Solution de Poncelet. — Le problème actuel a été

envisagé par Poncelet (*) lorsqu'il a traité l'exercice suivant :

Étant donnés un parallélogramme et une droite indéfinie; lui

mener, par un point donné, une parallèle, en ne se servant que de

la règle seule.

On observera d'abord les termes dans lesquels la question est posée.

Au premier abord, ces mois: la règ'e seule semblent faire supposer que le problème en question ressort de la géométrie de

la règle; ce qui ne peut pas être. Mais Poncelet s'accorde, dans le domaine de répure, la présence d'un parallélogramme, comme le faisait Lambert (première partie, § 22) pour résoudre le même problème. Quoi qu'il en soit, nous plaçant au point de vue des tracés ^^J' ^'^- que Ton peut exécuter sur

un terrain, nous revenons ici sur cette question; et nous allons, après l'avoir dégagée do certaines considérations de géométrie supérieure, exposer l'élégante construction de Poncelet. Nous expliquerons d*abord comment on ramène le problème posé à la question suivante :

Deux parallèles A, ^' étant jalonnées sur un teirain, leur menei*,

par de simples alignements, une parallèle, par un point donné M.

Effectuons, dans Tordre indiqué, les alignements i, 2, . . .7;

(*) Voyez : Applications d'Analyse et de Géométrie, par J.-V. Poncelet p. 437.

DB LA BÈtiLE ET DE l'ÉQDKRRB

nous obtenons ainsi un certain point M' : MM' est la droite cherchée.

ËQ effet, MD coupe ÂB en son point milieu G. D'ailleuis. il résulte de la construction que la droite MM' doit couper A' on UD point conjugué harmonique de G, par rapport à AB. D'après cela, MM' est parallèle à b!.

Cette remarque étant faite, nous pourrons considérer le problème qui nous occupe comme résolu par des alignements seuls, si nous pouvons tracer, dans la partie accessible du terrain, des parallèles à la droite inaccessible proposée. Voici la solu-

tiondePoncelet.

Soient 0, 0' deux •• points visibles sur la droite inaccessible. On jalonne les lignes de visée AO,AO'; et on leur mène les parallèles GD, CB. Soit R un point arbitrairementchoisisurAG; les lignes de visée RO, RO' permettent de déterminer les points P, Q ; la droite PQ est parallèle à 00'.

En effet, les triangles semblables RAO, RGQ,

Fig. iW.

d'une part; RAO', RGP, d'autre part; donnent :