AB A'B
En résumé, dans le triangle UodV, on connaît deux côtés et l'angle compris; on pourra donc déterminer les angles toUV, (ùVU; puis, la longueur du côté UV.
Bien entendu, pourlacommodité des observations, on placera les postes d'observation U,V à une certaine distance du pied de la montagne. Après avoir calculé UV, pour obtenir la longueur du tunnel, on retranchera, de UV, les distances UU', VV\ lesquelles sont mesurées direclement.
La percée d'un tunnel, sous un fleuve, n'offre aucune difficulté, du moins au point de vue de la géométrie pratique. Dans ce cas, en effet, les extrémités U,V du tunnel sont dos points visibles; la direction de UV est donc connue. Pourtant, si les points U, V se trouvaient séparés par un certain obstacle, on utiliserait quelques-unes des constructions que nous avons indiquées au chapitre III.
Enfin (*), si les points extrêmes du tunnel sont séparés par une distance telle que de l'un d'eux, on ne puisse apercevoir l'autre, ce cas soulève des difficultés particulières qu'on ne peut résoudre sans avoir recours à des procédés de triangulation géo Jésîque qui n'appartiennent plus au domaine de la Géométrie de la règle et de l'équerre.
132. La hauteur du ballon. — Nous abordons maintenant la détermination de la hauteur d'un ballon au-dessus du plan de l'horizon correspondant à l'œil de l'observateur. On observera à ce propos que cette distance ne doit pas être confondue, en général, avec la hauteur du ballon au-dessus de la terre. Nous montrerons tout à l'heure, calculant de la hauteur des nuages, comment on détermine celle-ci. - — Il —^^^.1 I I
(*) SUl s'agissait du tunnel sous la Manche, par exemple.
KSSAI SUR LA 6É0MÉTRIB
Deux observateurs placés en A, B, visent, au même instanl, un ballon f; Ap passe par Textrémité G d'une mire CM, dont
la hauteur h est connue ; Tob-
servaleur placé en B détermine simplement la projection Bto sur le plan de Thorizon, delà lignede visée BD.
D'après ces observalions on demande la longueur de pû) = x.
Traçons PQ, parallèle à Bw; soit I le milieu de PQ. La droite BI rencontre AM en R; la ponctuelle (A, R,M.o)) est, d'après cela, harmonique. On a donc
RA a)A a)A
RM (oM RM
û)A- AM AM
ou
Fig, 323,
RA
CM
Aw
La hauteur inconnue x est donc donnée par la formule
^ ^ RA - RM
133. Le problème du ballon captif. — De nombreux problèmes se rattachent à la considération du ballon, envisagé, suivant les cas, comme un point fixe ou mobile de Tespace. Ily a là, pour les problèmes qui touchent à l'art militaire, un élément nouveau, appelé peut-être à jouer un rôle important dans les guerres futures.
Imaginons que, dans une ville assiégée, on exécute, en ballon captif, des ascensions ayant pour but d'observer les positions de l'ennemi. Celui-ci aurait évidemment intérêt à déterminer le point invisible w oîi est fixé le ballon observateur ; ainsi que la distance Aw qui le sépare de ce point.
Les lignes AM, BM', dont nous avons parlé au paragraphe précédent, vont se couper au point inconnu ; mais il reste à calculer Aw,
DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 329
A cet effet, la ponctuelle (A, R, M, w) étant harmonique, on a
Aa> AM AR Cette formule permet de calculer la dislance demandée Ao).
134. La vitesse du ballon. — On suppose qu'un ballon ait été observé dans deux positions p, ^'; on a pu déterminer» pour ces deux positions, les hauteurs q^
H, H' du ballon au-dessus de Thori- T 9^'
zon, ainsi que les distances Ou), Ow' /î /;
qui séparent Toeil de Tobservateur des / ' -'
points o), 0)' projections des points p. / ^, , , ^^^^
f>', sur le plan de Thorizon. / ."',.'• '^;;i"'""'
On a pp'2 = (H - Ky + coa>'-. .^^.
D'autre part, dans le triangle Ooao)', o^"' on connaît les côtés Ow, Ow', ainsi que ^*^- '^^^•
l'angle (oOo)'; par suite, on pourra déterminer (oco'. La formule précédente permettra donc de calculer pp'. En divisant le nombre obtenu, par le temps 6 qui marque l'intervalle des deux observations, on obtiendra la vitesse cherchée.
Cette solution présente certainement des difficultés pratiques D'ailleurs, on peut observer que le problème en question ne présente d'intérêt véritable que pour les ballons dirigeables; notamment, si l'on veut comparer les vitesses qui correspondent, avec un ballon donné, aux diverses machines qu'il est possible de lui adapter. Dans ce cas, on peut obtenir, pour le ballon considéré, une hauteur constante au-dessus de 1 horizon ainsi qu'une trajectoire sensiblement rectiligne, entre deux verticales aboutissant à deux postes déterminés. L'estimation de la vitesse se fait alors directement, eu divisant la distance qui sépare les deux points d'observation, par le temps de la durée de l'expérience. Mais, quoi qu'il en soit, ce que nous avons dit plus haut permet de résoudre le problème de la vitesse du ballon, dans le cas le plus général.
