Problème I. — Jalonnons une droite AB perpendiculaire

à A ; nous obtenons ainsi, sur y, un point B. En G, dans une direction Bz perpendiculaire à BA, fixons un piquet et déterminons sur y le point D placé sur le prolongement de GB. On détermine ensuite, par des coups d'équerre, DP, PQ ; la perpendiculaire xy élevée au milieu de PQ est la droite cherchée.

Voici une seconde construction qui pourrait être employée, dans le cas oh le diamètre du bassin serait assez petit pour que l'on puisse, d'un point pris sur sa circonférence y, viser le point diamétralement opposé. Sur y, en un point quelconque M, on place un jalon; puis

en G, D l'on ûxe deux piquets, de façon que l'angle GMD soit droit.

On peut alors déterminer les points A, B oh les droites G M, DM rencontrent y. On abaisse les perpendiculaires AA', BB' sur A; PQ étant une perpendiculaire commune aux parallèles AA', BB'; la perpendiculaire xy élevée à PQ, en son point milieu H, est la droite demandée.

DE L\ RÈGLE ET DE l'ÊQCTERRE

Fig, 337.

144. Problème IL — Soient deux bassins circulaires y, ï'; on veut jalonner la ligne des centres <o, <o'.

On observera d'abord que ce problème est ramené au précédent, si Ton peut déterminer Taxe radical A' des cercles y, y'. Pour obtenir A, nous indiquerons deux procédés (*).

1® A.dmettons d'abord que y et y' soient assez rapprochées pour que Ton puisse, d'un point de y, viser les différents points de y'.

Prenons, sur y, deux points arbitraires A, B ; et, sur y', un point C, quelconque, lui aussi. Ayant relevé avec la fausse équerre l'angle obtus BAC, on déterminera, sur y', un point D d'où l'on aperçoit BG sous un angle a, supplémentaire de BAC; cet angle a, comme nous l'avons remarqué à diverses reprises, est donné d'ailleurs par la fausse équerre. Les droites BA, CD se coupent en un point T, appartenant à l'axe radical A. On cherchera, de même, un second point de cette droite et celle-ci se trouvera déterminée.

2<> Supposons maintenant que y, y' soient tellement éloignées, qu'on ne puisse, comme nous l'avons dit tout à l'heure, viser, de D, le point B.

La construction précédente est alors en défaut.

Gellequenousallonsindiquer est plus longue, m ais elle offre l'avantage d'être générale et de convenir à tous les cas.

Traçons, arbitrairement, une droite 8, extérieure aux cercles y, y'. On

Fig. 338.

peut, comme nous l'avons indiqué au paragraphe précédent,

(*) Où pourra, bien entendu, pour résoudre le problème actuel, imaginer beaucoup d'autres solutions. Ainsi, après avoir jalonné les tangentes communes intérieures on obtient Taxe radical en prenant les milieux de ces droites ; mais un pareil tracé est peu pratique.

34S ES'AI Sun LA GÉOMÉTRIE

obtenir les droites AB, A'B' qui, perpendiculaires sur h, passent respectivement par les centres de y./. D'après cela, BB' passe par le centre de similitude interne 5, des cercles y, ■{. Connaissant un point de la %ne des centres {*), on achève le tracé que nous avions en vne, en utilisant la construction indiquée plus haut.

Mais il se présente ici, dans l'ordre pratique, une difficulté que nous devons sigualer.

Les points B, B' sont, par hypothèse, assez éloignés pour qu'on ne puisse, de l'un, apercevoir le second. Dans ces conditions, it s'agit de jalonner BB'.

Ce prohlème nous a précédemment occupé, quand nous avons cherché (§§ 32, 33) à prolonger une droite dont les extrémités sont séparées par un obstacle; ou sont invisibles, pour un motif quelconque. Dans le cas présent, au lieu d'avoir recours aux constructions auxquelles nous venons de faire allusion, il est plus simple d'observer que BB' rencontre 5 en un point T tel que

ABAA' '^' - âB + AU-

On relèvera, avec le ruban divisé, les longueurs AB, A'B*, A A'; et, le point T étant connu, on pourra jalonner BT.

145. Détermination de la base d'essai. — Pour faire l'expérience de la vitesse '^ des bâtiments k

vapeur, on détermine la longueur d'une base 00', dans les condî- — "iS' tiens suivantes.

Deux points A, A' (balises, Fig. 339. clochers, séma-

(*) Pour avoir 1o point S, il faudra, bien entendu, tracer une seconde droite BB'. Il est plus simple de partner BB' dans le raiipott des rayons de y. Y) Bi l'on connaît ce rapport.

phores, etc.), définissent la route rectiligne que doit suivre le hâtimeot. D'autre part, suj la terre ferme, quatre points P> Q> P'> Q'» désignés d'avance, servent à fixer la situation de la base d'essai 00'. On relève les heures oii le navire, ayant atteint son maximum de vitesse, passe : 1® en 0, point en ligne droite avec P, Q ; 2" en 0', point d'intersection de P'Q' et de AA'. Pour calculer la vitesse cherchée, il reste senlement à connaître la longueur de 00'. On sait que cette distance, comme il est ordinaire de le faire dans les problèmes du même genre, s'obtient par un calcul trigonomét'ique; les éléments nécessaires à ce calcul étant fournis par des observations angulaire?, faites aux extrémités d'une base, de longueur connue .

Nous voulons montrer comment, par de simples chaînages, on peut résoudre le problème en question. Peut-être, en raison de certaines difficultés d'ordre malériel, la solution actuelle offre-t-elle des impossibilités pratiques? Nous la présentons, néanmoins, pour qu'on puisse la juger ; mais nous indiquerons, à la suite, deux solutions notablement plus simples.

Imaginons, par exemple, que l'espace U représente une plage de sable, sur laquelle, au moyen de grands piquets, on puisse aisément déterminer les jalonnements qu'indique la figure.

Nous obtenons ainsi, sur AA', un certain point cd ; et, par une proprfété connue, nous pouvons écrire

ÂA? "^ Â^ ^ ÂÔ '

Cette égalité permet de calculer AO.

En opérant avec P' et Q', comme nous l'avons fait avec P et Q, nous ca'culerons de même, AO'; la différence AO' — AO, des nombres ainsi obtenus, donne la longueur de la base d'essai 00'.

On observera qu'en déplaçant les points Q et Q', on obtiendra une base aussi grande que l'on voudra; les extrémités 0, 0' pouvant être, de la sorte, arbitrairement choisies.

Deuxième Solution. — Getle solution repose sur une transformation des figures que nous avons précédemment indiquée (§ 78); elle est particulièrement appropriée au cas où la base

ESSAI SUn LA GÉOMÉTRIE

d'essai, prolongée, pénètre dans la partie du rivage d'où Ton

peut apercevoir les bouées 0, 0' qui représentent les extrémités de la base d'essai.

SoitA un point pris sur le prolongement de 00\ Par A, on jalonne une droite AB, oblique sur 00' et une autre droite A, perpendiculaire ^^•^*^- à 00'; puis, par

le point B, on trace des perpendiculaires aux lignes de visée BO, BO'. On^oblient ainsi, sur A, les points <o, o)'. Ayant mené (o'K, parallèle à AB; co K, perpendiculaire à AB, on a, comme

nous l'avons démon-

tré au cité,