SF + TS = FP + PN

et

FP = SP — SF.

Si nous ajoutons ces deux égali tés, puis si nous observons que

TS = SP, et que la sous-normale PN est égale à jt), nous

obtenons l'égalité

2SF = p,

laquelle prouve bien que F est le foyer de P.

60. Problème III. — Construire une hyperbolef point par point, cotmaissant les asymptotes A, A' et un point A. de la courbe.

On sait que, dans l'hyperbole, pour une transversale quelconque, le milieu de la corde coïncide avec le milieu du segment intercepté sur la transversale considérée par les asymptotes A, A'. D'après cela, après avoir mené par le point A une sécante qui rencontre les asymptotes aux

as KSftAI SUE LA CtOMÉTEIt

points BetC, on détermine le milieu de BG; enfin, on

prend le point A' symétrique de A par rapport à 0.

Toutes ces constructions n'exigent que l'emploi de la règle et de requerra; la figure ci-contre les Indique suffisamment.

Quant à la tangente en A.\ on sait qu'elle s'obtient

Fig, 46.

en traçant par A' une droite limitée aux asymptotes et partagée par le point A' en deux parties égales. Cette tangente est donc parallèle à la droite PP'.

61 . Problàme IV. — Construire une hyperbole^ point par points connaissant une asymptote A et trois points A, B, G de la courbe.

Ce problème se ramène immédiatement au précédent en observant que la seconde asymptote ^ est la transversale réciproque de A par rapport au triangle ABC»

82. Problème V. —Construireune hyperbole^ pointparpoint, connaissant^ de position, les asymptotes A, A' 6/ une tangente AA'.

Par les points A, A' menons deuxparallèles quelconques AB', A'B; les triangles semblables A'OB, AOB' donnent la proportion

OA' OB

ÔW~ OA* Nous avons donc

OA' . OA s=z OB' . OB.

Cette égalité qui résulte aussi^ si l'on veut, de l'équiva-

ytg. 47.

DE LÀ IIÈGLX ET DE L'ÉOVXRHE

lence évidente de» deux triangles A'OA, B'OB, prouve que BB' est une droite tangente à l'hyperbole considérée. Pour avoir le point de contact il suffit, par application d'une propriété connue, de déterminer le milieu m de BB' ; ce point s'obtient, comme l'indique la figure, au moyen du parallélogramme BOB'C.

63. ProUème VI. ^— Consinùt^ô une parabok conmiHant dmx tangenicê OA, OB, et les poinlB de Gontaoi Â. 4l 9*

Cherchons à déterminer la tangente parallèle à AB et son point de contact. La diagonale OG du parallélogramme OABU est le diamètre conjugué des cordes parallèles à AB» La sous-tangente étant le

double de l'aboi sse, en ^^ I ç

construisant le parallélogramme DOMN, le point I représente Teitrémité du diamètre OG. Finalement, nous connaissons

une tangente MN, le point de contact I, Je diamètre IG et un Rtttre point A, sur la parabole. Dans ces conditions, le problème peut être considéré comme résolu; nous avons indiqué plus haut (§ 58) comment on pouvait construire la courbe, point par point.

Autrement. — Mais, si Ton préfère, on peut construire la

courbe tangente par tangente en appliquant la remarque

suivante. Prenons sur OD, médiane du triangle AOB, deux

points MM' tels que OM = M'D, et par ces points menons

des parallèles à AB ; nous déterminons ainsi deux points P

etQ. La construction indiquée

donne

OP BQ

AP "^ OQ"

Une propriété connue prouve que la droite PQ est tangente à

la parabole. On obtiendra ainsi, Fig. 49. ^^:. . ji

^a faisant varier les points M, M'» autant de tangentes que l'on voudra à la parabole proposée.

BS&AI sua LA GtOMÉTBIl

Si nous prolongeons PQ jusqu'à sa rencontre en R ayee AB et si nous prenons le point R' conjugué harmonique de B par rapport au segment ÂB, la droite OR' étant la polaire de R coupe PQ en un point I qui est justement le point de contact. La parabole se trouve ainsi construite; non Beulement tangente par tangente, mais encore point par point.

64* Remabqub. — Dans le problème qui vient de nous occuper on peut aussi déterminer immédiatement deux tangentes particulières de la parabole» droites qui, avec les deux tangentes proposées, forment un système de quatre tangentes à la courbe que Ton veut construire. Cette remarque a son importance parce que son application ramène le problème ^ . présent au cas général

/n visé plus loin.

Voici comment on obtient les deux tangentes dont nous voulons parler.

Considérons une parabole P inscrite dans Tangle ACB; si nous ^ joignons un point quelconque de la courbe, le fig, so. point M par exemple, aux sommets C, A, B, nous avons :

MAB* = 4MAG. MBC (*), ou, dans le système des coordonnées barycentriques,

Si nous partageons CA et CB en trois parties égales, la droite A'B' a pour équation

ma +np -f PY = o; celle-ci doit être vérifiée : 1« par p = o, et 27 = a; *» par a = o, et 26 = y; nous trouvons, d'après cela,

21W -j- p = o, et n -|- 2p = o.

(*) Cette relation très simple est connue, nous laissons au lecteur le soin de la vériOer.

Dl LA B&GUB ST DB l'ÉQUSRBE 61

Finalement, l'équatioii de A'B' est

Il est facile de yérifier que cette droite est tangente à la

Fia. 54.

parabole considérée P; le contact a lieu sur la droite qui correspond à Téquation 4y — a = o; d'après cela, le point de contact I s'obtient, comme l'indique la figure, en traçant la diagonale AD du parallélogramme ABCD.

' Un calcul tout semblable montrerait que A'B" est, elle aussi, taDgente à P. Ce dernier point, évident d'ailleurs, est encore vérifié en observant que la parabole jouit de la propriété intéressante que nous allons établir.

65. Théorème. — Si Von considère une parabole P inscrite dans Vangle CA.B, A e^ fi désignant les points de contact, une tangente A admet, par rapport aw triangle CAB, une transversale réciproque A^; cette dernière droite- est encore wtie tangente à P.

En effet, si l'on cherche la condition que doivent vérifier les coefficients m, n, p de l'équation

mcL + np +PT = o> pour que la droite A qui lui correspond soit tangente à P, un calcul immédiat donne

p« = mn. (1)

D'autre part, en se reportant à la définition des transver* sales réciproques (§ 9) on voit que l'équation de A' est

Diaprés (1), la condition

p* mn* étant vérifiée, A' est tangente à P,

ISftAl SUR LA OtOMiTMi

La parabole P et les deux paraboles analogues août, d'après cette observation/ des onallagmotiques dans notre méthode de transformation par transversales réciproques, méthode à laquelle nous aurons occasion de faire, dans le chapitre suivant, d'autres emprunts. Par anallagmatiques, nous entendons, en généralisant l'expression que M. Moutard a introduite dans la transformation par rayons vecteurs réciproques, des courbes qui, dans une méthode de transformation donnée, se correspondent à elles-mêmes.

Voici un autre problème où nous trouverons une application naturelle de la remarque précédente.

66. Problème VII. — Construire une parabole P, connaissont trois tangentes AB, AC, BC et le point de contact O, sur Vune d'elles.

Déterminons d'abord le point de contact 0' de P avec AG.

tJne propriété connue, déjà rappelée (§ 63), nous donne