135. La hauteur du nuage. — Millet Dechales, dans l'ouvrage que nous avons cité à plusieurs reprises, abordant le problème de la hauteur des nuages dit « tota diffkultas quœ
in hoc negolio occarrit ex nubium continua motu oritur ». Cette difficulté, dont parle Millet Dechales, qui tient a la mobilité incessante du point observé, nous Tavons déjà rencontrée quand nous nous sommes occupé, tout à Tbeure, de la détermination de labauteur du ballon; et nous Tavons trouvée par le moyen de deux observations simultanées. Nous présentons, plus loin, plusieurs développements qui viennent se joindre à ceux que nous avons déjà fait connaître; mais nous indiquerons d'abord certaines considérations générales, relatives au problème en question.
On sait quel est le principe, qui permet de'calculerla hauteur d*uu point A situé dans Tespace, au-dessus du plan de Thorizon.
Ayant choisi une base BC, on relève les angles ABC, ACB, ainsi que les hauteurs apparentes des lignes BA, GA. De ces données, on déduit facilement: 1°les longueurs AB,AG; 2** la hauteur inconnue. En théorie, rien ne paraît plus simple. Il n'en est pas de même dans la pratique, et la difficulté que nous signalons ici résulte de ce fait, que les observalions doivent être faites, simultanément^ aux extrémités d'une base BG de grande dimension. Voici, à ce propos, un passage extrait du Journal du Ciel (*) ; il fera comprendre, en même temps, l'intérêt qui s'attache à la détermination de la hauteur dos nuages, et les difficultés que comporte cette recherche.
« En Norwège et au Spitzberg, on n'éprouve pas, paraît-il, autant de difficultés que nous en avons rencontré, il y a quelques années, pour établir des téléphones, et M. Nils Ekholm a pu, avec des bases de différentes longueurs, y évaluer les hauteurs d'un certain nombre de nuages.
La publication qui nous apprend ce fait, ne nous donne pas les nombres qui ont été trouvés pour ces hauteurs, mais elle nous apprend que, dans un certain nombre de ces mesures, on s'est contenté d'une base de 500 mètres environ. Gomme les hauteurs obtenues au Spilzberg et à Upsala ne nous diraient pas celles qu'atteignent ordinairement les nuages dans nos climats, il y a lieu d'y songer de nouveau.
Une base de 500 mètres nous avait paru insuffisante, avec des instrument ne donnant que la minute d'arc, comme des graphomètres ordinaires, cela devait laisser des incertitudes de plusieurs mètres dans le résultat du calcul ; mais nous reconnaissons que si, au lieu de graphomètres, on peut employer des théodolites donnant la moitié ou le quart de la minute, on doit espérer d'assez bonnes déterminations. Il y a donc lieu d'y songer de nouveau, d'autant plus que, si des deux extrémités de la base, en même temps que l'on vise le même point du nuage dans
(*) Numéro du 1" février 1888.
DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 331
le plan qui va de la base au nuage, on mesure aussi la hauteur du point choisi du nuage au-dessus de Thorizon, on aura les éléments suffisants pour calculer deux fois la hauteur verticale du nuage; et, quand les résultats concorderont, une très grande certitude de leur bonté.
Mais ce va être une véritable expédition. Il va falloir un téléphone, quatre théodolites, six opérateurs au moins. N'importe, songeons-y toujours: un jour ou l'autre, tout cela peut devenir réalisable.
Nous prions nos zélés correspondants d'étudier aussi ce qu^on pourrait obtenir avec la photographie. Rien d'impossible à ce que des vues prises du nuage et de l'horizon, dans les directions où devraient opérer les théodolites ne permissent de mesurer les aDgles nécessaires. Quelques essais sur des points accessibles, tour, montagne, etc. renseigneraient à cet égard.
On se passerait alors de téléphone, et la base pourrait, avec de bonnes montres pour opérer au môme instant, devenir aussi grande que l'on voudrait.
Millet Dechales (toc. «7 , p. 336) indique une méthode fondée sur la double observation de Tombre portée par le nuage et de la hauteur apparente du Soleil, au-dessus de Thorizon, au moment de Texpérience. Mais ce procédé est compliqué et fort peu précis, parce que la détermination de Tombre d'un nuage est une chose difficilement appréciable et toujours très incertaine.
Voici comment on pourrait opérer pour résoudre d'une façon , à la fois simple et pratique, le problème actuel. La méthode que nous allons exposer s'appliquerait particulièrement bien aux nuages peu élevés au dessus de l'horizon. Nous montrerons plus loin comment, de cette observation, on déduit l'inconnue véritable du problème, c'est-à-dire la hauteur du nuage au-dessus de la Terre.
Soient AB, A'B', deux obstacles naturels, ou deux édifices très élevés, faisant l'office de grandes mires, et dont la distance AA' est suffisam-
ment grande; de 500 à
1000 mètres environ. ,►-''
Deux observateurs pla- ^•-'' y'
ces dans le voisinage : ^.-''* /' j
l'un de AB, l'autre, de -r'' ' r;*''' *
A'B', et communiquant ,,>-"" | y y
par le moyen du télé- ^ ^ ^
phoue, observent un tig.SiS.
nuage N lorsqu'il vient rencontrer le plan vertical ABA'B'.
Soient 0, 0' les positions qu'ils occupent au moment que nous
venons de définir; les distances OA, O'A' peuvent être relevées avec soin, au moyen du ruban divisé, ou différemment; enfin, les hauteurs AB, A'B', ainsi que la distance AA', sont connues très exactement. Gela posé, pour obtenir la hauteur: No) = œ, du nuage, au-dessus de Thorizon, on observera que
tù
