LES PROBLÈMES FONDAMENTAUX

21. — Nous pouvons aborder maintenant la solution de certains problèmes qui intéressent tout particulièrement la géométrie de la Règle et de TÉquerre. Quelques-uns, parmi eux, sont très simples; nous passerons alors rapidement sur leur solution, en nous bornant à indiquer celle-ci; d'autres méritent de fixer un peu plus Tattention et nous les exposerons avec les détails nécessaires.

Les problèmes qui vont nous occuper rentrent nécessairement dans ceux qui sont dits du premier degré(^); nous ne pourrons, bien entendu, aborder ceux du second degré ou, plus généralement, les problèmes quadratiques (problèmes réductibles au second degré) puisque nous nous refusons Tusage du compas, instrument indispensable, du moins avec la restriction que nous allons faire connaître, à leur solution. A ce propos, nous ferons observer ici que certains problèmes du second degré, proposés dans la géométrie de la règle, n'ont élé résolus, parles méthodes qu'elle peut présenter, que grâce à un point d'appui dont l'usage dénature complètement l'esprit et le but de cette science; et c'est ce que Poncelet a nettement établi, en montrant « qu'un seul cercle, décrit

(*) Cremona, G éomél rie projectile ^ p. 180. {*) Chasles, livre cité. p. 130 [Porisme xxix].

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQIJBRRE 25

une fois pour toutes, pouvait servir à résoudre tous les problèmes du second degré (*) ».

A cette idée correspond, au point de vue du dsssin, une géométrie particulière (**) que nous n'avons pas a envisager ici, géométrie fort curieuse d'ailleurs, et dans laquelle on se propose la solution des problèmes quadratiques, en s'accordant seulement la présence d'un cercle dans le plan du dessin (***).

22. — C'est encore une idée de ce genre, qui préside k la solution de certains problèmes de la géométrie de la règle, problèmes dans lesquels on se propose de mener des parallèles avec la règle seule et sans le secours de l'équerre ; ou, ce qur revient au même, de la fausse équerre.

Parmi les questions qui rentrent dans cette dernière catégorie nous indiquerons le problème suivant qui a été traité par Lambert (****) : par un point donné dans le plan d'un

(*) Idem, p. 182.

(**) Steiner a dévploppé celle géoméirie dans un livre ayant pour titre Die geometrischen Konstructionen ausgefiihrl mitfeht der geraden Linien vnd eines festen Kreises (Berlin, 1833).

(***) Nous citerons, à l'appui de ce que nous avançons ici, le problc^me proposé dans les Annales de Gergonnb [t. I, p. 259) dans les ternies suivants : Trois droites indéfinies étant données de position par rapport à une courbe quelconque du second degré, et dans un même plan avec elle; onpropose de construirey en n'employant que la règle seule vent, un triangle dont les ti'ois côtés soient des tangentes à la courbe et dont les sommets se trouvent sur trois droites données.

Ce problème a été résolu par Servois (toc. ci/., p. 337) etparRocBAT (loc, cit,, p. 342). Il parait soluble par l'emploi de la règle parce qu'une cotiique est tracée dans le plan du dessinj mais c'est vraiment un problème du second degré et la règle seule ne peut suffire à la soluti(>n des problèmes de celte espèce. Dans le cas présent, si Ton se reporte aux solutions données par Servois et Rochat, on reconnaît précisément qu'elles exigent, à un .certain moment, la connaissance des points communs à la conique donnée et à une certaine droite que l'on a construite. Ces points se déterminent si la conique est tracée; dans le cas contraire, il faut avoir recours à la construction des points doubles de deux divisions homographiques ; or, celle-ci exige l'emploi du compas.

Enfin, pour résumer en quelques mots toute notre pensée sur ce point, il est aussi impossible de traiter les problèmes du second degré pir la règle, que de résoudre ceux du troisième degré avec le compas.

(*♦**) Lambert, Freie Perspective, t. II, p. 169 (Zurich, 174). — Voyez aussi Crémona, loc. cit., p. 80.

ESSAI SCR La GÊOMÊTtlie

parallélogramme mener j au moyen de la règle seule^ ta parallèle à une droite située dan» le même plan. On voit de suite quel est le point d*appui de la construction proposée; celle-ci ne devient possible avec la règle seule (j'entends la règle dans le sens ordinaire du mot; non pas la règle plate, bien entendu, mais, si Ton peut dire, la régie à une dimension) que grâce à la présence du parallélogramme qu'on suppose tracé dans le plan du dessin.

Si Ton accorde la règle plate, le problème qui consiste à mener f par un point donnée une parallèle à une droite également donnée se résout sans qu'il soit nécessaire de connaître un parallélogramme dans le plan du dessin; la règle plate permettant de tracer des parallèles équidistantes et, par suite, (les losanges.

23. — Voici d'ailleurs, pour marquer par un exemple toule Tulllité de la largeur donnée à la règle plate, comment le problème précédent a été résolu par le général de Coatpont (*).

Soit A la droite proposée ; par le point donné Â, on propose de mener une parallèle à cette droite. On place la

A * /^ A^ A^é' règle dans la position 1, de façon que l'un do ses bords passe par A ; on marque les points B et B', puis on fait occuper à la règle les positions successives 2, 3, 4, en traçant successive-

Fig. ^.5.

ment les droites a, (B, y- La droite AD obtenue, comme le montre la figure, est la parallèle cherchée.

