AH. A'H A'D

[*] Journal de Mathématiqitts qiéeiales; 1882.

44 KSSAI SUR LA GÉOMÉTRIC

Cette relation, rapprochée de (1), prouve que

AD h*

Ainsi, le lieu décrit par le point y. est une droite A, perpendiculaire à A'A, en un point D qui partage extérieurement le segment AA' dans le rapport des carrés des axes de Tellipse proposée.

On doit observer que la démonstration précédente s'applique manifestement au cas où Ton ferait la construction

Fig. 32.

indiquée, en prenant le petit axe de Tellipse, au lieu du grand axe.

48. Problème. — Construction de V ellipse, point par point, au moyen de la règle et de Véquevre, connaissant trois sommets.

Le théorème que nous venons de démontrer conduit immédiatement à la solution de ce problème. .

Soient A, A', B les trois sommets proposés ; appliquons au point B la construction que nous avons effectuée au point M avec les cordes AM, A'M. Nous aboutissons ainsi à un point G (l'angle BAC étant droit) qui appartient à A; cette droite s'obtient donc en abaissant de G une perpendiculaire sur AA',

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUSRRE 45

D'après cola, si nous prenons un point fji, arbitrairement, sur A, avec la règle et Téquerre nous aurons le point cor-

Fig. 33,

respondant M et nous pourrons, dans ces conditions, construire l'ellipse, point par point.

49. Construction de la tangente. — Première solution, — Pour expliquer la construction que nous allons indiquer pour la tangente à l'ellipse, par un point donné sur la courbe, au moyen de la règle et de Téquerre, considérons d'abord un cercle et, dans ce cercle, deux diamètres rectangulaires A.A', hb\ Prenons sur la circonférence un point m, puis eflFectuons la construction indiquée par la figure; nous allons montrer que la tangente mT passe par le milieu dePP'.

En effet, les angles i et 2 sont égaux, comme ayant le

même complément a. D'autre part, nous avons, pour des

raisons évidentes, ^

7= î = 4; d'où nous concluons

La droite mT est donc, dans le triangle rectangle PmP', la médiane correspondant au côté PP',

KS9ÀI SUR LA GtOMÊTRIl

ReportoDS-nous maintenant à la fig. 33 et considérons l'ellipse comme la projection du cercle principal, lorsqu'on a fait tourner celui-ci, autour de AA', d'un angle convenable. Los droites m6, mV ont alors pour projection, respectivement, MB, MB' et celles-ci coupent AA' précisément aux points P et P' ; mT a pour projection MT, droite qui est la tangente à l'ellipse au point M'. D'après cela, MT passe par le milieu de PP' et pour obtenir la tangente MT, avec la règle et l'équerre, il suffit de compléter le parallélogramme

Fig, Si.

PjiiIP'R; la seconde diagonale MR est la tangente cherchée.

Seconde solution. — Considérons dans la fig. 34 le point de rencontre r, de mT, avec la tangente au cercle, au point A. La droite rO est perpendiculaire sur Am ; conséquemment, elle est parallèle à A!m. Nous concluons de cette observation que les deux triangles sKV, rOA sont égaux et que, par suite, rs est parallèle à AA'.

Si nous considérons maintenant, comme tout à l'heure, la projection de cette figure sur le plan de l'ellipse considérée, la droite rs se projette suivant une droite RS parallèle à AA

Fig, 85.

et nous déduisons, de cette remarque, la construction suivante.

Soit M le point considéré sur Fellipse, dont trois sommets A, A', B sont donnés ; au

point A élevons AJJper- ^

pendiculaire sur AA! ; S étant le point de rencontre de MA' avec Vaxe OB, on mène SB. parallèle à KM; RM est la tangente demandée.

Remarque. — Les propriétés sur lesquelles nous avons basé les deux constructions précédentes sont projectives; nous pouvons donc faire observer que Tune et l'autre peuvent être appliquées dans le cas ou Ton donne, en position et en grandeur, deux diamètres conjugués de la courbe.

50. Cas de l'hyperbole. — La construction que nous avons indiquée tout à l'heure pour le tracé de Tellipse, point par point, au moyen de la règle et de Téquerre, subsiste pour rhyperbole, avec une modification que nous allons faire connaître.

Montrons d'abord que le théorème qui sert de base à la construction citée est encore vrai pour l'hyperbole.

Reportons-nous à la fig. 52 et supposons que, dans cette figure, jx représente un point de l'hyperbole. Nous avons donc

ou

jnP (DO + a)(DO — g) DA^ . DA '^~ a* "" a* '

D'autre part, les égalités (A) établies plus haut (§ 47)

prouvent que

AH [lD AH "".AD . A'D*

Cette égalité, combinée avec la précédente, donne enfin