A'C • B'A ■ CB

Abaissons sur A, des sommets du triangle Â6C, des perpendiculaires Ao, B6, Ce; nous avons

A'B B6 FG Ce . Ç^A Aa B'A ~ Ao' G'B ~ B6'

A'C Ce Ces égalités eutrainenl la suivante

Ce théorème, comme on le sait, est attribué à Ménélaiis (*).

(•) Ménélaûs, géomètre grec (v. 80 après J.-C; Spherica, t. JU, p. 1;. On connait de lui deax ouvrages; l'un qui était relatif au calcul des cordes et qai a été perdu; l'antre intitulé le$ Sphériques, dans lequel se trouve comme lemme la propriété en question.

Ce théorème, si justement célèbre, était bien connu des anciens. On le trouve encore dans VAlmageste de Ptolémée et dans le VIII' livre des œuvres de Pappns. (Voyez: Cbasles, les trois livres des Porismes d'Euclide, p. 107.) Chasles dit à ce propos [loc. cit.] : « Il y a lieu de penser qu'Euclide lui-même faisait usage du théorème, et que c'est par cette raison que Pappus ne fait pas difficulté de l'employer dans ses lemmes, sans le démontrer .> Chasles fait allusion ici aux trente-huit lemmes de Pappus qui ont servi k Simson d'abord, à lui-même ensuite, à rétablir, avec une certaine probabilité, les trois livres des Porismes d'Euclide.

Nous dirons ici, à cette occasion, que, si ingénieuse que soit la reconstitution des livres en question, telle qu'elle a été faite par Simson et par Chailes, cette longue suiie de propositions ne nous parait offrir qu'un intérêt scient!-

ESSAI Sun LA GÉOMÉTIUE

Sa réciproque est vraie et donne liea à de nombreuses con séquences. Mais, sans reproduire la démonstralion très connue qui établit cette réciproque, nous allons, à Timitation de ce que nous avons fait tout à l'heure pour le théorème de Jean de Ce va, donner un théorème plus général que celui de Ménélaûs et, de ce théorème général, nous déduirons, dans un cas particulier, la proposition de Ménélaûs et sa réciproque.

8. Théorème. — Si Con prend trois points A',B',G' sur les côtés d'un triangle ABC, et si Ion pose

la surface a du tnangle A'B'C est donnée par la formule

<5 I — UVW

Considérons les dcuxtrianglesAG'B', ABC; ils ont un angle commun et nous pouvons écrire AC'B' KG . AB'

ou