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d'où ron tire MQ^MB'

3)i EBSAI SVK LA GÉOMÉTRIR

120. La hauteur de la tour, — Ayant fixé, en PQ, verticalement, une miro d'une hauteur connue h, l'observateur se place en de façon que, en visant l'estrémilé de la mire, ilperçoircIepointS, sommet de la tour.

Mais il y a lieu do distinguer deux cas, suivant que le pied de la tour est inaccessible ou ne l'est pas.

i" Dans la première hypothèse, on relïïve les longueurs O'P, O'A et, après avoir posé 00' =: h', SH = ir, on a X- h' O'A + r A- /(' ~ O'P Cette équation, dans laquelle rdésignc le rayon de la tour, ' '' permet de calculerlahanteur

inconnue x. Il est vrai qu'il .,■■■;,'- faut connaître le rayon r;

.,-■'.,■' mais, nous indiquerons tout

. ,..--' -;'' à l'heure dilTérents procédés

' pour le déterminer, soit dans

le cas oh le pied de la tour est accessible, soit dans Tau- Ire hypothèse.

'"' ' D'ailleurs, dans les solu-

tions que nous allons maintenant exposer, la connaissance de r est inutile. On doit ajouter que l'on peut éviter celte difficulté, relative à la délermination de r, en visant (comme le représente !a figure 310) un point H de la circonférence supérieure delà tour.

2" Supposons maintenant que le pied de la tour soit inaccessiblCj

L'observateur se transporte en P; puis, un aide déplace la mire et la fixe en P'Q' de façon que son extrémité Q' vienne, de nouveau, se placer sur la ligne RSqui va del'œi! de l'observateur, dans sa nouvelle postlion, au sommet de la tour. Les triangles semblables : RQ'T, RSH', d'une part; OQR, OSH', d'autre part; donnent

X- h' RH' OH' A - A' ~ RT ~ OR ' ■A' OR OT . b' "" OR- RT" aP-PP''

d'oh

D8 LA RÈ6LI ET DE l'ÉQUERRE

C'est Fégalitc qu'on doit employer pour calculer a?; ou obserrera qu'elle présente, sur la précédente, Tavantage do ne pas renfermer l'expression du rayon de la tour.

121. La méthode du miroir. — Au premier livre de la Géométrie pratique du R. P. Millet Dechalos, ouvrage qae nous avons déjà cité (§ 10, note), on trouve l'oxposition, devenue classique, d'une méthode .r> intitulée modvs metiendi lineas pet* capottricam, permettant d'évaluer la hauteur d'une tour dont le pied est accessible.

A une distance a du pied de la tour, on dispose, sur le sol, un miroir A; l'observateur se place alors en BG, de façon que l'œil aperçoive, dans le miroir, l'image du sommet H de la tour. ^'fl'' ^^^*

Lestriangles semblables HAD,BAGdonnentf en posanlHD=âP

BG

AG

122. Le rayon de la tour. -* 1^ Supposons quo lo piod de la tour soit accessible.

On jalonne trois alignements tangents à la tour, BC, CA, AB; on peut ensuite mesurer les distances a, 6, c; puis appliquer la formule connue

^^iPzMz

Dans le cas où le triangle ABG, dont il vient d'être question, est rectangle en A, la

formule précédente se simplifie et l'on a

^'.iV

Fig. S1K

D'ailleurs, les longueurs AA' = AA' représentent le rayon cherché. Pourtant, cette dernière méthode, malgré sa simplicité apparente, ue détermine pas bien le rayon cherché, parce que

les points de contact A', A" ne sont pas connus avec une précision suffisante. Mais, voici un procédé qui nous parait avantageux.

Ayant mené, à la tour, dans le plan horizontal, des tangentes

parallèles A, A', la distance CD de ces droites représente le diamètre de la tour. La seule difficulté est de trouver deux points A, B diamétralement opposés. A cet effet, on entoure la base de la tour d'un cordeau qu'on replie ensuite sur lui-même de façon à la partager en deux parties égales; en fixant de nouveau la partie obtenue de telle sorte qu'elle s'applique exact %g» ù n. tement sur la circonférence de base

de la tour, les extrémités obtenues représentent deux points diamétralement opposés (*).

On pourrait aussi jalonner une droite PQ tangente à la base de la tour et observer que le r ayon d e celle-ci est, par une propriété bien connue, égal à v/AP.BQ. Les solutions du problème actuel sont très nombreuses (**); mais celles que nous venons d'indiquer, sont, croyons-nous, les plus simples. 2® Supposons que le pied de la tour soit inaccessible (***). Après avoir fixé trois jalons, A, B, G, de telle sorte que les lignes de visée BG, GA, AB soient tangentes à la base de la

(*) Ce procédé (fort peu mathématique, procédé d'ouvrier si Ton veut) serait particuliôrement pratique pour calculer le diamètre d'un bassiu, parce que, après avoir déiermiaô les points A, B diamétralement opposés, ou pourra tendre un cordeau divisé de A en B, par dessus le bassin ; la longueur de ce cordeau fait alors connaître le diamètre cherché.

