L'aire du triangle inaccessible. — La méthode

cartésienne- Lorsque les côtés du triangle considéré ABG ne sont pas trop considérables ; si, en outre, les sommets ne sont pas très éloignés du terrain où l'on opère, la méthode cartésienne s'applique remarquable- Fig.253. ment bien à la

détermination de l'aire de ce triangle.

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 26S

Après avoir tracé deux alignements rectangulaires Ox, Oy, on détermine avec Téquerre ordinaire, les projections des points A, B, G sur ces axes. Ayant relevé, au moyen de la chaîne, les longueurs Oa, 06, Oc;Oa', 06', Oc'; Taire cherchée S est donnée par la formule connue (*).

Oa Oa' I

06 06' I Oc Oc' I

88. L'aire du polygone inaccessible. — On peut généraliser cette méthode et l'appliquer à la détermination de Taire d'un polygone quelconque, A^A,. . . A„, supposé inaccessible.

Dans ce cas, on a (**)

Oa, 06i

Oan 06„ Oa, 06^

Oa, 06, Oa, 06,

Dans la pratique, cette formule est commode parce qu'elle est générale et toujours applicable, quelle que soit la disposition des sommets du polygone. On sait comment Taire du polygone se ramène à celle du triangle, en la décomposant en triangles; mais, pour les polygones inaccessibles, il peut se présenter une difficulté, résultant de ce fait que les triangles considérés doivent être^ tantôt ajoutés; et, suivant les cas, tantôt retranchés. Or, pour des figures inaccessibles, il n'est pas toujours facile de distinguer le premier cas, du second. En employant la formule (A), on évitera cette difficulté.

La construction précédente ne peut être employée que si les points A, B, G ne sont pas très éloignés du terrain sur lequel on peut opérer ; elle n'est pas générale. Il nous reste donc à traiter, par des moyens plus pratiques, le problème des aires inaccessibles.

89. idre du triangle inaccessible. (Solutions diverses.) — 1® Supposons d'abord qu'un seul sommet G du triangle

(*) On pourrait assurément se passer ici de la notation des déterminants; mais nous radoptonft pour éviter toute discussion sur les signes dont il faut afiecter les produits : Oa, 06% etc., dont la iomme algébrique fait connaître la valeur de S.

(**) Cours de mathématiques spéciales; t. II; p. 75.

266 KSSAI SUH LA GÉOUÉTRIE

soit accessible. Jalonnons un alignement A, passant par G,

et prenons les réciproques A',B' des points A, B. par rapport

à A. Avec la chaîne, nous pourrons relever les longueurs

«B Ga = a, A'a = a' ;

G? = fr, B'p = b\

Désignons aussi par u et v les

distances inconnues Aa, B^; nous

avons

a* = ua\ 6* = vb'.

D'ailleurs

ACB = ABa.6 - AGx - BGp.

Par suite.

ACB = (a

au bv

av + bu

Ftg. 254.

ou finalement,

2 \a bj

Gelte solution s'applique particulièrement bien au cas où les sommets A, B sont très éloignés, lorsque la projection de AB, sur A, est relativement faible ; car, dans cette hypothèse, les chaînages nécessaires se font sur de petites longueurs.

Lorsque les trois sommets sont inaccessibles, comme dans la fig. 235^ on peut prendre, sur la ligne de séparation A, un point 0, arbitrairement; puis observer que

ABG = OBG - OAB - OAG.

^ -^/^ Mais ce procédé offre quelques Ion- ,^ -"^ /' gueui:s et il est préférable d'attaquer ST / '' le problème par des méthodes plus

\ \ / / directes, comme celles que nous

allons indiquer.

2® Supposons donc, pour nous placer dans le cas le plus difficile, les trois sommets inaccessibles, et jalonnons une droite A rencontrant les Ftgr. 255. lignes de visée AC, AB en des points

P, Q. Effectuons maintenant la construction qu'indique la /îff. 2m et qui nous a déjà servi (§§ 6S et 80),

DE LA RÈGLE ET D£ l'ÉQUERRE 267

Nous allons montrer que le triangle POQ est moyen proportionnel entre ABG et ROS.

Les triangles semblables ÂBP, POR, d'une part; GAQ, QOS, d'autre part; donnent :

ÔP