AB = A'B

OA'.OB'

2o4 ESSAI SUR LA GÉOMÉTRIE

On observera, d'ailleurs, qu'en prenant pour base une droite 00', suffisamment courte, les longueurs Ok\ OB' seront aussi petites que Ton voudra; les jalonnements qu il faudra faire, pour mesurer les distances qui entrent dans l'expression de AB, seront donc aussi restreints que l'exigera l'espace accessible, sur lequel on doit opérer.

78. Solution par l'équerre ordinaire. — Parmi les solutions, très nombreuses, qu'on peut appliquer au problème

actuel, en utilisant l'équerre ordinaire, nous exposerons seulement la suivante, d'une simplicité remarquable.

Imaginons deux pôles fixes 0, 0'; à un point M, pris dans la figure inac cessible, faisons correspondre un autre point fx, en élevant fxO, {xO' respectivement perpendiculaires à MO, MO'. Si le point [x se trouve placé dans la région accessible, on pourra, par ce procédé, base d'une transformation quadratique et réciproque, construire une figure accessible; puis, des mesures effectuées sur celle-ci, déduire les dimensions des lignes inaccessibles considérées. Cette correspondance des points M, (X, il est bon de Tobserver, offre bien le caractère pratique indispensable aux constructions que Ton doit exécuter sur le terrain. En effet, après avoir fixé deux jalons en w, cd' sur les directions 0(x, 0'(x, il suffit, pour déterminer la position de [x, de planter un troisième jalon en ligne droite avec : 0, w, d'une part; 0', cd', d'autre part. Or, tout cela constitue une opération des plus simples; la transformation en question peut, par conséquent, donner lieu à de nombreuses applications, dans la géométrie pratique. Nous aurons occasion de l'utiliser plus loin (chap. XI) à propos de la détermination de la base d'essai pour la mesure de la vitesse des bâtiments; pour le moment, voici comment elle permet de résoudre le problème qui nous occupe. Nous supposons, pour signaler le cas oli la méthode actudle s'applique avec le plus de succès, que le prolongement du

segment MM' considéré, pénètre dans la partie accessible. Nous prenons alors, pour pôles de transformation, un point de ce prolongement, et un autre point, arbitraire, 0'.

On observera que, dans cette transformation des figures, les projections des points correspondants M, (x sur la ligne des pôles 00' forment, avec ces points, une ponctuelle îsotomique. En effet, le quadrilatère OMfjLO' est inscriptible à une circonférence ayant pour centre le milieu de Mjjl; par suite, la projection des points M, (JL se fait, sur 00', à égale distance des points 0, .0'. De celte remarque, découle immédiatement la suivante : les projections des segments correspondants MM', [xu.', sur 00', sont égales.

Traçons par M, / des parallèles à 00'; puis, par M', tx des perpendiculaires à cette même direction 00'. Nous formons ainsi deux triangles MM'H, {xjx'K qui ont leurs côtés perpendiculaires, deux à deux. Nous avons donc la relation

MM' MH

mais MH = {x'H,

donc, MM' = fxfx' . '^ •

(xK

En prenant le point 0' de façon que l'angle M'OO' soit suffisamment voisin de 90°, on poarra, avec une base 00', relati vement petite, mesurer des di stances telles que MM', beaucoup plus grandes. Tout revient donc, comme Ton A'oit, à mesurer les trois côtés d'un triangle (xix'K, facile à déterminer ; aussi, croyons-nous pouvoir signaler cette solution, comme particulièrement simple.

Nous terminerons ce chapitre en nous proposant Texamen du cas intéressant où les extrémités du segment inaccessible sont invisibles.

79. La distance des deux points invisibles. — Supposons, pour mieux préciser le caractère pratique du problème que nous abordons ici, que A, A' représentent deux routes rectilignes, bifurquant en un certain point 0, invisible. La même hypothèse étant faite pour 0', point de concours des droites S, 8' ; on peut alors demander : 1® de déterminer,

KSSAI SUR LA GÉOMÉTRIK

sur la droite AB, le point où elle est rencontrée par 00';

2® d'évaluer la distance 00' et de jalonner celte droite.

Prenons, sur AB, un ^ point arbitraire E, suffisamment rapproché de A, pour que les jalonnements puissent être effectués rapidement. Après avoir mené ^' EG, ED parallèles, respec-

^^- ^^^- tivement, à A et à S', la

droite CD indique déjà la direction de 00'.

Pour avoir le point de rencontre de 00' avec AB, il suffit de construire, comme l'indique la figure, le point K, homologue de F; la parallèle à CD, menée par K, est la droite cherchée. Enfin, la longueur inconnue 00' est donnée par la formule