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Mais nous ne signalons ce résultat que très incidemment; parce que nous traiterons, avec détails, dans le chapitre suivant, le problème de la distance de deux points inaccessibles.

62. Les solutions par l'équerre ordinaire. -— l^Si la distance AB est peu considérable, et si les points A,B ne sont pas trop éloignés de la partie accessible V, on peut opérer de la manière suivante.

Sur une droite HK, jalonnée sur le terrain V, on détermine les points H,K, projections de A, B, sur cette droite; puis, on jalonne les prolongements HB', HA' des droites AH, BK. Gela fait, on prend le milieu de HK et Ton jalonne encore les prolongements des droites AO,BO; enfin, on achève le tracé, comme l'indique la figure. t\g,i4i.

Cotte construction permet aussij comme on le voit, de déterminer la longueur de AB, car Ton a A'B' = AB. Elle est peutêtre un peu plus simple que celle qui prend pour base la considération des points symétriques de A et de B par rapport aune droite A jalonnée sur le terrain accessible. Voici d'ailleurs cette construction.

2® On détermine, comme nous venons de Texpliquer, les droites HA', KB' qui représenlent les prolongements, dans la

mmèm

partie accessible de HA, et deKB (/l(/.2/^j. Ayant pris, arbitrairement, nn point sur A, on relève, avec la fausse équerre, successivement les angles AOH, BOK; et Ton reporte ces angles, de l'autre côté de A, en HOA' et KOF. Si Ton veut avoir, simplement, la distance AB, on relèvera la longueur A'B'; si Ton veut, en outre, avoir la pat'ig- 2'^. rallèle à la direction AB, il

faudra prendre le point B' symétrique de B, par rapport à

AA'; alors A'B' est parallèle à AB.

3« Supposons que les points A,B soient très éloignés, mais admettons qu'il existe, dans la partie accessible, une droite A

sur laquelle A et B se proj ettent, en H et en K.

Soit G le milieu de 11 K; jalonnons C^ perpendiculairement à HK, et aussi les prolongements GA', GB' des directions GA, GB. Prenons maintenant, sur Gzy un certain point 0, et traçons les alignements OP, OQ parallèles, respectivement à GA', GB'. La droite PQ sera partagée en deux parties égales par Cjs; le segment AB jouit de cette même propriété, relativement au prolongement Ca' de Gz ; finalement PQ est parallèle à AB.

D'ailleurs, si l'on possède, dans la partie accessible, un alignement parallèle à AB, le problème peut être considéré comme résolu.

Fig. 913,

63. La solution par rorthocentre. — Aux solutions par l'équerre, exposées ci-dessus, se rattache une solution

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 227

très naturelle; nous voulons parler de cellequi prend pour base

la considération de Tor-

thocentre.

On détermine la projection B' de B, sur OApuis la projection A' de A, sur OB. On obtient ainsi un point H qui est a* Torthocentre de AOB; par suite OHX est la direction perpendiculaire à AB. En élevant OX', perpendiculaire à OX, cette droite OX' est la parallèle cherchée. ^'^' ^^*'

On peut calculer, bien simplement, la distance du point G à la droite AB, en observant que la ponctuelle 0, I, H, M est harmonique ; on a donc

ÔM "" OH " Ôï* On peut aussi déduire, de cette construction, la longueur de AB, en observant que les triangles OA'B', OAB étant semblables, on a

Dans cette formule, OM' désigne la distance de à A'B'.

Mais, la solution que nous venons d'exposer offre un inconvénient grave; elle exige, en effet, que Torthocentre du triangle OAB soit situé sur le terrain accessible.

Cette condition est réalisée quand Tangle AOB diffère peu d*im angle droit; dans d'autres cas, il peut arriver que H appartienne, au contraire, à la région inaccessible. Bref, suivant un terme que nous expliquons plus loin, cette solution, au point de vue pratique, n'est pas générale. Elle se trouve notamment en défaut lorsqu'on suppose les points A, B très éloignés et Tangle AOB très aigu.

Voici une . construction, conséquence naturelle d'une idée générale, et qui convient à tous les cas. Nous indiquerons.

à ce propos, quelle est cette idée, que nous appliquerons d'ail leurs, dans d'autres occasions.

64. La méthode d'inversion. — Imaginons une figure F formée de points A, B, C. . . (ou de lignes) situés dans une région inaccessible. Dans la partie accessible, choisissons un point 0, qui sera le pôle de la transformation que nous allons effectuer. De 0, visons le point A ; puis, élevons à cette direction une perpendiculaire sur laquelle nous prenons un point M, tel que OM = h; h désigne une longueur arbitraire, mais qui sera la même pour tous les points de F; une simple ficelle, plus ou moins longue, suivant les cas, tendue à partir de 0, dans la direction OM,déterminera nettement ce point M. Avec Téquerre, placée en M, on vise A, et Ton obtient, dans la direction perpendiculaire, une ligne de visée MA'; on jalonne celle-ci; un point A' se trouve ainsi déterminé, sur le prolongement de AO. Diaprés cette construction, on a