Déterminer la nature de la trajectoire du

^— ^ but mobile.

— Soient : 0, le centre de la batterie; 0', un poste d'observation, aussi rapproché de O qu'on le voudra; M, le point mobile qu'on veut observer.

Ayant relevé, avec la fausse ô\ ^^y- ^^^' équerre, l'an-

gle MOO', jalonne, par un relour d'équerre, la ligne OZ telle

\3Cy

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUE^RRE 297

que 20l7~= MOO'; le prolongement de MO' rencontre OZ en un certain point fx. Si fxse meut sur une droite 8; M est, luimême, mobile sur une droite D.

Plus généralement, bien que cette derniëre remarque n'ait aucun intérêt pratique, les points M, a, se correspondant ho m ologiquement, décrivent deux courbes de même ordre.

Mais il faut, c'est toujours le point délicat dans ces sortes de problèmes, déterminer la distance du point fixe au point mobile. Nous supposerons, dans ce qui suit, que le déplacement du but ait lieu en ligne droite; c'est ce qui se produit le plus ordinairement et ce cas offre, seul, assez de simplicité et d'intérêt, pour être examiné ici.

111. La distance au but mobile. — Pour évaluer, rapidement, la distance OM, observons d'abord que les quatre points 0", |x, 0', M forment une ponctuelle harmonique; il en est de même de la ponctuelle formée par leurs projections 0, P, 0', Q, sur OX. Nous avons donc

00' OP OQ

ou, en remplaçant, dans cette relation homogène, 00', OP, OQ par des longueurs proportionnelles OR, 0(x, OM,

^ ^ Oj^ "*"0M ~" OR*

On imaginera donc un cordeau divisé, fixé en 0, à Tune de ses extrémités; un observateur se déplace, en même temps que M, de façon à rester sur la ligne MO' et sur la droite 8 qui correspond à celle sur laquelle se déplace M, droite déterminée par deux observations particulières. Cet observateur n'a plus qu'à lire, sur le cordeau, la distance O'x; puis, un aide calcule OM, d'après la formule (1); s'il possède une table des inverses, le calcul peut être fait, mentalement, avec la plus grande rapidité.

Le cas particulier où le but mobile M se dirige en ligne droite vers le point mérite d'être signalé. Dans ce cas, OZ est une droite fixe, et l'observateur (x na qu'à se transporter sur OZ, en restant en ligne droite avec le jalon fixé en 0', d'une part, et le but mobile, d'autre part.

112, L'ouvertura du feu. — Imaginons qu'un vaisseau ennemi M, soit en vue, du point 0, centre d'une batterie ; on connaît la portée maxima h, des pièces à feu de cette batterie, et l'on voudrait savoir, d'abord, si le bâtiment observé 8'a\ance à portée du tir; on veut aussi, dans ce cas, délermioer le moment favorable à l'ouverlure du feu; dé façon à surprendre le vaisseau, à Tinstant précis où les projectiles peuvent le toucher.

Nous distinguerons différents cas; suivant que la trajectoire rectiligne suivie par M est dirigée vers 0, ou est parallèle à la côte, ou, enfin, est quelconque.

l"Lelongdelaplage,jalonnons une droiteOZsurlaquelle nous établissons, en 0', un poste d'observation. Prenons, par un retour

de la fausse équerre, comme nous l'avons fait àplusieurs reprises, l'alignement OX, symétrique de OM par rapport à OZ. Soit (X le point de rencontre de OX avec le prolongement de MO', Gomme nous l'avons remarqué tout à l'heure, nous avons

Fif/. %9l.

OM 0(x OR

Soit M la position du bâtiment au moment oîi il pénètre dans le champ de tir ; on a OM = h. La relation précédente permet de

calculer 0|x. Un observateur placé en (x attend le moment où le point mobile vient se placer sur le prolongement de [xO' ; et, à cet instant même, donne le signal convenu.

Les constructions nécessaires, si grande que soit la distance h, peuvent se faire dans le voisinage de 0; puisque la base 00', étant arbitraire, peut être choisie aussi petite que l'exigera le terrain sur lequel on peut opérer.

