AP' = (AP - AP . BQ = SM(AP + BQ
L . J 4 L SM ~ AP ^ BQ"
D'ailleurs, une propriété connue (§ 14), appliquée au tra-
tSSAf 8011 LA GÉOMAtRIS
pèse ABPQ, donne encore
RH ~ AP ^ BQ* On a donc
SU s RH,
et Ton peut ainsi, très simplement, déterminer : 1° le point M,
if^ le sommet S de la parabole» avec la règle et Téquerre.
67. Remarque. — Nous voulons encore faire observer que le paramètre de la parabole peut se trouver très simplement, comme nous allons l'indiquer.
Soit I le milieu de AB ; projetons ce point, en U, sur Taxe donné;. puis, en I, élevons une perpendiculaire à AB; cette
dernière dioite rencontre Taxe en V; UV représente le paramètre p de la courbe.
Cette propriété se- voit rapidement par la considération des diamètres et on s'appuyant sur le théorèmo analogue à celui qui est relatif à la sous-nor-
maie. Mais la démonstration suivante est peut-être plus directe et plus élémentaire.
Soit S le sommet de la parabole ; on a d*abord
AP* = 2pSP et BQ* = 2pSQ, d'où Ton déduit
(BQ - AP)(BQ + AP) = 2J9 . PQ.
Ayant mené AD parallèlement à Taxe^ cette égalité peut
s'écrire
BD.IU=i}.AD. (1)
Mais les triangles semblables ABD, lUV donnent
La comparaison des égalités (1) et (2) prouve que
lU = p.
Il est remarquable que, dans les conditions données
DE LA BÈGLB IT DE l'ÉQUERRE £6
(deux points et Taxe), on puisse déterminer, avec la thgh$ et réquerre, le sommet et le foyer de la courbe. Bn effet» la oonnaissance du point S et celle du paramètre dont la longueur est égale à UV, permettent de fixer la position du point F, SF étant là moitié de UV.
68. Problème II. — Proposons-nous maintenant de construire, point par point, une parabole circonscrite à un trapèze donné. Le problème qui consiste à faire passer une
Fig. 4S.
parabole par quatre points est» en général» un problème du second degré; il comporte deux solutions et» par ce fait môme, ressort de la géométrie du compas. Mais on peut observer qu'il s'abaisse au premier degré dans le cas particulier qui va nous occuper; la cause en est que les bases du trapèze proposé constituent une parabole singulière passant par les points donnés ; il n'y a donc plus qu'une seule parabole circonscrite à ce trapèze, et nous allons montrer comment on peut la construire, point par point, en faisant usage uniquement d'une règle et d'une équerre.
La propriété que nous avons établie plus haut (§ 36) ne s'applique pas seulement à l'axe et à la tangente au sommet
86 ESSAI SUR LA GÉOMftTRU
de la parabole; elle est encore vérifiée pour un diamètre quelconque et pour la tangente à l'extrémité de ce diamètre; la démonstration même que nous avons donnée prouve le fait que nous avançons, puisqu'elle n'exige, en aucune façon, que
les triangles consi- ^ dérés soient rectangles, mais seulement semblables.
D'après cela, soit ABGD le trapèze proposé; les points E, G déterminent le diamètre ox conjugué des cordes AG et BD. D'autre part, des points connus P et Q, on déduit H.
En menant par H une parallèle à ox *^* ' j usqu'à sa rencontre
en K avec AB, le point K, d'après la propriété rappelée, appartient à la tangente à l'extrémité du diamètre EG. Finalement, on a donc cette tangente en traçant, par K, une parallèle aux bases du trapèze.
Il nous reste à montrer comment on peut, dans ces conditions, tracer la parabole point par point (*).
Les données que nous nous accordons sont : 1® un diamètre ox; 2* la tangente oy à l'extrémité de ce diamètre; 3" enfin, un point A. Par A, traçons deux transversales arbitraires, qui rencontrent : l'une oy, au point G ; l'autre ox, au point G'. Menons ensuite GD parallèlement à ox, jusqu'à sa rencontre avec AG', au point D; enfin complétons la construction, comme l'indique la figure; le point B, ainsi obtenu, représente le second point d'intersection de la transversale AG avec la parabole.
(*) Pour éviter des répétitions conti Quelles, il sera toujours sous-eotéado qne le tracé visé doit élre effectué avec la règle et requerra.
DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE o"
En eSety nous avons (§ 14)
DK HC ^ AP' et, par suite,
OC BQ ^ AP • Ainsi, B est bien le second point d'intersection de AB avec la parabole qui correspond aux données énoncées plus haut.
58. Remarque. — Si Ton donne le sommet S, Taxe A et un point A d'une parabole P, le foyer de cette courbe peut s'obtenir par >^ / la construction que nous ^^^^ / allons indiquer. — V^ % / J \y
Abaissons AP perpendi- \ / ^^ - •
culaire sur A et prenons \ / ^^
ST == PS ; AT est la tan- \y^
gente en A à P, Sur AT *
construisons un rectangle /'*y. 40.
ATBN, la diagonale AB coupe A en un point F qui est le foyer de la courbe.
En effet, nous avons
