AB.AC AP.AQ

'^OP.OQ ~ OR. os' D'ailleurs, la figure APOQ étant un parallélogramme; donne donc AP = OQ, AQ = OP.

La proportion (1) prouve donc que AB.AG OP.OQ

OP.OQ "" OR. os' ' ABG POQ

POQ ROS

Fig. 256,

La détermination de Taire inaccessible ABG est ainsi ramenée à celle des aires accessibles POQ, ROS. Le problème qui nous occupe se trouve donc résolu par ^a

une méthode présentant des conditions pratiques très acceptables, si Ton peut approcher suffisamment près de Tun des points inaccessibles. En effet, la figure PQRS, quelles que soient les dimensions de ABC, est aussi petite que Ton veut ; du moins, si Ton opère dans le voisinage du point A.

3® Lorsque les points A, B, G sont, tous les trois, très éloignés ; on peut i.

néanmoins appliquer la méthode précédente, en la modifiant comme nous allons l'expliquer.

On détermine d'abord les directions 5, 8' des ligues AB, AG; puis, sur une droite A, avec la fausse équerre, on détermine les points P, Q tels que GP soit parallèle à $' et BQ à î. En

Fig. 237.

cherchant (par le procédé indiqué tout à l'heure, par exemple) Taire du triangle A'BC, on aura celle de ABC. Or, plus le point A est éloigné, plus le point A' se trouve rapproché de la région accessible; condition favorable, comme nous l'avons observé, à Tapplication de la méthode à laquelle nous venons de faire allusion.

90. Solution générale.— Mais aucune des solutions précédentes ne résout complètement la question précédente, lorsqu'elle est posée dans les termes suivants: Un triangle inaccessible^ de dimensions qtielconqueSj dont les sommets supposés visibles peuvent être très éloignés, étant considéré; trouver Faire de ce triangle, si restreint que soit le terrain accessible.

Première solution. — C'est à la méthode d'inversion que nous aurons d'abord recours pour résoudre le problème qui, dans ces conditions, offre, au point de vue pratique, certaines

difficultés.

Nous avons expliqué pré- \ , cédemment, et la figure 2o8

rappelle la construction à laquelle nous faisons ici allusion, comment, un point A étant visible, on déterminait le point inverse .A', de telle sorte que OA.OA' ^ h\ Soient, de môme, B*^ et C les inverses des points B, C ; nous aurons, d'abord, OA.OA' = OB. OB' = OG.OC = h\ Les triangles OAB, OA'B, ayant un angle égal, donnent

OAB OA.OB h'

OA'B' "■ OA'.OB' " ÔF^ÔW^' On trouve, de même :

OBC h' OGA h'

OB'C "~ ôW'Ôâ^ '

Fig. i58.

OGA' OG^Âô'* '

Mais on a donc

DE LÀ RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE

ABC = OAB -h OBG - OAC;

ABG=.

, , , . OC''.OA'B'+ OA '^ OB'C- OB'KOAfC J.

UÂ^.OB'^OC'^

Cette formule résout la question posée. On observera que,

en prenant h suffisamment petit, la figure OA'B'C est

aussi petite que Ton voudra, la solution indiquée est donc

générale; aucune difficulté matérielle ne peut empêcher

sa réalisation, si les points A, B, G considérés sont visibles,

à la fois, d'un point convenablement choisi dans la région

accessible.

Seconde solution. — La solution que nous allons maintenant exposer est certainement plus simple ; mais elle exige la connaissance d'une formule précédemment établie {Première I^rtk, § 8).

Soit ABC le triangle proposé ; nous le supposerons d'ailleurs aussi grand et aussi éloigné que Ton voudra.

On observera d'abord que, un point A inaccessible, appartenant à une certaine droite PQ, étant considéré, il est très facile d'obtenir le conjugué harmonique de A, relativement au segment PQ. Il suffit, en effet, de jalonner mm\ parallèlement à OA et, avec un cordeau, de prendre m', milieu de mw\ Om' va couper PQ au point cherché A'.

^ela posé, voici quel est le principe de la méthode en question.

