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JC " DÏ '

Cette égalité permet de déterminer la position du point J; et, par conséquent, de fixer la position de la ligne de visée O'K. Cette détermination peut d'ailleurs s'effectuer, sans chaînages et sans calculs, par de simples alignements.

En quittant cette étude des figures inaccessibles nous devons faire observer qu'elles donnent lieu à beaucoup d'autres problèmes. On peut, par exemple, proposer de reconnaître que quatre points visibles, mais inaccessibles, sont situés sur une circonférence ; ou demander Taire d'un triangle dont les côtés sont inaccessibles et les sommets invisibles, etc.. Mais nous ne pouvons nous étendre ici plus longuement sur ce sujet. Il suffira d'ailleurs, pour résoudre ces diverses questions, d'appliquer les idées générales que nous a ?ons exposées, notamment celles qui ont trait à la transformation, par les diverses méthoJes indiquées plus haut, des figures inaccessibles.

96. La méthode de M. Lemoine. — Nous indiquerons encore, en terminant ce chapitre, un procédé du à M. Emile Lemoine et qui permet de déterminer les aires et Icâ distances inaccessibles.

DE LA UÈGLE ET DE LÉQUERRE 277

Soit ABC le triangle considéré; prenons trois points M^, M,, M3 d'où nous puissions abaisser des perpendiculaires sur ses côtés prolongés ; soient a^, Pi, Yi ; a^, p^. y^ ; aj, p. y, ; les coordonnées normales de ces points.

En désignant par S Taire de ABC, nous avons :

aa^ + 6p4 + cyi = 2S,

(0 aa^ + bp^ + CYa = 2S,

a^s + &p3 + CYa = 2S.

Posons

Wi« =

'PiYi

«iiYi

«2IÏ2

Les équations (1) résolues par rapport h a, b, c donnent

Mais on sait que

Substituons, dans cette égalité, les valeurs de a, 6, c données par les formules (2) ; il vient m* = S*(ma + m^ 4- ni^)(rn.^ + m^ — ?Ai„)(m,,+ m — m^im^-hm^—m^) .

Celte formule permet de calculer Taire du triangle inaccessible ABC, si Ton peut mesurer les quantités a^, Pi,Yi; ^2, pa, Yîî *8> Ps> Ya* -l^^s égalités (2) feront ensuite connaître les longueurs a, 6, c des côtés du triangle ABC, si Ton veut les déterminer. En posant

K«=:(ma+m?+mv)(mv+m,e— m«)(m«+m —m^)(mp-hm^—mJ), les formules trouvées devioaneot

m* = SK,

2mm«

27nm<i

2mm

Cette méthode est fort ingénieuse, mais elle n'est pas générale (daus le sens que nous donnons à ce mot, dans cet ouvrage) parce qu'elle exige, conformément à Thypothèse faite plus haut, que les prolongements des côléâ du triangle ABC, pénètrent dans la région accessible; condition qui ne sera pas toujours vérifiée.

CHAPITRES IX et X

LES PROBLÈMES d' ARTILLERIE

Le tir de projectiles à de grandes distances et la guerre des sièges soulèvent plusieurs problèmes dont la solution ressort de la géométrie qui nous occupe. Nous nous proposons d'examiner un certain nombre d'entre eux.

Au premier abord, on sera sans doute porté à ne voir, dans les développements qui suivent, que de simples jeux de l'esprit; quelque chose enfin, daus le domaine géométrique, d'assez semblable aux récréations mathématiques de l'Arithmétique. Certes, ce jugement serait exact, de tous points, si l'on devait considérer uniquement les manœuvres exécutées par l'artillerie, en un jour de combat. En pareil cas, les théories ne sont pas à leur place. Mais on voudra bien accorder que le rôle de l'artillerie est plus étendu. Ainsi, il peut arriver (la dernière guerre n'en a-t-ellepas fourni plusieurs exemples?) que deux armées, dont l'une est enveloppée par l'autre, restent longtemps en présence. A d'autres moments, l'artillerie peut être appelée à entreprendre, ou à soutenir, des sièges de longue durée; à cerner des forts; à surveiller les côtes, ou à grotéger certains passages, etc.

Alors, les problèmes que nous allons traiter, même envisagés au point de vue pratique, ne paraîtront peut-être plus aussi frivoles qu'à la première vue; et des cas pourront se produire où les solutions que nous allons exposer rencontreront des applications intéressantes.

97. L'établissement du fort central. — Trois points A, B, C donnés représentent des positions qui doivent être protégées par un fort; il s'agit de déterminer l'emplacement de celui-ci de façon qu'il commande également bien les trois positions données. En d'autres termes, on propose de fixer la situation du centre du cercle circonscrit à ABC. Ce point obtenu, il restera, bien entendu, à comparer les distances OA = OB = OC, avec la portée moyenne des pièces,

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 279

pour vérifier que la position trouvée, pour le point 0, n'est ni trop éloignée; ni, ce qui peut être un inconvénient d'une autre nature, trop rapprochée.

Premier cas. (Les points A, B, C sont accessibles.) — Bien que les points donnés soient supjiosés accessibles, il ne saurait être question de résoudre le problème actuel en élevant des perpendiculaires aux milieux des côtés AB, BC, CA ; ces droites ont des longueurs beaucoup trop considérables, pour qu'il soit possible, en général, de trouver commodément leurs \ points milieux. Il y a donc là , on le comprend, une certaine difficulté, de Tordre pratique ; voici comment on peut la résoudre. Fig. ^70.

Élevons A^perpendiculaire à AB; et, avec la fausse équerre, relevons Tangle CA^ ; en transportant Tinstrument successivement aux points B, C, on pourra jalonner deux droites BO,

GO formant avec BG des angles i', i", égaux à Tangle i. Ces droites concourent au poiat cherché.

On observera que la construction précédente comporte uno vérification très utile puisque Ton peut reproduire, de deux autres façons, le tracé indiqué en remplaçant successivement; A, par B ; puis par G.

Quant à la distance OA, elle est trop considérable pour être trouvée par un chaînage direct. On l'obtiendra, en considérant le point A comme inaccessible, et en déterminant OA par Tune des méthodes que nous avons indiquées au chapitre VI.

Deuxième cas. (Les points A, B, G sont inaccessibles.) — Imaginons par exemple que l'on veuille établir, au bord de la mer, un fort dont les feux commandent trois îlots voisins A, B, G; on peut demander de placer ce fort à la même distance de ces trois points.

Pour déterminer le point central; on tracera d'abord, dans

la partie accessible, une droite AA' parallèle à AB (Chapitre

VII). Autant que possible, pour éviter des jalonnements trop longs, on cherchera à placer A A' dans le voisinage du point inconnu. D'un point P, pris sur A A', arbitrairement d'ailleurs on vise les points A, B; et, après avoir jalonné les lignes de Fig. «//. visée PM, PM', on

relevé avec la fausse équerre Tangle APB. On se transporte ensuite sur AA' jusqu'à ce qu'on trouve un point Q d'où l'on aperçoive AB sous un angle AQB = APB ; puis, on jalonne de nouveau les lignes de visée QM, QM', on obtient ainsi une droite MM' qui va passer par le point inconnu. En reproduisant, avec AC, les constructions que nous venons d'indiquer,

on déterminera une seconde droite qui coupera MM' au point cherché.