(••) On peut, par exemple, jalonner, comme l'indique la fig, SU, les droites BD, CD parallèles, respectivement, à CA, BA ; puis mesurer les hauteurs A, h\ h" du triangle BDC ; le rayon r est donné par l'égalité

Ce procédé exige plusieurs jalonnements, mais il deviendrait assez commode, si Ton faisait usage de la table des inverses.

(***) Nous examinons plus loin le cas où le pied est, tout à la fois, inaccessible et invisible.

tour, on mène par les points Â, B, G des parallèles aux lignes BG, CA, AB.

On détermine ainsi un triangle A'B'C" dont les côlés peuvent èlre mesurés, sans qu'il soit nécessaire de pénétrer dans la région qui est voisine de la tour; le rayon du cercle inscrit à A'B'C peut être calculé par diverses méthodes et, notamment, au moyen de la formule (A); il est égal au diamètre de la tour.

Si Ton s'accorde l'usage de l'équerre ordinaire, on pourra jalonner, dans la partie accessible, deux droites parallèles, tangentes à la base de la tour ; la distance de ces deux parallèles représente le diamètre de celle-ci.

123. Le rayon de la tour. (Première solution générale) . —Nous exposerons maintenant deux constructions assurément plus compliquées, mais qu'on utiliserait dans certains cas, si, pour diverses raisons, celles que nous venons d'indiquer étaient jugées impraticables ; par exemple, si la vue, gênée par des obstacles, ne permettait de viser qu'une partie de la tour.

D'un point A, pris dans la région d'oîi l'on aperçoit la base de l'édifice, on trace deux lignes de visée AP, AQ; et, par un point B, pris sur AP, on trace une ligne BR tangente à la base de la tour. Soit G le centre du cercle ioscrit à ABR; abaissons GH perpendiculaire sur AP et, avec la fausse équerre, menons par B, une ^ droite BK telle que KBA = tc - BCA l'ig- 313.

= ACD; BK rencontre GH en w ; cdH est le rayon cherché.

Pour le démontrer, observons que le cercle inscrit à RBA touche BR en un point S', isotomique de S sur BR. De plus BH = BS'; par suite, BH = RS.

D autre part

SRO= -SRQ= -ABR+-=BAR=ABC + BAC=AGD=HBa).

sis ËàSÀI SUR LÀ GÈOMÉTRIA

Les triangles rectangles OAS, (oBH sont donc égaux; ainsi a>H = OS.

Remarque. — La méthode précédente s'appliquerait encore dans lecasoii labasede la tour serait complètement invisible; soit que des obstacles placés entre celle-ci el Tobservateur la cachent complètement à ses yeux, soit que des bâtiments enveloppant cette base de tous côtés, ne permettent de voir que la partie supérieure de Tédifice.

Dans ce cas, on fait usage de piquets suffisamment élevés pour établir une ligne de visée tangente à la tour; la projec* tion de cette ligne sur le plan horizontal, projection obtenue enjalonnant la ligne qui vadeTœil de l'observateur au piquet considéré, est tangente à la base invisible de la tour. On est ainsi ramené au cas précédemment traité et nous pouvons, pour ces raisons, considérer comme résolu le problème qui se propose la détermination du rayon d'une tour dont la base est, tout à la fois, inaccessible et invisible; la partie supérieure étant seule visible, et, même, par un côté seulement.

Nous ferons encore observer que les constructions indiquées au paragraphe précédent peuvent toujours être effectuées, en restant aussi éloigné de Tédifice que Ton voudra; il suffit de prendre B suffisamment voisin de A, pour que les tracés nécessaires puissentêtre exécutés dans lapartiedu terrain accessible à Tobservateur. Cette remarque s'applique aux constructions que nous indiquons dans le paragraphe suivant.

124. Le rayon de la tour (Deuxième et troisième solù^ TioNs générales). — Présontons enfin, avant de quitter ce sujet, deux autres solutions assez simples, surtout si l'on dispose d'une table des inverses.

l^ Gonsidcrons, comme tout à l'heuro, les deux tangentes AP, ÂR, issues de A, et la tangente BR partant d'un point B, pris sur AP. On peut considérer la circonférence de base de la tour comme étant un cercle exinscrit au triangle RA6. Soient AG, BF, RU les trois hauteurs de ABR; en désignant par r le rayon de base de la tour, on a

r "" RÏÏ "^ AG "" bF'

DB LA ftiGLE ET DE L^ÉQUBRRE 319

Dans cette formule RU est une quantité inconnue ; mais eu traçant BI, AJ perpendiculairement à AB, on a (Première partie § 14)

BÏ~ RÛ "*" AJ*

Fig. 3i4.

Finalement, nous pouvons écrire

AJ BF 2° Prenons sur la capitale do la tour, c'est-à-dire sur la

Fig. Sio.

droite qui va de l'œil do l'oliservateur au centre do celle-ci, deux positions A, B; soit AD Tune des tangentes issues de A; BG, Tune do celles qui partent de B. Si Ton abaisse AT, BS perpendiculaires sur BG, AD, on a

^ "^ BS AT* En effet, soient BI,AK perpendiculaires à AB. Les triangles semblables : 0GB, ABK, d'une part; AOD, ABI, d'autre part;

donnent

ESSAI sua LA GÉOHtTBIK