CHAPITRE VI

TRACA DBS CONIQUES (eXAMEN DE QUELQUES CAS 9AltTlCULIIEs)

66. Considérations générales. — Nous nous proposons maintenant d'examiner plusieurs cas particuliers intéressants qui se rencontrent assez souvent, soit dans les problèmes de la géométrie ordinaire, soit aussi dans les épures de la géométrie descriptive. Pour ce motif, ces problèmes divers méritent de fixer notre attention; mais, à ce propos, il est peut-être utile d'expliquer ici comment les solutions des problèmes de la géométrie descriptive peuvent, dans certains cas, se trouver en contact avec les questions de géométrie pratique que nous développons dans ce livre.

Pour mieux fixer les idées par un exemple simple, admettons qu'en cherchant la section plane d'une Quadrique, des raisons de symétrie, ressortant immédiatement et naturellement de la nature de la question traitée, nous aient permis de déterminer sans effort deux sommets A et B de la projec» tion. Pour trouver d'autres points de la courbe, et, ainsi, préciser son tracé, nou« pourrons opérer de deux façons très différentes.

Si

ESSAI SUR LA GiOMÉTRII

Ou bien, serrant do plus près la solution indiquée par la géométrie descriptive, nous déterminerons successivement différents points de la courbe, ce qui constitue la méthode naturelle dans le tracé d'une épure; ou bien, de la connaissance des sommets A et B et de celle d'un troisième point quelconque G, nous déduirons la construction de la conique, point par point; par exemple, par le procédé que nous avons indiqué précédemment (§ 48).

Si Ton ne veut pas admettre, en théorie du moins, l'introduction de constructions semblables dans les épures de la géométrie descriptive, on accordera pourtant que, dans la pratique, et grâce à leur extrême simplicité, elles peuvent servir de vérification utile aux résultats qui ont été obtenus par des tracés ordinairement plus compliqués.

Quoi qu'il en soit, voici quelques problèmes relatifs au tracé des coniques et qui ressortent de la géométrie de la règle et de l'équerre.

66. Problème I. — Consh-uire une parabole coîmaUsani Vaxe A et deux points k et B,

Nous allons ramener ce problème à l'un de ceux que nous

Fig. 40.

avons déjà traités (§ 51), en déterminant la position du sommet de la parabole en question.

DE LA RÈ6LE ET DE l'ÉQUERRE 33

Supposons le problème résolu; le sommet S, les points A et B, leurs symétriques A', B' par rapport à A, et enfin le point qui est à Tinfini dans la direction de A peuvent être considérés comme constituant un hexagone inscrit dans la parabole considérée. En appliquant à cet hexagone, comme l'indique la figure, la construction de Pascal, on détermine d'abord le point T, puis la droite TG qui est perpendiculaire à A. Le point G une fois connu, on joint A'G et cette droite coupe A au point cherché S.

Autrement. — On peut encore déterminer le point S, par des considérationsplusélémentaires,commenousallonsle montrer.

Des points A et B abaissons des perpendiculaires AP, BQ sur Taxe donné ; les droites AQ, BP se coupent en R, et nous allons démontrer que la parallèle à Taxe, menée par R, rencontre la tangente au sommet, au même point que AB.

La propriété fondamentale entre rordonnée et l'abscisse d'un point de la parabole, donne

aP BQ^ (BQ- AP)(BQ+AP)