Théorème de Mac-Laurin et de Braiken

Fiff. 1S.

ridge (*). — Soient A, A' deux droites fixes et A, B, C trois

{*] Le théorème de Mac-Laarin et de Braikeoridge est plus général ; celui que nous donnons ici n'est, à proprement parler, qu'un corollaire de ce ihéol'ème» (Voy . notre Géométrie analytique^ p. 235.) On doit d'ailleurs considéi-er le

a ESSAI SUR LA Gèt)MÉtRte

points fixes situés en ligne droite ; par A, on mène une /rtfitj* versale mobile qui coupe 1 en V et A' en Q; les droites BQ et CV se coupent en un point I dont le lieu géométrique est une droite passant par le point commun.

Les droites GP et BQ coupent, respectivement^ OB et OC aux points R et S. Le théorème de Ménolaiis donne successivement

MP OQ AM

OP * NQ "" AN' OP RB CB MP ' RO ■" CM' NQ SO BN OQ • se "" BU* Multiplions ces égalités, membre à membre^ et nous avons

RB SO AM . BN

RO • SU "~ CM . AN* D'autre part, le théorème de Ménélaiis, appliqué de nouveau au triangle OBG et à la transversale TRS, donne encore

RB SO TB

RO • se ~ TG • Ainsi.

TB AM . BN

TG *"* CM . AN* Cette égalité montre que le point T est fixe, quand on suppose que la transversale APQ est mobile autour de A; le lieu du point I est donc la polaire de T par rapport aux deux droites fixes OB, OG (^).

19. Théorème de Pappus. — Sur les côtés d'un quadrilatère ABGD on prend deux points quelconques P, Q ; ayant mené les droites GP, AQ d'une pari, DP, BQ d'autre part^ on obtient deux points 0', 0" qui sont en ligne droite avec le point de concours des diagonales AD, BC.

théorème de Mac-Laurin et de Braikenridgc comme un cas particulier du théorème de Chastes, théorème relatif au lieu des points de concoui^ des branches correspondantes de deux faisceaux homographiques. Mais le cas très simple que nous examinons ici suffit aux applications que nous avons en vue. (*) Cette proposition constitue un des pdrismes attribués à EucUde (V. Chastes, les trois livres des Poristnes d'Euclide, p. 102).

DE LA nÈOLE ET DE L*ÉQUERRE 23

Cêttô rôodarquable propriété fait partie des trente-huit lemmes de Pappus qui ont permis de rétablir approximativement les trois livres des Porismes d'Eaelide, aujourd'hui perdus (*).

On peut la démontrer par des considérations diverses prenant pour base ; soit le théorème de Ménélatts, soit les propriétés bien connues relativesauxtransversales d'un faisceau de quatre droites concourantes. Ces démonstrations exigent toutes un A certain effort; et on peut éviter n"^ celui-ci en observant, avecChasles, que ce théorème de Pappus est un cas particulier du fameux hexàgramme de Pascal.

Considérons en effet la figure APBCQD comme constituant un hexagone dont les six sommets appartiennent à deux droites ; le théorème de Pascal nous apprend que les trois points O, D'O*^, sont en ligne droite. Ainsi. O'O' passe constamment ^

par le point quand on suppose que P et Q se meuvent arbi- o,

trairement: le pre- / X » X \L^5?«*o

mier sur AB, l'autre sur CD.