PROBLÈMES DIVERS

Nous réunissons, dans ce dernier chapitre, divers problèmes de géométrie pratique. Sans dépendre absolument de la géométrie de la règle et de Téquerre, ils y touchent néanmoins

(*) Voyez Annuaire publié par le bureau des longitudes, pour Tan 1888, p. 121 . Le nombre des points radiants, connus avec une certaine approximation, est égal à 63. « L'observation de ce phénomène, dit Touvrage en question, o£fre à plusieurs égards un haut intérêt scientifique, surtout depuis l'époque où les travaux de plusieurs de nos astronomes célèbres ont permis de constater d'une manière indubitable que certains essaims de météores et certaines comètes effectuent leur mouvement autour du Soleil sur une même trajectoire. »

(**) On suppose que la trajectoire, pendant le court ictervalle de temps qui s'écoule entre les deux observations de points a, ^, est rcctilignc; cette hypothèse est tout à fait justifiée.

(**♦) D'après les résultats consignés dans Touvrage de M. Ilément, cité plus haut, la vitesse des étoiles filantes varie, suivant les exemples, entre 22 et 113'^'" par seconde ; les hauteurs du point d'apparition, entre 31 et 119*""; celles du point de disparition, entre 5 et 66'"*.

par certains points. Tels sont : les questions relatives aux bassins, la détermination de la base hydraulique; l'élude des courants maritimes, et, enfin, le passage 'entre deux postes fortifiés. On rencontre dans cet ordre d'idées certains problèmes intéressants que nous allons, successivement, examiner.

138. Les formes diverses du bassin (bassin carrée chxulaire, elliptique). — Lorsqu'on creuse un bassin maritime, le travail qu'il nécessite (la dépen5îe qu'il entraîne, par conséquent) est proportionnel, pour une profondeur donnée, à la surface de sa base. Or, la périphérie du bassin représente ce qu'on pourrait appeler son effet utile; celui-ci étant considéré comme proportionnel au développement plus ou moins grand des quais de débarquement. Le point de vue, auquel nous nous plaçons ici, n'est pas le seul assurément qui puisse être envisagé, dans la question présente; on ne saurait nier pourtant qu'un certain intérêt y soit attaché.

Nous nous proposons donc la question suivante : un bassin de profondeur h et de surface s devant être creusé, y a-t-il avantage à lui donner la forme carrée, circulaire ou elliptique?

Nous écarterons d'abord, de la discussion qui suit, l'hypothèse du bassin rectangulaire. Il est bien clair que, si deux rectangles A, B ont même aire, le périmètre de A sera plus grand que celui de B, si Ton suppose que la différence entre les dimensions de A es l supérieure à la différence correspondante pour le rectangle B. Nous invoquons ici une propriété bien connue, relative aux maxima et minima; elle résulte, comme l'on sait, de l'identité.

{x - yY -^ 4xy:^ix -h y)\

Ainsi, au point de vue du développement des quais, la figure rectangulaire est, incontestablement, préférable, à la forme carrée.

D'autre part, si l'on compare un carré et un cercle; comme entre toutes les figures planes^ isopérimètres , le cercle est un maximum (*), on voit que, pour une aire donnée, le périmètre du

(*) Traité de Géométrie par E, Rouché et Ch. de Gomberousse : p. 303.

carré est plus grand que la circonférence du cercle, C*o$t ce qu'on vérified'ailleursbien simplement, delà manière suivante. Soit y le côté d'un carré G, ayant même aire qu'un cercle C, de rayon x. On peut écrire

et il faut reconnaître que l'on a

ou 7c*x* < 4j/'.

Or, en tenant compte de (1), on trouve tt < 4, inégalité manifestement vraie.

Malgré ces observations, pour des motifs divers (*♦), on peut vouloir donner au bassin une forme curviligne ; nous allons montrer que le bassin elliptique doit être préforé, au moins (Jans certains cas, au bassin de forme carrée (**),

Considérons une ellipse F do:it les axes sont :

Son excentricité est

Cherchons la longueur S de l'arc correspondant à un quadrant de cette ellipse. On sait que S est donnée par la formule

(A) S = a / v^ I — e* sin* <pd(p.

Pour faire le calcul de cctle intégrale elliptique, il faut

avoir recours à une table donnant la valeur numérique dos

(*) La forme du terrain dont on dispose pour rétablissemont du baaain peul être un des motifs auxquels nous faisons ici allusion. Il noui lemble aussi que les manœuvres pour l'entrée et la sortie dos b&timenta, Tabordage, l'établissement des chemins de fer le long des quais, pou- Tent être facilités par la forme elliptique du bassin, en supposant que Tellipse adoptée ne soit pas trop allongée ; c'est le cas de celles que nous envisageons plus loin.

(**) Le bassin de forme rectangulaire offre certains inconvénients qui sautent aux yeux. Par exemple, si Tune des dimensions est trop faible ; U manœuvre des grauds bâtiments y est quelquefois difficile ; on doit donc, autant que possible, se rapprocher de la forme carrée. De plus, dans la partie voisine des angles droits, Tabordage ne se fait pas commodément. LUdée du bassin elliptique peut, au premier abord, paraître singulière et dépourvue d'intérêt; mais, à la réflexion,on en jugera peut-être diécremmcnt.