Le problème devient plus difficile, lorsque la trajectoire suivie par le vaisseau qu'on observe est une ligne droite A ne

DE LÀ RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE

renfermant pas le centre de la batterie ; tel serait le cas d'un bâtiment passant au large, ou croisant à distance, pour se livrer à certaines observations. Il faut alors déterminer la distance de à A, et savoir si cette longueur est, ou n'est pas inférieure à h. Puis, dans le cas où le bâtiment s'approche suffisamment de 0, pour rendre le tir efficace, on peut demander quel est le moment précis où doit s'ouvrir le feu de la batterie, sans qu'il soit nécessaire d'effectuer des tentatives qui, si elles étaient vaines, instruiraient, trop tôt, l'ennemi de la position qu'il doit conserver et de la distance à laquelle il doit se maintenir pour rester hors de la portée de la batterie.

2° Nous supposerons d'abord que le bâtimeot observé M se meut parallèlement à une ligne OZ tracée sur le rivage.

Mais on doit se demander, avant tout, comment on pourra vérifier que cette condition se trouve réalisée.

A cet effet, considérons le point {X qui correspond à M, dans la transformation h o m o logique imaginée précé- ^^^ • ^^'^•

demment. Nous répétons, pour éviter toute confusion, que les points M, |A sont en ligne droite avec un point fixe 0', et que 00' est, à chaque instant, la bissectrice deMOtx. On sait que, dans cette transformation, à une droite correspond une autre droite; c'est un principe que nous avons déjà utilisé. Mais onsaitaussi : 1° que deux droites correspondantes se coupent toujours sur l'axe d'homologie, droite perpendiculaire à 00', au point 0; 2° que deux droites correspondantes coupent 00' en deux poinls qui divisent harmoniquement ce segment. En particulier, si l'un d'eux est à l'infini, le point correspondant coïncide avec le milieu de 00'.

Imaginons donc, pour donner à la solution présente un caractère vraiment pratique^ un miroir, de dimensions suffi-

sautes, placé en 0, dans un plan perpendiculaire àOZ. Un observateur cherche à voir, dans ce miroir, le bâtiment observé M ; soit jjL la position qu'il occupe à cet instant. Un jalon étant fixé en 0", milieu de 00', Tobservateur on question se déplace de façon à ne pas perdre de vue Timage de M. Si la trajectoire, ainsi décrite, est une droite passant par 0", c'est que M est mobile sur une droite MI parallèle à OZ.

Il nous reste à calculer la distance 01 du point 0, à la droite MI.

Élevons O'R perpendiculairement à OZ ; soit R le point de rencontre de O'R avec Ojjl. Comme nous l'avons déjà observé,

ÔjT"^ ÔM~"ÔR* D'ailleurs, les droites OR, OM étant également inclinées sur OZ, leurs projeclions sur des perpendiculaires à OZ sont proportionnelles et comme la relation précédente est homogène, nous avons

on a

ou

|jt.H

OÎ

MK

O'R {jlH Cette égalité permet de calculer 01 : immédiatement, si Ton

possède une table des inverses ; très simplement, dans tous

les cas. On saura donc si 01 est inférieur à la portée maxima

des pièces, et si, par conséquent, on doit faire les préparatifs nécessaires pour ouvrir le feu, au moment où M passe en I.

On observera, d'ailleurs, que la ligne de visée 01 est perpendiculaire à OZ, et ^' ^0' ^'^^' que la longueur de

la ligne de tir est connue: c'est la quantité 01, calculée comme

il vient d'Atre dit.

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE

3<* Supposons que la trajectoire suivie par M soit une droite quelconque A, rencontrant la ligne 00' en P, point inconnu, bien entendu, et que nous pouvons supposer très éloigné de 0.

L'expérience étant disposée comme nous l'avons indiqué tout à l'heure, Tobservateur jx, mobile avec M, décrit,sur le rivage, une trajectoire rectiligne [jlO"; cette droite, comme nous l'avons dit, va rencontrer A en un point Q situé sur la perpendiculaire élevée, en 0, à 00'. Imaginons la perpendiculaire OH abaissée de sur A; nous voulons d'abord évaluer OH.

