BA'G __ V

S " On trouve, pareillement,

CFA

et AC'B = . . .

i -\- u -\- uv

Si, maintenant, nous observons que

S = S — BA"G — CB^A — AC'B, nous avons enfin, pour Fexpression de S, en fonction de u,?;, ir: S u V w

S , i-j-u + Mi; 1+^4" ^'^ \ -j- îv -\- uw '

En réduisant les diverses fractions qui constituent le

second membre, au même dénominateur nous trouvons, tout calcul fait,

S ( I — uvfry

S ( I + ^ + w^) ( I + V + ^'^') ( I + w; + uiv) Dans cette égalité, les nombres w, v, ti; sont pris en valeur absolue ; en tenant compte des signes, et en se conformant à ceux qui résultent de la figure ci-dessus, on doit changer 14, V, Wy respectivement, en — u, — r, — tv et l'on a bien la formule annoncée.

6. Remarque. — L'égalité (3) donne, parmi les conséquences qu'elle entraîne, le théorème de Jean de Ceva et sa propriété réciproque.

Si Ton suppose que les droites AA, BB', GC soient, concourantes, on a S = o; et, par suite, uvw = — i. Réciproquement, si, dans cette égalité, on suppose uvic = — i, on a S = o ; les droites AA', BB', GG' sont donc concourantes.