Addition des polynômes. — Soient à additionner les deux

polynonies

dans lesquels nous représenterons chaque terme par une seule lettre.

On a comme expression immédiate de la sonime

P4-Q = (a — è-hc — rf)4-(^— /'-hg — A).

Imagiaons que Ton attribue aux lettres qui entrent dans chacun de ces polynômes des valeurs numériques quelconques, positives ou négatives, et soient F, Q', a', b', c\ d', e, f, g\ h' les valeurs numériques que prennent dans la circonstance les polynômes F et Q, ainsi que les termes qui les composent ; on aara

Or, d'après ce qui a été dit à propos de l'addition des nombres algébriques, on peut écrire

la'-ô'-t- c' — d') -h (e'— /'-+- g' — h')

et comme cette égalité est indépendante des valeurs numériques attribuées aux lettres des deux polynômes P et Q, il en resuite nécessairement l'équivalence des deux expressions

(a — 6 -h c — rf) -^ (e — f-{- g— h)

cl a — 6-i-c — rf-f-e — f-^ g — h.

Ce qui se traduit par Tidentité

(a-6-f-c — rf)-f-(e — /"-t-^- h)

^ a — ô-Hc— rf-f-e — f-\-g — h.

D'où la règle .* Pour additionner deux polynômes, on les écrit ^ k suite Vun de Uautre en conservant le signe de chacun des ter- ^$ qui les composent ; le polynôme résultant est la somme des ^ux polynômes considérés^

Cette règle peut s'étendre an cas de plus de deux polynômes, car additionner plusieurs polynômes c'est ajouter au premier le deuxième, puis au résultat obtenu le troisième, et ainsi de suite. Le résultat final est l'ensemble des polynômes à additionner écrits à la suite les uns des autres, chacun de leurs termes ayant conservé son signe.

Par la considération des valeurs numériques des polynômes et du calcul des nombres algébriques, on démontre que la somme de plusieurs polynômes est indépendante de Tordre dans lequel on les additionne.

24. Réduction des termes semblables. — Il arrive très souvent qu'un polynôme, surtout lorsqu'il résulte d'une opération algébrique, contient des termes semblables ; on peut alors remplacer tous les termes semblables par un seul terme, qui est une expression équivalente à la somme de tous les termes semblables considérés : c'est ce qu'on appelle une réduction de termes semblables^ et le polynôme qui en résulte est un polynôme réduit. On obtient cette réduction par l'application de la règle suivante, qui se déduit du double fait que la valeur numérique d'un polynôme ne change pas lorsqu'on intervertit Tordre de ses termes et que dans une somme de nombres algébriques on peut remplacer plusieurs des nombres qui la composent par leur somme effectuée.

Pour réduire à un seul les ternies semblables d'un polynôme^ on fait la somme des coefficients des termes positifs^puis celle des coefficients des termes négatifs^ on retranche ensuite la plus petite somme de la plus grande, on donne au résultat le signe de cette dernière et Von écrit à la suite du nombre ainsi obtenu^ qui est le coefficient du terme unique^ l'ensemble de lettir^s commun aux termes semblables.

Un polynôme dont tous les termes disparaissent dans une réduction de termes semblables est dit identiquement nul.

§ II. — Soustraction.

25. Définition. — La soustraction |ilgébrique a pour objet de

former une expression algébrique, la plus simple possible, dont la valeur numérique soit égale à la différence des valeurs numériques de deux expressions algébriques données, quelles que soient les valeurs particulières attribuées aux lettres qui entrent dans ces expressions.

On peut encore définir la soustraction une opération qui a pour but, étant données deux expressions algébriques, d'en former une troisième qui ajoutée à la seconde reproduise la première.

La soustraction est, comme en Arithmétique, Topération inverse de l'addition.

Ici encore nous considérerons successivement deux cas : celui de la soustraction des monômes et celui de la soustraction des polynômes.

26. Soustraction des monômes. — Pour retrancher d^un monôme un autre monôme^ on écrit le second à la droite du premier en les séparant l'un de l'autre par le signe — ; le binôme résultant est la différence des deu<c monômes considérés.