Centre de courbure de l'hyperbole équilatère

— La solution que nous avons donnée plus haut pour déterminer le centre de courbure d'une ellipse déterminée par ses foyers et les extrémités du grand axe s'applique, avec les modifications convenables, à l'hyperbole; cette courbe étant déter* minée par ses foyers et par les extrémités de l'axe transversa.

Mais nous examinerons, à cause de son importance, le cas oîi l'hyperbole considérée est équilatère. Nous supposerons d'ailleurs qu'elle est déterminée par ses asymptotes A, A' et par un point M; c'est en ce point M que nous nous proposons de construire le rayon de courbure.

Pour démontrer la propriété qui sert de base à la constiuc-

DE LA RÈGLE BT DB l'ÉQUBRRK

tion que nous allons indiquer, il parait commode de considérer rhyperbole H

comme une ^

anicursale et de fixer la position du centre de courbure, c'est-à-dire les coordonnées de ce point, au moyen d'un paramètre t qui varie, quand M se déplace sur " H.

Prenons pour axes de coor-

Fig. 60,

données les asymptotes A, A'; dans ce système, H est représentée par r équation

xy = m*.

Soient a?', y' les coordonnées de M ; posons

La droite AB qui passe par M, tangenliellement à H, a pour équation

oDtf + y^ = ^^* î

par suite, la normale Mw' est représentée par Tégalité

xx' — yy' = ce'* — j/'.

Les relations (A) permettent d'écrire cette égalité sous la forme

xi^ — ty = nit^ — m. (l)

Prenons la dérivée par rapport à t, nous avons

3t^X'-y = 4.mt\ (2)

Les équations (1) et (2) donnent, pour déterminer les coordonnées du centre de courbure w, les formules

•l l±ii! 1 = 1+1!.