des exposants de tous les facteurs représentés par les lettres qui le composent. Toute lettre qui n'a pas d'exposant exprimé est considérée comme ayant l'unité pour exposant, en raison de ce que l'on entend par exposant d'une puissance et première puissance d'un nombre.

Un polynôme dont tous les termes sont du môme degré est dit homogène, et le degré commun des termes s'appelle le degré d'homogénéité du polynôme.

On appelle degré d'un polynôme entier par rapport à une lettre déterminée l'exposant le plus élevé de cette lettre considérée dans les différents termes de ce polynôme.