B OA

AG ~ OA' D'aprëg cela,* si nous prenons AD ^ OB, la diagonale AP du parallélogramme AGDP représente la direction des diamètres de P. De cette remarque nous déduisons, comme l'indique la figure, et au moyen du parallélogramme A0QO% le point inconnu 0'. Nous sommes ainsi ramené au cas précédent et, en prenant O'E = GA, la droite DE transversale réciproque de BG par rapport au triangle AOO', est> cojnme

DE liA HftfiLB KT DU L'tûUSRRE 63

nous YQuons de l'observer au paragraphe précédent, une quatrième tangente à la parabole considérée, Nous revenons ainsi au cas ordinaire, celui où Ton donne quatre tangentes distinctes.

Nous ne croyons pas utile d'étendre autrement Texamen de ces problèmes du premier degré. On peut les multiplier beaucoup, mais ils exigent tous qw*il n'y ait qu'une ueule conique vérifiant les conditions proposées. Ces problèmes, pour cette raison, ressortent de la géométrie de la règle et de Téquerre; ils constituent d'ailleurs des cas particuliers des problèmes généraux que nous allons étudier dans le chapitre suivant. Mais avant d'aborder ceux-ci, nous avons tenu à montrer les solutions simples que comportent certains problèmes spéciaux, qui justement sont ceux qui se présentent le plus souvent dans les constructions. C'est qu'en effet il arrive fréquemment que certains points de la figure deviennent coïncidents sur des droites .données ou, dans d'autres cas, soient rejetés à l'infini, dans des directions déterminées. Il est alors profitable, au lieu d'avoir recours aux tracés indiqués pour le cas général, d'utiliser des tracés plus simples, découlant des particularités mêmes de la figure proposée.

Nous n'avons examiné, comme on a pu le remarquer, dans les problèmes qui viennent de nous occuper, que les cas particuliers ou les données sont des points ou des tangentes ; mais il va sans dire qu'il existe d'autres problèmes ressortant de cette géométrie et dans lesquels les données sont différentes» Par exemple ; Construire une parabole connaissant le foyer et la tangente au sommet; ou, le foyer et la directrice; ou, le foyer et deux tangentes; et beaucoup d'autres, sont des problèmes que Ton peut résoudre avec la règle etl'équerre.

Mais voici un dernier oxemple que nous voulons traiter en terminant ce chapitre ; il vise le Cas très intéressant oli Ton connaît uniquement les extrémités de deux diamètres conjugués d'une ellipse^

67a Problème. <— Construire une ellipse t connmsant^ en grandeur et m situationt deux diamètres cQi\jugui$*

issAi scm LA GÈomtnoM

Soient ÀÀ' et BB' les deux diamètres proposés. Prenons sur la courbe un point I; les droites qui joignent ce point aux extrémités des deux diamètres donnés forment un faisceau harmonique. On prouTe, d'un mot, cette propriété en observant que dans un cercle le théorème est vérifié pour deux diamètres rectangulaires, les quatre branches du faisceau considéré étant alors inclinées mutuellement, et deux à deux, de 45*.

D'après cela, menons par le point A une droite arbitraire âP, puis déterminons avec la règle, comme l'indique

la figure (33), le point Q conjugué harmonique de P; alors, la droite A'Q rencontre AP en un point I qui appartient à l'ellipse r.

Pour obtenir la tangente en I, on peut observer que la polaire de P par rapport à F passe par le point Q, par le pôle de AI, et qu'elle est parallèle à AA. Par consé-

fi

Fig. 53.

quent en menant QT parallèlement à AA' jusqua sa rencontre avec la droite AT, cette dernière étant conduite, par A, parallèlement à BB', on détermine un point T de la tangente cherchée.