Le triangle rectangle POQ donne

/ix III

^ ^ OH'' OP' OQ'

La longueur OP se calcule en observant que la ponctuelle 0, 0', 0", P est harmonique. Donc

OP 00' 00" Quanta OQ, les triangles semblables OQO', KixO' prouvent que

(3) OQ = K,x.^.

Les égalités (1), (2), (3) résolvent la question posée; si la longueur OH, calculée par ces formules, est plus petite que la portée Diaxima des pièces, il sera possible, à la batterie placée en 0, de diriger ses feux sur le bâtiment observé. Mais il reste à déterminer le moment où le feu doit s'ouvrir et celui où il doit Fig- ^93.

cesser; c'est-à-dire les deux instants où M est, sur sa trajectoire A, à une distance de égale à la portée maxima A.

Ayant calculé OP, OQ, comme il a été dit, prenons, snr la perpendiculaire élevée, en 0', à 00', une longueur OR telle que

OP

La droite OZ, perpendiculaire à ORL, passe par la projection de surPQ; c'est la ligne de tir la plus favorable.

D'autre part, abaissons O'A perpendiculaire surOR; et, avec un cordeau fixé en 0', bien tendu, et dont la longueur est calculée par la formule

OH

O'm = O'tn' r= OM ^ , (OM = h)

déterminons, sur OR, les points ;«, m'; la ligne de tir, pour Touverture du feu, sera parallèle à O'm; et, pour la cessation du feu, parallèle à O'm'.

Cette solution, basée sur la transformation homologique et sur les principes élémentaires des figures semblables, est assez compliquée; on en imaginera, sans doute, de plus simples.

113. Les feux croisés. — Soient deux batteries installées en A, B; on veut que leurs pièces aillent frapper un alignement CD de façon que les feux se croisent toujours sur cette droite ; pourtant, on suppose que le point qu'il faut atteindre n'est visible : ni de A, ni de B. La propriété que nous avons établie (Première partie, § 16) peut être utilisée pour résoudre la difficulté proposée.

D£ LA RÈGLE ET DE L EQUERRE 3(Ki

Ayant tracé A parallèlement à AB, on prendra, sur les so^ments ay, «Y- deux points p, ^' tels que

les feux dirigés suivant AS, B^' se croiseront sur CD. Pour lo démontrer, on peut s'appuyer sur la propriété rappoléo ; ou peut aussi raisonner de la manière suivante.

Les points p, f/ décrivent, sur A, deux divisions homographiques; les droites homologues Ap, BfJ' so coupent ou un point dont le lieu géométrique est une conique. MaiM, si p s'éloigne à l'infini, f, lui aussi, s'éloigne indéflnlinout sur A; et les rayons homologues, dans ce cas, coïucldonl avecAB. La droite AB fait donc partie du lieu; pur Huit(\ celui-ci se compose de AB el d'une autre droite. Mais (1 t^l. 1) font évidemment partie du lieu; par suite, A|3, Bfi' ho crolnout sur CD.

Dans la pratique, on pourrait partager, uu moyen d*in» cordeau quelconque, les intervalles ay, a'y' on uu niôuio nombre de parties égales; en plaçant des piquets aux poiutM obtenus, on devra viser, des points A, B, ceux (^ui ho corroHpondent.

114. Les feux convergents. -^ Supposoun que, duim le voisinage d'un point 0, on veuille disposer des pioct^s h fou dont le tir converge vers un point B, invisible mais que l'on sait exister, dans la direction OX, à une distance l, de 0.