338 ESSAI hUR LA GÉOMÉTRIE

fondions elliptiques (*). On trouve ainsi, pour la longueur cherchée,

S = 2 / î y I - isin»<prf<p = 3.3715.

D'autre part, soit x la longueur du côté d'un carré dont Taire soit équivalente à celle de F : on a donc

Tout calcul fait, on trouve

Ainsi, on a bien, comme nous l'avons annoncé, a? < S. Il faut ajouter qu'en prenant d'autres exemples numériques, correspondant à des ellipses d'une excentricité plus faible que o.5, on trouverait, pour S — a;, des différences déplus en plus sensibles ; malheureusement, le rapport b : a diminue en même temps que e. A ce propos, on pourrait chercher, en se plaçant au point de vue expérimental, quelle serait la grandeur qu'il faudrait donner àTexcentricité, pour obtenir la forme elliptique la plus commode à tous les points de vue.

Voici un second exemple dans lequel la forme de l'ellipse serait peut être, pour le but que nous visons ici, jugée préférable; nous voulons parler d'un genre remarquable d'ellipses, celles pour lesquelles le petit axe est égal à la distance focale.

En supposant :

on a 6 = c = ^2,

et sin 6 == - = — rr ;

d'oii 6 = 48«.

Le côté X, du carré équivalent à l'ellipse, vérifie l'égalité :

ce* = '7r.2.v/2.

On trouve x = 2.981.

D'autre part, la longueur du quadrant d'ellipse se calcule

par la formule (A), en supposant : a :rz 2, e = sin b - — --

(•) Voyez, Bertrand, Calcul intégral^ p. 716. L'angle 0, qui figure dans ces tables, correspond à l'égalité^ sin 6 = e» Nous avons, dans le cas pré-

sent, e = - ; par suite 6 = 3o«.

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 339

Or, dans cctle hypothèse,

2 v/i — e* sin* (pd<p = i. 85407,

Finalement, nous obtenons

En comparant (1) et (2), on voit que la différence S — a? est plus considérable que dans l'exemple précédemment choisi.

Quant à la construction de Tellipse, elle pourrait se faire directement, sur le chantier même, en appliquant le tracé que nous avons précédemment indiqué {Première partie, § 48), 11 faut observer, en effet, que celui-ci n'exige que des alignements et des coups d'équerre; on déterminera donc facilement un nombre suffisant do points de la périphérie de l'ellipse. Il faut seulement que la droite A, qui sert de base à la construction, ne soit pas trop éloignée du chantier. La distance 8 de A au centre de l'ellipse est donnée par la formule (*)

Pour le premier exemple, on a8= 14; pour le second, 8 ~ 6, Dans ce dernier cas, qui paraît, de toutes façons, devoir ôtre adopté de préférence, la droite A s'obtiendrait fort simplement, ir suffirait, en effet, d'élever au grand axe A A', une perpendiculaire en un point symétrique de l'un des sommets, par rapport à l'autre.

Dans tous les cas, si faible que soit l'excentricité d'une ellipse, on peut construire celle-ci, point par point, sur le chantier, par des alignements et de simples coups d'équerre.

Supposons, en effet, qu'on donne ; 1* les extrémités A, A' d'un des axes ^'*^* '^**-

de l'ellipse; 2® un point M de la courbe. Prenons, dans les limites du chantier, une droite A perpendiculaire sur AA'; A'M rencontre A en un certain point I. Ayant tracé AM, si l'on

(♦) Celle-ci résulte de l'égalité 4^ = -^ éteblie au § 47.

AD o*

3i0 ESSAIS SUR LA GÉOMÉTRIE

abaisse, de I, une perpendiculaire IH, sur cette droite ;IH rencontre AA.' en un point P qui reste fixe, lorsqu'on répète la construction précédente, pour un point quelconque de A (*).

D'après cela, après avoir déterminé P, comme il vient d'être dit, on obtiendra un point quelconque de Tellipse par le tracé suivant :

On prend, sur A, un point J; on trace A'J, PJ; puis, de A, on abaisse, sur PJ, une perpendiculaire. Celte droite coupe PJ en un point M' appartenant à l'ellipse que Ton veut construire.

139. Détermination du rayon d'un bassin circulaire. — Nous supposons que le bassin considéré a de grandes dimensions: car, pour les autres cas, on imaginera sans peine de nombreux procédés. Par exemple, la longueur commune de deux cordeaux rectangulaires, tangents à la périphérie du bassin représente le rayon cherché.

Avant d'indiquer par quels moyens on peut calculer le rayon R d'un grand bassin, nous devons montrer d'abord comment on s'assure que celui-ci est circulaire.

A cet effet, on prend un premier cordeau P, de longueur ft, et on le fixe de A en B, sur la périphérie du bassin; puis, on place un second cordeau Q, tendu, en ligne droite, de A en B; soit h' la longueur de celui-ci. On place alors P, en des points divers, A',B'; A^B"; ... et l'on s'assure que l'on a, constamment, A'B' = A'B' = ... =K.

