BG

Seconde Solution. — On trace, dans la région accessible, une droite A' (fig. 262} parallèle à A. En mesurant, par Tun des

Bè

Fig. 262. Fig, S63.

procédés que nous avons fait connaître, les distances GH' et AH ; leur différence donne la longueur cherchée.

Nous supposons que le prolongement de A ne pénètre pas dans la région accessible ; autrement, la difficulté que nous venons de résoudre n'existerait même pas. En déterminant la projection A', de A, sur la ligne perpendiculaire à A, la longueur A'H (fiq. 263) est égale à la distance demandée.

93. Déterminer le point de concours de deux droites inaccessibles. — Deux droites A, A' déterminées, chacune, par deux points visibles :

A, a, pour A; B, p, pour A';

étant inaccessibles, on propose, par un point donné 0, de jalonner un alignement allant concourir au point w, commun à ces deux droites ; on demande, aussi, de calculer la longueur Oo).

Ayant visé, du point 0, successivement, un point A de A et un point B de A', on pourra jalonner, dans la région accessible, les prolongements Ox, Oy de ces deux lignes OA, OB. Soil

DE LA rvÈGLK ET DE l'ÉQUERRE 273

A'B' une parallèle à AB tracée, bien entendu, dans cette même région. Cela fait, on déterminera, par les constructions qui ont été utilisées pour obtenir A'B', les droites S, V parallèles à A et à A' et passant respectivement par A'et parB'. Les triangles toAB, (o'A'B' étant homothétiques, les droites qui joignent les sommets homologues sont concourantes, ww' passe donc par le point 0.

Après avoir déterminé la direction Oo), si Ton veut avoir cette distance, on observera que

Oco =

OA'

Fig, 264.

11 suffit donc, pour connaître Ow, de calculer, comme nous savons d'ailleurs le faire, la distance du point au point inaccessible A.

Cetle solution est générale, parce que la figure Oo/A''B' est aussi petite que Ton veut.

94. Les trois droites inaccessibles. — La figure constituée par trois droites inaccessibles soulève divers problèmes; mais, pour nous borner, nous envisager seulement le cas ou les trois droites sont concourantes.

Nous supposons donc que Ton considère trois droites inaccessibles A^, Aa, Aj chacune d'elles étant supposée déterminée par deux points visibles. Dans ces conditions, on propose : 1*^ de reconnaître que ces droites sont concourantes ; 2** de déterminer les angles qu*elles font, à deux deux.

Cette seconde partie (que les droites en question soient, ou non, concourantes) peut être considérée comme déjà résolue,

(j. DE L. — GÉOMÉTRIE DE LA RÈGLE. 18

puisque nous avons appris, précédemment, à mener, sur le terrain accessible, des parallèles à des droites inaccessibles. Nous nous bornerons donc à Texamen de la première partie.

1® Supposons d'abord, pour envisager le cas le plus facile, que les prolongemenls des droites A^, A,. A, pénètrent dans la partie accessible du terrain. Ayant mené, par un point A, de Aj, des parallèles AB, AG aux droites A^, A3; siBCest partagé par Aj, au point A', en deux parties égales, les droites considérées sont concourantes.

¥ig, %B6,

Fig, n7.

Mais cette solution, que nous avons déjà utilisée dans le problème des percées concourantes, est, pour le cas présent, peu pratique, parce qu'elle nécessite des opérations exigeant une certaine étendue de terrain. En voici une autre qui nous parait moins compliquée.

D'un point A, pris sur Ag on abaisse des perpendiculaires

AC, AB sur A^ et Ag; si les angles 1 et 2 sont égaux, les trois droites concourent.

Le lecteur trouvera d'ailleurs, sans aucune peine, d'autres solutions de ce problème très simple; et, sans y insister davantage, nous allons examiner certains cas offrant plus de

difficultés.

â^Imaginonsi pat* exemple, que le prolongement de A,, seul pénètre dans la région accessible.

Par un point 0, pris sur le prolongement de A„ on mènera

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE US

des droites 8|, 03 parallèles à A^ et à A3 ; on appliquera ensuite, aux trois droites 8,, 83, etOA, Tune ou Tautre des vérifications indiquées tout à Theure.

3® Admettons enfin qu'aucun des prolongements des droites considérées ne pénètre dans la région accessible, ce qui conslitue le cas le plus général.

Si Ton peut viser, d*un certain point de la région accessible : lespoinlsAi, A2, A3, d'une part; B,, Bg, B3, d'autre part; en ligne droite avec ce point 0, et respectivement placés sur les droites A^, A,, A3, ou pourra calculer les distances de à ces différents points et l'on devra vérifier que les rapports anharmoniques (0, A^k^k^), (0, B^BaBj), sont égaux.

Gomme il serait pénible de calculer toutes ces distances, OAi, OAj • . .; OBi, . . ., on simplifie l'opération en visant, de deux points 0', 0", arbitrairement choisis d'ailleurs, les points Al, A„ Ag-, Bi, Ba, B3, et l'on coupe ces lignes de visée par deux transversales quelconques OXj Oy,

On a:

(0, A,A,A,) = (0, a,a.a,) ; et (0, B^B.B,) = (0, p^fi.P,).

Par suite, si Aj, Aj, Aj concourent,

Ainsi les droites considérées concourent si les droites a^pi.

»«P«» «aPs concourent ellesmêmes; et réciproquement.

Onpeutfaire, Fig. 268.

à cette solution, une objection : les points A^ et A3 visibles sur A,et A3, peuvent n'être pas en ligne droite avec un point visible de A ^ . Le problème que nous allons traiter, dans le paragraphe suivant, répond à cette objection et permet de considérer la solution précédente comme étant générale.

KSSAI SUn LA GÉOMÉTUIE

95. Déterminer le point de rencontre d'une ligne de visée avec une droite inaccessible. — Voici dans

quels termes doit se poser la ques- .'^ tion que nous venons de soulever.

Soit Aj une droite inaccessible, déterminée par deux points visibles A,B. D*un point pari une ligne de visée A, et cette droite coupe AB en un point invisible K :

on veut pourtant, d'un point donné 0', viser ce point K.

Jalonnons une parallclc à AB sur le lerrain accessible; O'K rencon-

Fitj. 269.

tre cette droite en un point J; et nous avons