TRACÉ DES CONIQUES (CAS GÉNÉRAUX

Nous abordons maintenant, dans la géométrie des coniques, quelques problèmes plus généraux ; leur exposition complète le sujet que pous avons abordé dans les deux chapitres qui

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 05

précèdent et nous nous proposons d'indiquer comment ou peut effectuer le tracé des coniques, par points ou par tangentes, lorsque ces courbes sont bien déterminées ; les données de la question caractérisant un problème du premier degré. Cette partie de la géométrie est bien connue et pour ainsi dire classique. On sait notamment avec quelle simplicité les théorèmes de Pascal et de Brianchon s'appliquent aux constructions des coniques déterminées par cinq points ou par cinq tangentes. Mais, sans revenir sur ces solutions, nous voulons montrer ici comment ces mêmes problèmes peuvent être traités, en prenant pour base les propriétés des points et des transversales réciproques.

Nous devons entrer d'abord dans quelques développements analytiques, nécessaires à la démonstration des principes que nous appliquerons dans la suite.

68. Théorème. — Lorsqu'un point est mobile sur une droite A, le point réciproque 0' est mobile sur une conique F circonscrite au triangle.

En effet, l'équation de A, dans le système de coordonnées que nous avons adopté, est

ma -|- np -)- py = o. (1)

Soient (a, p, y) les coordonnées de 0, (a , f, y) celles de 0' ; nous avons (§11)

aa' = P^' = yy'.

Par conséquent, nous obtiendrons le lieu décrit par un poiut 0', réciproque d'un point mobile 0, en changeant a, p, y

respectivement —, —, — en dans l'équation du lieu décrit par

et p y

0. D'après cette remarque, à la droite A correspond une courbe dont l'équation est

* P Y C'est une conique F, circonscrite au triangle de référence.

69. Remarque. — La tangente au point C à F rencontre AB en un certain point G ; les points A', B', C sont, comme on le sait, et comme le prouve l'équation (2), situés sur une

(i« DB L. — GéOMÉTRK DR LA RÈGLK. 5

droite A' ayant pour équation

on voit donc que A' est une transversale réciproque de A.

70. Théorème. — Lorsqu'une conique T est inscrite dans un triangle ABC : son centre, le centre de gravité du triangle et le point réciproque du point de Gergonne sont trois points en ligr.e droite; de plus, la distance des deux derniers points est le double de celle des deux premiers.

L'équation d'une conique inscrite au triangle de référence, si Ton veut mettre en évidence les coordonnées (ao, 60, Yo) du point Mo que Ton obtient en joignant les sommets du triangle aux points de contact des côtés opposés, peut s'écrire

«0* Po* Yu" poYo *oYo ^opo ~ ^*

La droite de l'infini ayant pour équation

* + P + r = o> le pôle de cette droite, le centre de la conique en d'autres

termes, a des coordonnées qui vérifient les équations

/; = Tp = /y,

quij explicitées, s'écrivent :

JL-1.X L^l — 1 J.iL-£

tto 60 Yo €0 Yo ^0 Y» ^o ^o .

«o 60 Yo

Ces égalités donnont les suivantes :

tt p Y

± + ± -^+- - + -' po Yo Yo a*» «o po

et elles déterminent les coordonnées d'un point ii, centre de F. Le point Mo', réciproque du point de Gergonne, a pour

coordonnées —, --, — ; pour vérifier que MoM»' passe par le

«o po Yo

centre de gravité G de ABC, point dont les coordonnées sout égales au tiers de la surface de ABC» il suffit de reconnaître que l'on a

DE LA RÈGLE KT DB L'ÉQUERns

identité que Ton rend manifeste en ajoutant les éléments de la troisième ligne à ceux de la deuxième.

Pour démontrer la seconde partie du théorème, il faut calculer d'abord les coordonnées des trois points û, Mo' et • ces coordonnées sont :

pour Û, ... a^ = -

^o fo

«o Po Yo

pour G, . . • a, = •-, etc ... ;

^j uio ...

pour Mo' ... aj = -

«« Po ïo

j ctc • • . ^

égalités dans lesquelles S désigne, bien entendu, la surface du triangle ABC.

Ces formules donnent

Les trois points û, G, M'o étant en ligne droite, celte relation établit complètement le théorème énoncé (*).

71. Théorème. — Lorsqu'une droite A est constamment tangente à une parabole P inscrite au triangle de référence, la transversale réciproque A' reste parallèle à une direction fixe; cette direction étant celle des diamètres deP; et réciproquement.

En exprimant que la conique qui correspond à Téquation

— 4- El 4- ^ — ^ — 20^ 2ap

«o* Po* Yo" PoYo <^oro O^ "" ^'

j*) On trouvera une démonstration géoiliétrique de cette propriété et de la suivante dans notre mémoire déjà cité.

08 ESSAI SUn LA GftOMÉTlilE

osl tuugoule il la droite; de rinfini, droite représentée par

régalité

ou trouve

*o Po Yo

Uu peut aussi obteuir cette relation en exprimaut que le centre de la conique est à l'infini et Ton vérifie, dans tous les cas, que les droites qui joignent le centre de la conique aux sommets du triangle de référence sont bien trois droites parallèles quand Tégalité (A) est accordée.

On trouve aussi, nous laissons ce point à vérifier, que

réquation générale des diamètres de P est

Aaoo + B^po + Cyyo = o, (1)

avec la condition

et, enfin, que la droite A représentée par Téquation

est tangente à P, si Ton a

72. Théorème. — Lorsqu'une droite A tourne autour d'un point fixe Ko («o, po> Yo); '« transversale réciproque A' enveloppe une conique T insente au triangle de référence ABC; le point de Gergonne qui correspond à cette coniqtœ est le réciproque de K^ ;