24. — Nous allons maintenant quitter ces généralités; mais il nous a paru nécessaire, avant de nous engager plus

(*) Nouvelle Correspondance mathémaliqm (t. III, 1877, p. 205),

DE LA HÈQLË ET DM L'ÉQUëHRE ^7

profondément dans notre sujet, de bien définir lôs limites que nous lui avons tracées, et que les explications qui précèdent mettent, croyons-nous, suffisamment en lumière.

Et, pour nous résumer ici, il est donc bien entendu que la géométrie pratique que nous développons vise uniquement les problèmes du premier degré, pour la solution desquels elle adopte la fêglë ordinaire, la règle plaie, Véquerre et la faussé éqtiefre. Dans les opérations faites sur le terrain, opérations qui seront développées dans la seconde partie de ce livre, nous nous accorderons aussi le c^rdeuu* Une simple ficelle, comme dirait Servois, fait tout cet instru* ment ; mais nous montrerons alors le parti qu'on en peut tirer.

Cela dit, nous abordons TexpositloU de quelques problèmes qui sont d*un constant usage, et que, pour ce motif, nous appelons problèmes tondamentaux. Pour quelques-uns d'entre eux, nous ne ferons usage que de la règle seule; pour d'autres, nous utiliserons la règle et Féquerre; mais, dans tous les cas, nous nous interdisons formellement Temploi du compas. Enfin, pour éviter toute ^

confusion, nous aurons soin de spécifier toujours la règle plate, quandnousnousenservirons;sinon, le mot « règle » désignera Tins-

Irument dans son sens ordinaire. P^i^ ■/- Ab

25. — Problème I. Partager un \ / y-' «^rnenf AB en deux parties égales, \ / y''

Avec la règle et Téquerre on V> '

trace des parallèles qui forment ^

un parallélogramme, dans lequel ^' *

AB est une diagonale. La droite CD passe par le milieu de AB.

26. — Problèsib II. Étant donné un segment AB, sur une étroite indéfinie A, porter ce segment sur A, à partir d'un certain point 0, donné sur A.

On Iface, d'abord, une droite A' parallèle à A, puis ou

ESSAI SUR LA GtOMÉTRIB

tig. 4

forme successivement les parallélogrammes ABCD, GDOM.

Il résulte de cette construction que OM = AB.

On peut donc, avec la règle et réquerre, porter des longueurs déterm inées, sur la droite

qui les contient, ou sur des parallèles à celte direction, à

partir d'un point donné.

27. — Problème III. Prendre le symétrique d'un point A, par rapport à vn autre point B.

Q x> ^® problème peut, mani-

fesiement, être considéré comme un cas particulier du précédent. Il suffit d'appliquer la construction que nous avons indiquée tout à rheurc, comme le montre

Fig. 48.

la figure ci-contre. Le point A', ainsi obtenu, est le syraé trique de A, par rapport à B.

28. — Problème IV. Porter une longueur donnée AB, sur une droite indéfinie A, inclinée de 60° sur la direction de AB, à partir d'une origine donnée 0.

Projetons, avec Tcquerre, les points A et B, sur A; puis, prenons, comme nous venons de le montrer au paragraphe précédent, le point A" symétrique de A', par rapport à B. Nous avons évidemment A'A" = AB et, pour achever la construction proposée, il suffira de porter A' A", à partir de l'origine 0, comme nous l'avons indiqué plus haut (§ 26).

C'est ici le lieu de faire observer que la règle, dans le sens ordinaire de ce mot, ne suffit pas, comme nous l'avons fait observer dans la préface de ce livre, pour résoudre, dans le cas général, le problème que nous venons de traiter dans deux exomplos particuliers. Nous allons d'ailleurs nous occuper,

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 29

dans le paragraphe suivant, du cas général; mais en

Fig, 19,

prenant la règle dans le sens que lui a donné le général de Goalpont, et que nous avons rappelé.

29. — Problème V. Porter un segment AB, sur une droite donnée A.

/' Fig. 20.

Si nous disposons la règle plate, à bords parallèles, suc. cessivement, comme l'indique la figure, la droite OM est visiblement la bissectrice de l'angle formé par AB avec une des directions de A. Après avoir tracé les droites U et V.

BttiAI bUfl LA GÉOMÉTRIC

puii OM, si noui abaissons sur oelle«ci des perpendieulairai AÂ.', BB', noas obtenons, sur A, deux points Â' et B". La longueur A'fi' est égale à AB.

Si Ton veut porter AB à partir d*unc origine donnée sur A on aura recours à la construction indiquée plus haut (§ 26):

' 30. — Problème VI. Tracer la bissectrice de deux directions données.

Si Ton veut obtenir, avec la règle plate, la bissectrice des semi-droites OA, OA' on placera cette règle, successivement, dans les deux positions indiquées ci-dessus (fig. 20) ; la

f^ droite OM, comme nous l'avons

déjà remarqué, est la bissectrice cherchée.

31. — Problème VII. Par un point donné M, mener une droite qui soit partagée m deux parties égales par ce point et par deux droites données A, A'.

On mène par M (fig. 21) des pa- ¥ig- ^/. rallèlesMA, MB aux droites A, A';

la droite cherchée CD est la parallèle à AB, tracée par M.