AC BA I)A

RC "" BP DQ ' Celte égalité constitue le théorème en question.

3, Théorôme. — Us trois droites AA', BB', CC (*) qui concourent au même point déterminent sur les côtés du triangle ABC, trois points A.\ B\ G qui donnent lieu à la relation

a;b FG G'A___ . ^,..

Les deux triangles BOA, GO A ont la même base OA; leurs surfaces sont entre elles dans le rapport des hauteurs correspondantes, rapport qui est le môme que celui des segments BA', CA',

D'après cela, nous pouvons écrire les égalités suivantes :

Ces relations sont écrites en supposant que le point est situé, comme le représente la figure, à Tintérieur du triangle ABC; dans cette hypothèse, les coordonnées *, p.y sont positives, et les rapports

A'C B'A' C'B sont, au contraire, et conformément à la convention connue, négatifs.

Nous avons donc, après avoir multiplié entre elles les égalités (A),

(*) Voyez la figure 1.

(**) C'est le théorème de Jean de Ceva. Ce théorème fondamental a été longtemps attribué à Jean Bemoulli, parce qu'il a été énoncé et démontré par ce géomètre (Œuvres de Jean BernouUi, t. IV, p. 33) ; c'est sous ce nom qu'il est donné dans l'ouvrage de Servois, cité plus haut. La démonstratloQ que nous venons d'exposer ne diffère que par la forme de celle qui a été donnée par Jean de Ceva dans son ouvrage : De lineis recHs se invicem secantibus stalicj œnstrtictio (in-4% Milan, 1678). Nous avons substitué seulement à l'idée de force^ employée par Jean de Ceva, Vidée desurface.Yoyei : Aperçu historique, p. 295.

DE LA IIÈÛLB ET DE l'ÉQUERRE

A/B Fc g;a

4. Théorème. — Si trois points k\ B\ G situés sur ks côtés d'un triangle ABC donnent lieu à la relation

A/B FC C[A __ A'C • B'A ' G'B "" '' les droites AA', BB', GG' sont concourantes»

Cette proposition, réciproque de celle de Jean de Geva, se démontre sans difficulté ; nous passons sur ce point sans nous y arrêter, parce que nous allons établir un théorème général qui donne, du même coup, dans un cas particulier, le théorème de Jean de Geva et sa réciproque. Voici cette généralisation.

5. Théorème. — Soient A', B', G' trois points quelconques pris sur les côtés du triangle ABC; les droites AA', BB', ce déterminent, par leurs intersections mutuelles, un triangle A'B'G\ dont la surface S est donnée ^ par la formule :

^, Fig. 3.

(i + uvw)* t3~(i -^ Y 4-uv) (i — u + uw)(i — w + vw/ dans laquelle, les quantités u, v, w représentent, en grandeur et en signe, les rapports

a;b FC g;a

A'C B'A' G'B' Calculons d'abord, au moyen des quantités données ti, V, w, Ja surface des triangles