ET RÉCIPROQUEMENT

Soit

m% + np -]- py = 0,

réquation de A; celle de A' est

m n p et les paramètres w, w, p vérifient la relation

moio + npo + PYo = ^• Eu cherchant, par le procédé ordinaire, l'enveloppe do A*, le Calcul donne immédiatement

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 69

Cette équation prouve Texactitude du théorème énoncé. La réciproque est évidemment vraie.

73. Remarque. — La conique F étant inscrite au triangle de référence ABC, on peut lui appliquer le théorème précédent.

On reconnaît ainsi que le centre de T s obtient en joignant le point Ko au centre de gravité de ABC, et en prolongeant cette droite d^une longueur moitié moindre.

En joignant K© aux sommets de ABC on a des droites qui ont pour réciproques les côtés du triangle ABC. La considération de ces transversales particulières prouve que le point de contact de T avec BC s'obtient en joignant Ko au sommet A. et en prenant le symétrique, par rapport au milieu de BC, du point d'intersection de cette droite avec K^A.

Cela posé, la transversale A', réciproque de A, a pour équation :

Les égalités (1), (2) et (3) prouvent que A' est un diamètre de P.

La réciproque est évidente.

Ces propriétés diverses étant établies, nous allons les appliquer à quelques constructions.

74- Problème I. — Construire une parabole, tangente par tangente, connaissant quatre tajigenles.

Soient A,B,C,D les quatre droites proposées. Prenons D' transversale réciproque de D par rapport au triangle ABC; puis traçons autant de droites que nous voudrons, parallèles à D\ Les transversales réciproques de ces parallèles sont autant de tangentes à la parabole proposée (§71).

Si Ton- trace des parallèles à D' par les sommets du triangle, les droites rencontrent les côtés du triangle ABC en des points a, p,y; ayant pris les symétriques a', p', y de ces points par rapport aux milieux des côtés du triangle, les points ainsi obtenus sont les points de contact des droites A, B, C avec la parabole (§73).

70 KSSAI SUR LA GftOMÉTRIB

76. Problème II. — Construire tangenie par tangente une conique^ connaissant cinq tangentes.

Soient A, B, G, D, E les tangentes données. Prenons encore les droites D', E' transversales réciproques de D et de E par rapport au triangle ABC. Ces droites D', E' se coupent en un certain point P. Que Ton mène par ce point autant de droites que Ton voudra, puis que Ton prenne, par rapport à ABC, leurs transversales réciproques ; toutes ces droites seront des tangentes à la conique en question (§ 72).

Le problème traité au paragraphe précédent n'est évidemment qu'un exemple particulier de celui-ci ; c'est le cas où Ton suppose le point P rejeté à Finfini.

Si Ton prend le point réciproque de P par rapport à ABC, le point P' ainsi obtenu est le point de Gergonne de la conique cherchée, par rapport au triangle ABC (§ 72). Ou obtient ainsi les points de contact de la conique avec les droites A, B, C.

Enfin, si Ton joint P au centre de gravité de ABC et si Ton prolonge cette droite d'une longueur égale à sa moitié, on aboutit au centre même de la conique.

Il n'est pas nécessaire de faire observer que toutes ces constructions peuvent être effectuées avec la règle et l'équerre, cette condition étant ici, bien entendu, implicitement exigée.

76. Problème III. — Construire une conicpie connaissant cinq points A, B, C, D, E.

Prenons les points D', E' réciproques des points D et E, par rapport au triangle ABC. A tout point M', pris sur D' E', correspond un point réciproque M qui appartient à la conique cherchée (§ 68) . Celle-ci pe^t ainsi se construire point par point.

En prenant la transversale réciproque de D' E' on obtient une droite qui coupe les côtés du triangle ABC en des points a, p, Y' I^®s droites Aa, Bp, Cy sont les tangentes à la conique proposée aux points A, B, C (§ 69).

77. Problèxne IV. — Connaissant trois tangentes com^ munes A, B, C à deux coniques U et V, trouver la quatrième tangente commune.

DE L4 RÈGLV ET DE l'ÉQUERHE 71

Ce problème du premier degré se résout très aisément par 'la considération des transversales réciproques.

Prenons les droites A, B, C pour former le triangle de référence et considérons d'abord la conique U. A cette conique correspond un point P, comme nous Favons expliqué (§ 73), et toute droite passant par P a pour transversale réciproque une tangente à U. Considérons, de même, la conique V et son point correspondant Q. La droite PQ admet une transversale réciproque A, cette droite A est la quatrième tangente demandée.

78. Examen d'un cas particulier remarquable ; transformations involutives^ — On observera que la construction précédente est en défaut dans le cas particulier où, parmi les tangentes données, il s'en trouve deux qui sont parallèles. L'examen de cette hypothèse exige que nous entrions dans quelques développements sur les transformations involutives, lorsque les coordonnées sont taugentielles, mais non homogènes.

