Définitions. — Points et transversales réciproques

Fie/. 6.

, Nous ferons souvent usage, surtout dans la première partie de ce livre, de points et de droites, associés d'après une

loi que nous avons imaginée autrefois (*) et que nous atons nommés poimts réciproques et transversales réciproques.

Imaginons un triangle ABC et, dans le plan de ce triangle, un certain point 0'. La droite O'A rencontre BC en A' ; soit A' le symétrique de A' par rapport au milieu de BC. La droite AA' et les droites analogues BB" CC (d'après le théorème de Jean de Ceva et sa réciproque) concourent en un

point 0'. Ces deux points 0', O'^, ainsi associés et qui sont tels que le point 0' étant déduit de 0', comme nous venons de le dire ; réciproquement le point 0' puisse se déduire de 0' par la môme loi, sont deux points que nous nommons réciproques.

FiU- 7.

Prenons maintenant une transversale A', dans le plan du triangle ABC ; A rencontre ABC en des points A', B', C. Si nous imaginons les points A', B*, C symétriques de ceuxci par rapport aux milieux des côtés BC, GA, AB, les trois points A", B', G" sont situés (d'après le théorème de Ménélaiis et sa réciproque) sur une droite A\ Ces deux droites A', A", ainsi associées Tune à l'autre, ont été appelées par nous transversales réciproques.

Ges points et ces transversales réciproques doivent jouer un certain rôle dans ce travail; parce que Ton peut toujours,

(*) Annales scientifiques de V École Normale supérieure, t. III; Mémoire sur nofi nouvelle môUiode de transformation en géométrie.

D£ LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 17

avec la règle et Téquerre, déterminer le miliea d'une droite et le symétrique d'un point donné, par rapport à ce milieu.

10. Remarque. — Considérons trois points quelconques A!, B', C, sur les côtés du triangle ABC, et, en même temps, les points A', B', C déterminés comme nous venons de le dire. Les deux triangles A'B'C, A'B'C (triangles réciproques comme noas pourrions les appeler) ont la même surface.

En effet, la formule (S) reste identique à elle-même quand

ou change u. v, w, respectivement en — , — , — . ** ^ u vw

Le théorème des transversales réciproques doit donc,

d'après cela, être considéré comme un cas particulier de

ia proposition plus générale que nous yenons d'établir et

qui met en lumière l'équivalence des surfaces de deux

triangles réciproques. Ce cas particulier peut se formuler

ainsi : si Tun des triangles a une surface nulle, il en est

de même du triangle réciproque.