Prenons sur OX un point arbitraire A; puis, surOAjUnpointCtelque

^ ^ OC OA h' Ou observe que cette ^W' ^^''•

longueur 00 se calcule rapidement en utilisant la table des inverses; d'ailleurs, dans le cas actuel, on peut supposer qu'on a tout le loisir nécessaire pour faire le calcul fort simple qui correspond à cette formule.

il'

304 lâSAt suit LA GÉOMÉTRIE

Cela fait, on Jalonne deux droites A, A' perpendiculaires en 0, A sur OA. On fixe sur A un jalon en M, point où l'on veut inslallor la pièce. Avec la fausse équerre, on relève l'aogle MCO, et, par un retour d'équorre, on fixe sur A', en M', un jalon, de teltc sorte que l'angle M'GA = MCO. En visant M', le tir do la pièce à feu placée en M sera dirige vers le point invisible.

En effet, CX étant la bissectrice extérieure de MCM', MM.'~ rencontre OX en un point B' qui forme avec M, D, M' une ponctuelle harmonique; mais, d'autre pari, d'après (1), 0, C, Â, B est nue ponctuelle harmonique : d'oîi l'on conclut que B se confond avec B'.

On peut ainsi établir, sur les lignes ^, A', autant do couples tels que M, M' que l'on voudra.

Si l'on préfère disposer les pièces en éventait, après avoir installé, comme le représente la figure 398, une pièce en 0', avec A' pourpoint de mire, on répétera, (/ig, 398) avec C'A' pour base, la conslructiou précédemment faite avec OA; puis, on la reproduira, autant de fois que l'on voudra, en C'A', CA'" , etc ... On obtiendra ainsi, successivement, les lignes OA, O'A',..., qui concourent au but invisible B.

Quant aux distances OB, O'B,... ou '~. les calcule parles formules:

ÔB~ ôÂ~5c'

Fi,, m. WS-ÔT-ffc'

Daus la pralique, si les pièces ne sont pas très éloiguées les unes des autres, on peut considérer les longueurs OB, O'B,.., comme sensiblement égales, et régler les hausses en conséquence.

Pour indiquer une application de ce problème à l'art de la Guerre, on pourrait imaginer que l'ennemi, après avoir été attiré en B, serait, à un signal donné, brusquement assailli

DE Là règle et de l'ÉQCBRRE

Fig. 290,

jar les projectiles des pièces^ celles-ci étant disposées comme nous l'ayons dit. Leur tir serait préparé de façon que les projectiles vinssent frapper ce point B, et Teffet produit serait d'autant plus efficace qu'il proviendrait de points invisibles pour l'ennemi.

11b. Le tir concentrique. — Nous avons supposé que le tir des pièces, dont les feux convergent vers le point B, pouvait être réglé de façon que les obus vinssent, uniformément, frapper lebaty bien que cespièces fussent placées à des distances inégales.

Le problème actuel peut être envisagé à un autre point de vue.

Supposons que trois batteries soient installées aux points A, B, G. On voudrait tirer, de ces points, sur une ville assiégée, à la portée maxima et de façon que le tir soit concentrique; nous entendons, par là, que les projectiles doivent tomber au même point. On demande si le problème en question est possible, ef, dans tous les cas, on propose d'installer une série de batteries pouvant, à un signal donné, ouvrir, à la portée maxima, un tir concentrique.

Soient A, B, C les emplacements jugés favorables à l'établissement des trois premières batteries ; il s'agit de déterminer d'abord, pour chacune d'elles, la ligne de visée.

Relevons, avec la fausse équerre, Fangle GAB ; puis, jalonnons aux points B,G, les droites bb\ cc\ telles que

■?BG = ^ = BAG, Les lignes de tir sont des droites Bp, Gy perpendiculaires, respectivement: la première, à bV ; l'autre, à cc\ On détermine, de même,en relevant l'angle ACB, la droite aa' et par suite, la perpendiculaire Aaqui représente laligne de tir, au point A. On voit, en effet, que les droites aa\ bb\cc' construites comme il vient d'être dit, senties tangentes à la circonférence circonscrite au triangle ABG. Les droites Aa,Bp, Gy, suffisamment prolongées, vontdonc concourir en un certain point 0, centre de cette circonférence.

Pour avoir la longueur commune des droites OA, OB, OG,

OU peut utiliser la formule connue