Si nous imaginons deux variables 0, vérifiant une relation homographique en involution

Aee + B(6 + B) + c = o, ^ (1)

nous jpouvons distinguer quatre cas :

i® AG ^o; . (cas général;

*> A = o, G;zfo; \

3<* C = o, A;zf o; > cas particuliers.

4« A = o, et C = o; )

Dans la première hypothèse, qui correspond au cas général, on peut toujours, par un changement des variables^ ramener l'équation (t) à la forme

r 6' == AS que nous allons examiner et qui représente l'équation normale de rinvolution ordinaire.

Considérons maintenant, dans un système dont les coordonnées sont bien déterminées, mais que nous n'explicitons pas pour l'instant, deux éléments (droites ou points) Mo, M^ et supposons que les coordonnées de ces éléments vérifient les égalités :

li ESSAI SUR LA GÉOMÉTRIK

UoU, = VoVj = U'oWi,

si les coordonnées sont supposées homogènes ; ou. dans l'hy* ' pothëse contraire, les suivantes :

t*o Ui = h\ Vo Vi = hK

Si rélémont M^ décrit une certaine figure F©, l'élément correspondant Mj tracera une figure correspondante F^, et nous pourrons dire, d'après une locution usitée, que les figures F©, F^ sont involutives; ou que la transformation considérée appa7*lient au groupe des transformations involutives.

Telles sont les transformations par points et droites réciproques dont nous avons parlé précédemment; telle est encore celle que nous allons imaginer pour résoudre la difficulté que nous avons rencontrée.

Nous ferons observer à ce propos, et Texpérience n'en est que trop facile à faire, que l'examen des cas particuliers, dans la géométrie des constructions, comporte souvent des difficultés qui leur sont inhérentes et qui ne se présentent pas dans le cas général. Le géotoétrie descriptive notamment est pleine des singularités que nous signalons ici.

Ajoutons que les trois cas particuliers que nous avons distingués tout à l'heure donnent lieu, eux aussi, à des transformations involutives ; mais nous n'envisageons que le cas général qui, seul, nous intéresse pour résoudre le problème que nous avons en vue.

79. Transforcaation involutive dans le système des coordonnées parallèles. — Les coordonnées parallèles (*) peuvent se définir de la manière suivante :

Si nous imaginons deux droites fixes A, A' dans un plan P et, sur ces droites, deux origines 0, 0'; une droite D du plan P rencontre A et A' en des points A, A'. En posant :

OA = w, 0'A' = r, on peut dire que u et v, valeurs prises en grandeur et en

signe, déterminent la position de AA' dans le plan P; en

(*) Coordonnées parallèles et axiales. Méthode de (ransformation géométrique et procédé nouveau de calcul graphique, déduits de considération des coordonnées parallèles, par Maurice d'Ocagne, élève ingénieur des ponts et chaussées, vice-secrétaire de la Société mathématique de France. (Paris Gauthipr-Villars, 1885.)

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUEURE 73

d'autres termes, u et v sont les coordonnées de D. C'est le système bien connu des coordonnées ^ à.tangentielles. On peut observer pourtant que, dans cette

définition, un peu i ^.^ ~ y

plus générale que / ^>%^

celle qu'on donne habituellement, >^' * ■'»

rien n'empêche de Z.

supposer que les droites fixes A, A' soient parallèles. On obtient ainsi le système de coordonnées parallèles de M. d'Ocagne.

Adoptons, dans ce système do coordonnées, les formules de transformation involutive dont nous avons parlé plus haut et posons

wU = A», rV = ft«.

Dans ces égalités, w, v désignent les coordonnées parallèles d'une droite A A'; U,V celles de la droite transformée BB' ; déplus, A représente la distance OH des axes parallèles A, A'.

Mais avant d'aller plus loin, nous devons montrer d'abord comment, dans cette transformation, on peut construire la correspondante d'une droite, avec la règle et l'équerre.

Du point A, abaissons AM perpendiculairementà l'axe O'r, puis joignons OM et, finalement, abaissons de H une perpendiculaire HRsur OM. Cette droite HR prolongée rencontre Taxe Ott en un certain point B; les triangles semblables OHM, OHB donnent

ÔH^ = HM. OB.

Ainsi nous avons OA. OB = ft% et nous pouvons, d'après cela, en appliquant cette construction

succt^ssivoment aux points A oi A', déduire, avof la règle et réquerre, d'une droite donnée A A' la correspondante BB*.

80. Rkmaroiie- -- On peut aussi remarquer, et cette observation peut servir à vérifier la construction précédente, que deux droites correspondantes coupent la droite des origines 0,0' en deux points C,G' symétriquement placés par rapport au milieu co de 00'.

En effet, l'égalité

OA. OB = O'A'. OB', donne

OA O'B

O'A' "■ OB

et, par suite.