Problème VIII. Étant données deux parallèles A, A
mener, par un j>oint donné P, avec la règle seule, une parallèle à ces droites.
Ayant tracé, dans Tordre indiqué par les chiffres , placés sur la figure, les droites i, 2,..
Fij. 9?.
7 ; on déduit par cette construction, du point P, le point
DE LA fdiGLG ÏT PC l'ÉQÇKRRE Ai
Q, La droite PQ, pour des msoQ9 connues, ou faciles à trouver, e3t parallèle à A et à à\
Ce problème est d'ailleurs un cas particulier du suiyaut. également bien connu.
33. — Problème IX. Joindre un 2^oint donné P au point commun à deux droiêes tracées \,^'',cepointde concours étant inaccessible, en ne se servant que de la règle.
Ce problème se résout, avec la règle seulement, par une construotion iden tique à celle que nous avons indiquée au paragraphe précédent et que la figure ci-dessus rend suffisamment explicite.
34. — .Problème X. Trois droites A, A', A', étant tracées sur
Fig, %3.
Vig. 14
un dessin^ mais leur rencontre ayant lieu en dehors des limites de Fépure, vérifier avec la régie seule qu'elles sont concourantes.
Ayant pris uu point P, arbilrairemeut d'ailleurs, mais dans les limites de l'épure, on trace par P deux transversales quelconques o, 8' et Ton achève la construction indiquée par la figure. Eu supposant que A, A', A" soient concourantes, on sait que 00' représente la polaire du point commun R, par rapport au couple S, S'; d'ailleurs cette polaire doit passer par P. Ainsi, les trois points 0, 0', P sont en ligne droite, si A, A' et A'' sont concourantes. La réciproque est vraie.
35. — PuoDLÉUE XI. Étant donnés tirais points en ligne droite 0, 0), 0'; trouver, avec la règle seule, le point w', conjugua harmonique de w, par rapport au segment 00'.
On trace d'abord les droites i, 2, 3, en joignant avec la règle un point arbitraire P aux trois points donnés 0, w, O'; on prend ensuite Q, arbitrairement d'ailleurs, sur a>P; enfin, on achève la construction par le tracé des lignes 4, 5, 6. Le théorème relatif aux diagonales d'un quadrilatère complet indique que ta est le point demandé.
DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 33
Cette construction bien connue, pour trouver le quatrième élément d'un groupe harmonique, paraît avoir été imaginée par De la Hire (*). Le problème I, traité plus haut, peut être considéré comme un cas particulier de celui-ci, en supposant que (o est le point situé à Tinfini sur 00'.
36. — Problème XII. ÉCant données trois droites ^ PO, Pw, PC; trouver la droite P<o', rayon conjugué harmonique de Po) par rapport au cmiple PO, PO'.
Ce problème est analogue au précédent; et, comme celuici, sa solution n'exige que Tusage de la règle.
37. — Problème XIII. Étant donnés quatre points a, b, c, d iune part sur une droite A ; et trois autres points a', b', c' sur une droite A', trouver un point à' sur ùk tel que le rapport anharmonique (a, b, c, d) soit égal au rapport anharmonique (a', b', c', d').
Ce problème bien connu se résout, comme Ton sait, en joignant dd et en faisant sur cette droite, en a\ a, p, df la perspective du groupe a, 6, c, d; puis, avec un nouveau point de vue, placé à l'intersection des droites aV, pc\ la perspective du groupe a', a, p, d, sur A' en a', b\ c/ d\ On a
{a, b, c, d) = (a', a, p, d), et
(a', a, p, d) = {a\ V, c\ d) ; par suite 9
38. — Problème XIV. Prendre le syméti'ique dun point donné 0, par rapport à une droite A, également donnée de position.
On trace d'abord le parallélogramme OABC; ayant mené
(*) Be LA HiEE, Sectiones Conicœ [Parisiû, 1685], I, 10. — Voyez aussi Crehoïia, Ioc. cit.j p. 40.
A' parallèle à A, puis A' perpendiculaire à A, le point 0' situé à rintersection ae A' et de A' est le point cherché.
Cette solution exige, hien entendu, l'emploi de la règle et de réquerre.
39. — Problème XV. Ccnisiruire le sixième point d'une involution, connaissant cinq points de cette involution.
On sait que c'est à Desargues que Ton doit attribuer l'idée première de l'involution. Lorsque six points sont en ligne droite, ils ne constituent pas, en général, une ponctuelle en inyolution, et, pour qu'il en soit ainsi, il est nécessaire et suffisant que la ponctuelle considérée puisse se séparer en deux groupes {a, 6, c; a\ b\ c'), de telle façon que les cercles décrits sur aa% W, cc\ comme diamèti^es, aient le même axe radical.
Le théorème de Desargues, pris dans son interprétation la plus générale, peut être exprimé dans la forme suivante : Trois coniques ayant les mêmes points communs déterminent sur une transversale quelconque six points en involution.
En appliquant cette propriété aux trois coniques aplaties qui passent par quatre points donnés, on obtient un corollaire du théorème précédent. Ce corollaire, visant le quadrilatère complet et ses diagonales, peul se démontrer directement;
DK LÀ RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE
il permet évidemment, avec la règle pour tout instrument, de construire le sixième point d'une involution. Cette remarque a d'ailleurs été faite depuis longtemps (*).