Si, cette expérience étant renouvelée avec des cordeaux de diverses longueurs, les égalités précédentes sont toujours vérifiées, on peut affirmer que la courbe considérée est une circonférence. C'est ce qui résulte du théorème suivant :

Siy dans unecourbeî^à des aixs égaux correspondent des cordes égales, f est une circonférence de cercle.

On peut établir cetle proposition de bien des façons différentes et; par exemple, comme il suit (**).

Soient trois points A, M, B d'une courbe jouissant de la propriété donnée.

(^) Ce théorème intéressant est dû à M. Clément Tbiry.

;**) Cette démonstration m*a été communiquée par M. Niewenglowski.

DE LA BÈGLG ET DE LÉQrERRE 3 il

Prenons arc AA.' = arc MM' = arc BB' : les cordes AM et A'M' seront égales. De même,

MB = M'B', AB = A'B'; ..^^^^^''Z^^^''^^^

donc le triangle AMB y^ y^'^' ^^^^^^

pourra se déplacer en X ^^''' ^'-'''''"^"^^'

restant égal à lui-même j^:/^'>??^-::^^==''"'^^^^^^^^ \

et en demeurant inscrit 1^:^^^^^^^^^^ ^

à la courbe; par suite, /^ /r^. ^so.

les normales en A, M, B

sont concourantes; ce qui revient à dire que la normale en un

point quelconque M passe par un point fixe, intersection des

normales en deux pointsparticuliers A, B. La courbe considérée

est donc une circonférence.

Supposons maintenant qu'un bassin de forme circulaire étant donné, on veuille en calculer le rayon (*).

Ayant choisi trois points A,B,G sur la circonférence du bassin, on pourra, au moyen d'un cordeau divisé, relever les longueurs BC = a, CA = 6, AB = c; puis, calculer le rayon inconnu R, au moyen de la formule

4VP(P - «)(P - ^)(P - 0) On pourrait prendre aussi quatre points A, B, G, D, sur la

périphérie du bassin, et utiliser la relation :

. „ ^, . cd)(ac + bi){afi -+- 6c)

«)(P - ^Xp - c)(p - d) Mais cette formule est encore moins commode que la précédente.

Au sujet de la formule (1), bien qu'elle soit assez compliquée, nous ferons une remarque d'un ordre général, voulant ainsi prévenir une appréciation inexacte, que Ton pourrait porter sur les solutions de la Géométrie pratique. Voici notre observation. La qualité, si l'on peut dire, de la solution d'un problème de Géométrie pratique dépend, avant tout, de la simplicité des

O Ce problème de Géométrie pratique ne doit pas être confondu avec celui que nous avons précédemment traité, quand nous avons cherché le rayon d'une tour circulaire. Entre deux points A, B, pris sur la circonférence d'un bassin, on peut tendre un cordeau divisé et, par suite, connaître AB; oette opération n*est pas réalisable dans le cas de la tour.

tracés qu'elle nécessite; la complication de la formule qu'on emploie est secondaire.

Plus les opérations, qu'il faut exécuter sur le terrain, seront réduites; moins elles exigeront d'alignements ou de coups d'équerre; plus faible, par conséquent, sera le nombre des droites qu'il faut jalonner ou chaîner; et meilleure sera la solution proposée. Quant aux formules auxquelles on a recours, il est sans doute désirable qu'elles soient simples; mais c'est là, relativement, une chose accessoire; du moins quand il s'agit de problèmes dans lesquels il n'est pas utile de calculer rapidement les éléments inconnus.

Quoi qu'il en soit, voici quelques autres solutions du problème qui nous occupe.

Prenons, sur la circonférence, deux points Â, B ; la distance AB peut être évaluée au moyen d'un cordeau divisé. Les tangentes en A, B, se coupant en R, S, on a

R« ÂB^ AS' ' On peut se dispenser de mener la tangente en B; on doit alors élever, en B, une perpendiculaire à AB; elle rencontre AS en M ; et l'on a

Fig. 334.

d» AB^ AM' d désignant le diamètre du bassin. Au fond, ces deux solu* tions sont identiques : elles ne diffèrent qu'au point de vue

pratique.

Il faut observer pourtant que cette méthode est assez imparfaite; la détermination des tangentes en A, B laissant prise à une certaine ambiguïté; à moins qu'on ne détermine rigoureusement celles-ci par une construction géométrique, analogue aux suivantes.

On peut d'abord, avec la fausse équerre, relever l'angle ACB; puis, mener AT, de façon que TAB = ACB.

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 343

Si Ton veut ne faire usage que du cordeau, on calculera la position du point T, oii la tangente en A rencontre BG, en utilisant la relation

TB Âl^

TG ~ ï^* '

On pourra, d'ailleurs, imaginer beaucoup d'autres solutions du problème que nous venons incidemment de soulever, problème ayant pour but la détermination de la tangente (ou de la normale) en U7i point d'une circonférence dans l'intérieur de laquelle on ne peut pénétrer.

Enfin, voici une dernière solution, pour la détermination du rayon du bassin circulaire.

Abaissons, de A, une perpendiculaire sur BG ; nous avons :