OH
DA
61. Distance d'un point inaccessible S, très éloL gné, à une droite donnée AB. — Dans certains cas, le point considéré est très éloigné, et visible seulement dans les lunettes. On peut imaginer, pour résoudre ces problèmes dans lesquels on fait entrer la considération de grandes distances, un appareil formé de deux lunettes superposées, dis-
âl2 ESSAI SUR LA GÉOMÉTRIE
posées sur un pied pouvant se fixer sur le sol, et dont les directions sont rigoureusement rectangulaires. Au fond, cet
appareil est une équerre ordinaire, à
Tusage des grandes dislances. Voici
/ ^^\ comment on peut Tutiliser pour la
solution du problème qui nous occupe.-
Aux points A, fi visons le point
jH___^b S; puis jalonnons les droites partant
de ces points, perpendiculairement aux
^' directions AS, BS. Nous obtenons
ig. too, ainsi un point 0; pour des raisons
évidentes, il se projette sur AB en un point H' isotomique
de H, projection de S sur AB. Les triangles semblables BOH',
SBH donnent, d'ailleurs,
OH' Et comme AH' = BH,
nous avons finalement
^^ = —ôW~'
Cette formule permet de calculer la distance inconnue SH au moyen des longueurs AH^ BH', OH', faciles à chaîner; car elles sont aussi petites que Ton voudra, bien que SH puisse être très grand.
Reharque. — On observera que la solution précédente n'exige nullement que le point H soit déterminé et, dans certains cas, s'il existait par exemple un obstacle entre H et S, cette détermination ne serait pas facile.
Nous rencontrons ici, incidemment, une solution du problème suivant : Abaisser d'un point S, inaccessible, une perpendiculaire sur une droite accessil)le AB ; S étant invisible du pied H de la perpendiculaire en question.
On détermine le point H', comme nous Tavons expliqué; puis on prend l'isotomique H.
62. Distance à un but inaccessible, mobile sur une trajectoire rectiligne. — Nous allons supposer, maintenant, que le but proposé est mobile sur une trajectoire;
DB LA DËGLE ET DE l'ÉQUIDRE 213
mais nouB n'examinerons que le cas oli cette trajectoire est rectiligne ; mais nous reviendrons, daua le Chapitre que nous consacrons aux problèmes d'ÂrtiUerte, sur le cas général, celui oîi la trajectoire décrite par le but est quelconque.
Soït la position de l'observateur; un point R est mobile sur un terrain inaccessible, ou très éloigné, mais sur une droite A déterminée par deux points £, F visibles de difTérenis points du terrain qui avoisine le point 0. Effectuons les jalonnements qu'indique la figure et déterminons notamment les points P, Q oh la droite qui va, de l'œil de l'obser-
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Fig. 361.
vateur, au point mobile B, coupe les alignements BD, AG. Une propriété connue prouve que CODE est une ponctuelle harmonique; la ponctuelle QOPB, elle aussi, est donc harmonique. En conséquence, nous avons :
BO OP OQ
On pourra donc, par l'application de la table des inverses, calculer rapidement la distance EO, connaissant les distances OP et OQ,
Dans la pratique, on doit opérer avec deux cordeaux.
2li
divisés en décimètres, de zéro % cent. L'origine de ces cordeaux étant en ; les longueurs OP, OQ sont relevées par une simple lecture faite par ]es aides placés aux points P, Q; un calculateur, muni de la table des inverses, fait la lecture des nombres jr^» — ; une simple soustraction et une
nouvelle lecture donnent la valeur du nombre a:,
œ~ÔP "" OQ*
La distance inconnue est double de la longueur ainsi calculée.
Le principe de cette solution est emprunté au livre de Servois (loc. cit.. p. 62). Nous l'avons seulement modifiée de manière à l'adapter à la pratique de la table des inverses; et, telle que nous la présentons ici, elle nous paraît susceptible de certaines applications. Elle peut notamment permettre d'apprécier, sans calcul, et par la seule lecture des nombres OP et OQ, si le point mobile R se rapproche, ou non, de G.
53. Le problème de la poursuite. — Nous allons enfin supposer que les deux points, dont la distance est
inconnue, sont mobiles, et animés d'un mouvement uniforme.
Sans vouloir déterminer la valeur absolue de la distance des deux points mobiles, on peut demander si cette distance augmente ou diminue. Nous nous occuperons d'abord de ce problème; il se résout très simplement et sans aucun calcul.
Soit A la droite sur laquelle nous supposons un mobile H poursuivi par un autre mobile A. L'observateur, chargé d'étudier les variations de cette poursuite, se place en K, à une certaine distance de A, sur une perpendiculaire a A. De ce point K, avec la fausse équerre, il relève l'angle a sous lequel on aperçoit H et A ; cela fait, ^' il laisse un jalon planté en K. Puis, se
déplaçant en même temps quô H de façon à rester toujours,
avec ce point mobile, sur une perpendiculaire à A, il vient occuper, sur la droite H'K', un point I, tellement choisi qu'il aperçoive encore les deux points mobiles A', H', sous Tangle a, précédemment observé. De ce point I, visant H', puis le jalon laissé en K, il relève un angle <p qu'on pourrait appeler Yangle de poursuite; cet angle, pour les raisons que nous allons donner, permet d'apprécier si la distance des deux mobiles augmente, diminue ou reste constante.
Nous ferons d'abord observer que l'opérateur, dans le mouvement qu'il exécute pour voir constamment les points mobiles sous le même angle a, décrit une droite; en supposant, bien entendu, que les mobiles considérés sont, comme nous l'avons dit, animés, l'un et l'autre, d'une vitesse constante.
Les triangles semblables AHK, A'H'l donnent :
HK^ RK
"" HA ~" hT ~ ha -- H'A''
/désignant une constante donnée, puisque a est supposé
invariable.
On a donc
RK
