MM' ,. MM

R 2s: lim — ^- = lim

sin Q '

iim

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE

ou

R = lim

MM'

sia Û* L'égalité (1) donne aussi

sin 0) cos û)' 4" sin o/ cos w = 2 sin Q cos Û et par suite

cos (O j^ cos 0)

2 cos û

r représentant le rayon du cercle circonscrit au triangle MM'C. En passant à la limite, c'est-à-dire en supposant que M' vienne se confondre avec M, nous avons

Dans cette formule d et d' désignent les diamètres des cercles qui passent par M' tangentiellement à l'ellipse et, respectivement, par les foyers de la courbe.

De cette égalité résulte une construction assez simple pour le centre de courbure.

Soit MN la normale à Tellipse ; cette normale est rencontrée aux points G, G' par les perpendiculaires élevées aux points fet f aux rayons vecteurs M/*, M/*'; si Ton prend le point Y conjugué harmonique de M par rapport aux points G, G' ; Y est le centre de courbure qui correspond au point M.

Toutes ces constructions n'exigent, comme on le voit, que l'usage de la règle et de lequerre.

86. Remarque. — Je reviens à la construction donnée tout à l'heure pour déterminer le centrede courbure qui correspond à un point de la parabole pour faire observer que Ton peut encore fixer la position de ce point, et même d'une façon un peu plus rapide, en introduisant dans la figure la directrice de la courbe.

Reportons-nous à la figure 1 ; soit HD la directrice de la para-

Fig. 58.

80 ESSAI Sun LA GÉOMÉTHIE

bolo. Élevons on /une perpendiculaire à M/" et soit L le point

où cette perpendiculaire rencontre la normale MG. Les deux triangles rectangles MDK, M/L ont un angle égal /"ML = KMD, d'après la propriété fondamentale de la tangente; de plus, MK = M/*. Ces deux triangles sont égaux et Ton a MD = ML.

D'ailleurs, nous avons vu que, y désignant le centre de courbure, nous avions

My .-= 4MI = 2ML.

Finalement, nous pouvons donc .

dire que

My = 2MD.

De cette remarque résulte, pour la construction du point y, avec la règle et l'équerre, le tracé qui est représenté par la figure ci-jointe. Dans cette figure, on suppose que Ton donne la normale MD, le pied M de cette normale, et la directrice DD'. On détermine successivement, et dans Tordre indiqué, les points 1, 2 et 3. De ce dernier, on déduit le centre de courbure y en abaissant une perpendiculaire sur la directrice, jusqu'à sa rencontre avec la normale.