CO C'O

CO' ~ GV ' Cette proportion établit bien la symétrie des points G, C par rapport à w.

81. Théorème. — Dans la transformation iawlutive définie plus haut 9 à une conique F, tangente à la fois aux axes parallèles et à la droite des origines^ cœ^espond un point ; et réciproquement.

Cherchons d'abord Téquation de F, équation qui peut s'écrire

f désignant une fonction algébrique du second degré par rapport aux lettres u et v. A une valeur donnée pour w, correspondent pour V deux valeurs, mais l'une de ces valeurs est infinie. Cette observation s'applique aussi à la variable v et l'on voit ainsi que f ne doit renfermer ni le terme en u*, ni le terme en t?'. De plus, l'équation (1) doit être vérifiée par w = o et î; = ; finalement l'équation de F est donc

Auv + Bu + Cv = 0.

Transformons cette égalité au moyen des formules

uY = h\ vY = h\ A une droite A (m, v) tangente à F, correspond une droite A (U, V) dont les coordonnées parallèles vérifient constamment

I>e LA RÈGLK ET DE l'ÉQUERRB 7S

la relation

AA« + BV + eu = o.

Une propriété élémentaire bien connue, relative aux bases dun trapèze coupé par une droite qui leur est parallèle, prouve que A' passe par un point fixe.

Sans pousser plus avant la transformation précédente on voit le parti qu'on en peut tirer pour résoudre, dans le cas particulier que nous venons d'envisager, le problème qui a pour but la construction de la quatrième tangente commune à deux coniques T\ T" lorsqu'on suppose connues les trois autres tangentes communes, dans le cas particulier où, parmi celles-ci, deux se trouvent parallèles.

Aux coniques proposées correspondent deux points 0', 0, qu'on déterminera d'abord en considérant, pour chacune d'elles, deux tangentes et leurs transformées. A la droite O'O' correspond une droite A qui est la tangente demandée.

82. Problème. — Étant données quatre droites, deux à deux sécantesy tracer, tangente far tangente, la parabole P inscrite au quadrilatère qu'elles constituent.

Soient A^, A,, Aj, A^ les quatre droites proposées; considérons trois d'entre elles A|, Aj, A, et prenons la droite A4 transversale réciproque de A4 par rapport au triangle A^A^A,. Si nous traçons une droite mobile A5 parallèle à A4, la transversale réciproque Aj enveloppe une conique inscrite au quadrilatère AiA,A3A4 et dont le centre est à l'infini (§71); c'est précisément la parabole P.

Les points de contact de P avec les droites A£, Aj, A, s'obtiennent très simplement; on mène par l'un des sommets (Ai,A,) une parallèle à Aj, laquelle rencontre A3 en un certain point A; on prend ensuite le point A' symétrique de A par rapport au milieu du côté A, du triangle A^ A^A, ; le point A' est l'un des points de contact cherchés. On détermine do même les points analogues.