IV. - UNION DE L'ANALYSE ET DE LA SYNTHÈSE

Pratiquement, l'analyse et la synthèse sont souvent unies dans une même leçon, pour l'exposition dun fait, l'explication d'un phénomène ou la démonstration d'un théorème. La synthèse ne saurait faire ressortir les rapports qu'ont entre elles les parties d'un tout composé, sans qu'une analyse antérieure en ait isolé les éléments ; et d'autre part, l'analyse fixant l'attention sur des éléments isolés, il est nécessaire qu'elle aboutisse à une synthèse, afin que l'esprit puisse considérer . un ensemble d'idées et en tirer des conclusions générales.

Lorsque je groupe sous plusieurs chefs distincts les causes multiples de la Révolution française, causes politiques, financières, sociales, religieuses et morales: je fais une .synthèse. Mais cette synthèse n'est possible que par une analyse préalable, qui a dissocié les causes d'un événement si complexe ; et pour exposer telle ou telle cause en particulier, je m'engage dans la voie analytique.

Il en est de même en botanique. J'ai apporté à mes élèves, pour les leur faire analyse)-, deux ou trois plantes de la famille des labiées : ensemble, nous procédons à l'examen des caractères de la tige, de la fleur et du fruit ; et de là, je tire ou fais tirer une conclusion synthétique sur les caractères généraux des labiées.

3fi0 ENSEIGNEMENT

En mathématiques, lanalyse et la synthèse peuvent être considérées comme deux méthodes de transformation d'un théorème en un autre équivalent. Par la syntlièse, on remplace l'hypothèse donnée par une autre moins éloignée de la conclusion ; par l'analyse, on remplace la conclusion par une autre, plus voisine de l'hypothèse. Seulement, tandis que l'hypothèse peut être remplacée par toute propriété qui en découle, la conclusion ne peut être remplacée que par une propriété qui lui soit équivalente. Dans la pratique, on utilise couramment un mode de transformation mixte, que nous avons appelé méthode des substitutions successives. L'essentiel est de frayer un chemin continu entre l'hypothèse et la conclusion ; peu importe que l'on commence à tracer ce chemin par une extrémité ou par l'autre. C'est pourquoi, tout en remplaçant la conclusion par une série de propriétés équivalentes, on n'hésite pas, quand l'occasion s'en i^résente, à remplacer en même temps l'hypothèse par une suite de propriétés (|ui en découlent : ainsi se trouvent unies dans une seule démonstralion l'ana- Ivse et la svnthèse.