Jalonnons, dans la région accessible, trois alignements quelconques ^y, ya, aj3 passant respectivement par les points A, B, U; puis, déterminons les points A', B', G', conjugués harmoniques de A, B, G, sur les segments Pf, ^^' ^^^• Y«î *p. On connaît alors la valeur de chacun des rapports u^v^w:

A6 B Y Ca

lesquels sont égaux, respectivement, h :

Ay Ba

Gp G^

Il n'y a plus alors qu'à appliquer la formule, rappelée tout à l'heure,

aire ABC = aire aSy r •

(i — w)(i — v)(i —tv)

La construction indiquée pour déterminer le triangle A'^B'C

comporte une vérification intéressante parce que les droites B'A', G'B',

; / A'C passent respectivement par G,

\ : y'' Remarque. — Dans le cas où l'aire

inaccessible est enclavée dans la région accessible, on pourrait utiliser le théorème établi au paragraphe 5 de la première partie. Mais, dans un pareil cas, les espaces inaccessibles considérés étant de faible Ftg. %Q0, étendue, la méthode élémentaire, bien

connue, résout la question avec plus de simplicité. Nous rappelons seulement que cette méthode consiste à envelopper la partie inaccessible d'une ligne polygonale 9, choisie aussi simplement que possible ; on calcule l'aire inaccessible en retranchant, de Taire du polygone considéré, celle de la partie comprise entre d et la périphérie de la région inaccessible.

91. — Examen du cas où les trois points ne sont pas visibles simultanément. — Ce que nous avons dit, en terminant l'exposition de la première de deux solutions développées au paragraphe précédent, nous conduit à l'examen d'une difficulté. On peut supposer que les trois points, sommets du triangle inaccessible, ne sont pas visibles, à la fois, pour l'observateur se déplaçant dans la région restreinte d'où il ne peut sortir. Nous allons montrer comment on pourrait opérer, dans ce cas.

On voit d'abord que toute la question est ramenée à celle-ci : Un point A est supposé inaccessible; de pluSy il est invisible pour V observateur placé en 0; trouver l'inverse de A, par rapport à 0.

Soient 0' et 0' deux points d'où l'on aperçoit A; on peut

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE

d'abord déterminer les inverses a, a' de A, parrapport aux pôles 0' et 0'; on peut aussi, bien que A ne soit pas visible du point 0, jalonner par les procédés que nous avons fait connaître (§, 32 fig. 170) la direction Oz de la li gne de visée OA, ligne qu'on ne peut obtenir directement, puisque A est caché par Tobstacle U.

Cela posé, le théorème de Stewart (*), appliqué au triangle AO'O", donne

Fig. W.

Mais AO'.OV = AO.OA' = AO'.O'a = A»; et, par conséquent,

o'o' 00' 00' oo^oo^o'0''

A'O^ 0"*' ôct" ^'

Cette égalité permettra de calculer A'O; par suite le point A' se trouve déterminé.

Remarque. — Le plus souvent on pourra prendre h assez grand pour que l'observateur placé sur la droite Oz' perpendiculaire à Ojs, puisse apercevoir le point A; dans ce cas, la détermination de A' se fait par un coup d'équerre. Mais cette solution est soumise à objection, si Ton exige que h soit très petit ; condition que nous nous sommes imposée en abordant, tout à l'heure, la solution générale. La détermination de OA', telle que nous venons de l'indiquer, peut, au contraire, être effectuée, si petit que soit h\ de là, malgré sa complication, l'intérêt que comportent les développements du paragraphe présent, intérêt qui n'apparaîtrait peut-être pas immédiatement, sans cette explication.

(•) Matthew Stewarl's (Some gênerai Theorems of considérable use in the higher parts of MathematicSj 1746, prop. II).

02. Distance d'un point inaccessible A, à une droite A, inaccessible. - Première solution. — On suppose que A est déterminée par deux points 6, G, visibles, mais inaccessibles. On détermine : 1® la longueur BG ; ^ Taire S de ABG. Gela fait, la distance inconnue z est donnée par la formule